脉动流致振动宽频双稳态俘能技术

李晔，高宇，沈超明，姜文安，陈立群

(1.江苏科技大学 船舶与海洋工程学院，江苏 镇江 212003；2.江苏大学 土木工程与力学学院，江苏 镇江 212013；3.上海大学 力学与工程科学学院，上海 200444)

0 引言

目前俘能器的主要研究方向包括线性多模态[1]、自调谐频率[2]、三次非线性[3]、双稳态、三稳态、多稳态[6]、相干共振和非线性相互作用。

流致振动俘能作为一种新型的清洁可再生能源，成为一个研究热点。流致振动俘能技术主要有风致振动能量和水致振动能量，其中风致振动俘能主要有涡激振动[9– 10]、颤振[11– 13]、驰振[14– 15]、抖振[16– 17]。而水流致振动俘取得了许多有意义的成果[18– 20]。脉动流诱发的振动在海洋工程中广泛存在，具有重要的研究价值。因此，本文设计一个脉动流致振动双稳态俘能器，考察该俘能器在水下脉动流致振动时的性能。

1 采集器模型

如图1 所示，该俘能器结构系统由2 个倾斜的弹簧、阻尼器和圆柱体组成。电路系统由铜线圈、电阻和磁铁组成。

图1 脉动流致振动双稳态俘能器Fig.1 Bistable energy harvesting induced by oscillating flow

利用法拉第电磁感应定律，可以推导系统的机电耦合运动方程为：

其中：X为系统的位移；为俘能器的输出电流；m为圆柱体的质量；ρ为流体密度；A为圆柱体的截面面积；c为阻尼系数；k为弹簧的刚度；L为2 根倾斜弹簧的原始长度；l为倾斜弹簧固定框架端到2 弹簧中心的距离；Cl为粘性流体附加质量系数；Cm为惯性系数；CD为粘性曳力系数；U=U0+U1sin(ΩT)，为脉动流速；U0为非零均值定常流速；U1为脉动流的幅值；Ω为脉动流的频率；Lind为电感；Lcoil为铜线圈的长度；B为磁感应强度；R为电阻。

为了简化计算，式(1)和式(2)可以无量纲化为

系统的势能为：

对应的恢复力为：

系统势能和恢复力变化的曲线图如图2 所示。由图2(a)可知，系统的势能在3 组不同参数下，具有双势阱特征，且双势阱在势垒的左右两侧对称的分布。由图2(b)可知，系统的恢复力有3 个解，即1 个零解，2 个关于零对称的解，相应的静平衡解见表1。因此，该系统(1)和(2)，具有双稳态的特性。

表1 系统的静平衡值及泰勒系数Tab.1 The static equilibrium value and Taylor coefficient of the system

图2 系统的势能和恢复力曲线Fig.2 Potential energy and restoring force curves of the system

2 波速远大于速度的小幅振动

2.1 谐波分析

式(3)为非线性微分方程，没有精确解析解。若波浪流速的幅值远大于系统最大速度[35]，则

同时，当系统做小幅振动时，无理非线性刚度可以在静平衡点展开为多项式非线性形式，忽略三次以上高阶非线性和二次以上激励项，则系统的机电耦合方程可以重新简化为：

假设系统的一阶谐波解为：

代入电路方程，可得解耦后的电流为：

把式(8)和式(9)代入式6)，可得一阶谐波解满足如下关系：

式(10)和式(11)是非线性的代数方程组，没有解析解，可以利用数值方法进行求解计算。

进一步根据式(9)，可以得到输出电流幅值与位移响应幅值的关系为：

功率方程：

基于式(10)～式(12)，图3 给出为不同激励下系统的幅频响应曲线。其中ζ=0.02，χ=0.016，κ=0.16，λ=0.002，β=-0.209。可知，系统的幅频响应曲线具有向左弯曲的软特性，且随着激励幅值的增加，响应的频率带宽增加，具有宽频的采集特性。

图3 不同激励幅值下的幅频响应曲线Fig.3 Amplitude-frequency response curves under different excitation amplitudes

2.2 参数影响

图4 所示为3 组不同倾斜角余弦时的响应曲线随着外激励频率的变化趋势。可以看出，随着倾斜角余弦的减小，系统的位移和电量响应增加，且采集频率的带宽也增大。因此，小的倾斜角余弦能同时采集更多的电量和拥有宽频的带宽。

