说说勾股定理在解代数题中的妙用

彭敏

勾股定理是数形结合的一个典范.它把直角三角形有一个直角的“形”的特点，转化为三边“数”的关系，因此，它不仅在解答平面几何题中有着广泛的应用，而且在解代数题中也被广泛应用.在运用勾股定理解答代数题时，首先必须对有关的代数式进行几何说明，解释它的几何意义，并作出相应的图形，进而将代数问题转化成几何问题求解.下面就勾股定理在求解代数式的最值与求证不等式问题中的应用举例说明.

一、利用勾股定理求代数式的最小值对于形如x2 + a +（m - x）2 + b 的二次根式求最小值的问题， 可以分别把 a，b 当作a，b 的平方，然后再用勾股定理构造直角三角形，利用两点之间线段最短，将求原代数式的最小值问题转化为求两线段的和的最小值问题.

说明：利用勾股定理求代数式的最值问题，其关键在于要从问题的背景出发，根据题设的结构特征，构造出相应的图形进行求解.若能构造出恰当的直角三角形，则求原代数式的最小值问题便转化为求两线段的和的最小值问题了.

二、利用勾股定理证明不等式

对于某些不等式证明问题，通过代数途径求解不易入手时，同学们可以根据不等式的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并借助几何图形的特征、规律、性质来证明.对于含有根式的不等式可以联想到勾股定理，构造直角三角形，将不等式中的各个代数式看作是直角三角形的两条直角边和斜边，利用三角形的三边关系证明不等式的结论.

点评：构造几何图形也是证明不等式的一种手段.根据根号下两数的平方和，联想到勾股定理，构造直角三角形，将不等式的求证结论看作是求证三角形中两边之和大于第三边或两边之差小于第三边，从而利用图形的基本性质解题.

许多代数题的结构、形式都渗透着“几何”的气息.若能将抽象复杂的代数关系通过几何图形直观形象地展现出来，往往可获得显而易见的等量关系或不等關系，从而借助几何性质，使问题变得直观明了．