图4 不同倾斜角下的幅频响应曲线Fig.4 Amplitude-frequency response curves at different inclination angles

图5 给出3 组不同频率时，电压和功率s 随电阻变化的规律。可以看出，在不同激励频率下，随着电压的增加电阻先极速增加再缓慢增加，功率随着电阻先极速增加再慢慢减小，存在一个最优电阻使得输出的功率最大。

图5 不同频率下的输出电量随电阻的变化Fig.5 The output power at different frequencies varies with the resistance

图6～图8 为电量参数对输出响应的影响。可知，随着磁感线强度和线圈长度的增加，输出电流响应近似线性的增加，功率呈非线性增加。随着电感的增加，输出电流和功率呈非线性递减。

图6 不同频率下的输出电量随磁感应强度的变化Fig.6 The variation of output power with magnetic induction intensity at different frequencies

图7 不同频率下的输出电量随电感的变化Fig.7 The variation of output power with inductance at different frequencies

图8 不同频率下的输出电量随线圈长度的变化Fig.8 The output power at different frequencies varies with coil length

2.3 线性对比

图9 为3 组不同倾斜角余弦（α=0.25,0.5,0.75）时的幅频响应曲线。其中比较的基准选取位移响应为1，电流响应为0.1。可知，线性系统在共振频率附近有比较大的幅值，但是采集的频率带宽只集中在共振频率附近，而非线性系统具有更宽的采集频率带宽。

图9 与线性采集器幅频性能对比Fig.9 Compared with the amplitude and frequency performance of linear collector

3 波速与速度不确定的振动

当波浪流速的幅值与系统速度之间的大小关系不确定时，系统式(3)～式(4)是含有绝对值的无理非线性微分方程组，系统的近似响应求解困难。采用四阶龙格库塔数值方法，对系统的响应进行求解。

3.1 不同类型的运动响应

图10～图13 给出系统在不同频率时的动力学行为（ω=0.5,0.75,1.0,1.5）。可知，当ω=0.5 时，系统存在小幅的周期运动；当ω=0.75 时，系统做大幅的周期运动；当ω=1.0 时，系统做混沌运动；当ω=1.5 时，系统做3 倍周期运动。

图10 ω=0.5 时的小幅周期响应Fig.10 Small periodic response at ω=0.5

图11 ω=0.75 时的大幅周期响应Fig.11 Small periodic response at ω=0.75

图12 ω=1.0 时的混沌响应Fig.12 Small periodic response at ω=1.0

图13 ω=1.5 时的倍周期响应Fig.13 Small periodic response at ω=1.5

3.2 参数影响

采用均方根的统计方法，计算系统的输出响应。图14 为3 组激励幅值下的幅频响应曲线。图15 为3 组不同倾斜角余弦时的响应曲线随着外激励频率的变化趋势。可以看出，随着激励幅值的增加，除个别频率外，系统的位移和电量响应增加，而倾斜角余弦对系统响应的影响差别不大。

图14 波速与速度不确定时激励幅值变化的幅频响应曲线Fig.14 Amplitude-frequency response curve of excitation amplitude variation with uncertain wave velocity and velocity

图15 波速与速度不确定时不同倾斜角下的幅频响应曲线Fig.15 Amplitude-frequency response curves at different inclination angles when wave velocity and velocity are uncertain

3.3 线性对比

图16 为2 组不同幅值（u1=2.5和u1=5）时非线性系统和相应线性系统幅频相应曲线的对比。可知，非线性线性系统比相应线性系统在多个频率有更大的响应幅值，具有宽频的采集特性。

图16 波速与速度不确定时与线性采集器幅频性能对比Fig.16 Amplitude and frequency performance comparison with linear collector with uncertain wave velocity and velocity

4 结语

本文设计一个水下双稳态俘能器，研究系统在脉动流致振动下的采集性能，进行解析分析和数值计算，得出如下主要结论：

1）在波速远大于速度的小幅振动运动中，通过谐波分析，发现系统的幅频响应曲线具有向左弯曲的软特性。通过与线性系统对比，得到系统具有宽频的采集特性。随着系统电阻的变化，存在一个最优的电阻，使得输出电量的功率最大。

2）在波速与速度不确定的振动中，基于数值计算，发现系统存在小幅周期、大幅周期、混沌和倍周期等复杂的非线性动力学行为，且系统比线性系统有更宽的采集频带。

3）计算和分析结果可以为波浪能宽频发电技术提供一定的理论支撑。