高中数学高效课堂建构中例习题“减量提效”的实践研究与思考
2023-06-15马孟华彭元忠赵寅辉
马孟华 彭元忠 赵寅辉
【摘要】新高考、新课程改革背景下，课堂教学改革是必然趋势，高效课堂的建构成为了教学改革的主要研究方向.例习题是教材的重要组成部分，是教师了解学生知识掌握情况、提升学生素养的主要途径.本文从选择教材中典型、适量、有探究价值的例习题教学实践出发，探究例习题“减量提效”的实施策略，并给出了高效课堂建构下合理使用、开发教材例习题资源的建议，以期达到提升课堂效率的目的.
【关键词】高效课堂；例习题减量提效；核心素养
新课程自实施以来，提倡教师对课程资源进行合理有效地开发利用.教师对课本例习题研究、挖掘、开发，实现“减量提效”，一方面可以服务于教师的个性化教学、专业发展的需求，另一方面也可以使教材更加适合于教学、服务于学生的需要，实现高效课堂的目标.高中数学新课程设置了“思考”“探究”“阅读与思考”等活动和三个梯度的习题（复习巩固、综合运用、拓广探索）作为补充，让学生体验数学的发现、创造、应用的历程，有助于发挥学生的积极性、主动性和创造性，提高学生发现、提出、解决数学问题的能力.同时，教材例习题也是高考命题的主要依据，每年的高考常根据教材的例题、习题进行引申、变化、拓展，所以教师必须准确把握新高考动向，在新课程核心素养理念的要求下，对课本中的例题、习题进行深入挖掘，善于在高考题中寻找教材题目的原型，探索高考试题与教材题目的结合点，打通教材与高考的通道，创造性地开发和使用教材，用活教材［1］，在减轻学生学习负担的同时，提高课堂教学的有效性，从而生成高效课堂.
对教师而言，用好、用活教材例习题，深入研究并开发教材例习题资源，对教学质量的提升和课堂效率的提高具有重要意义.对学生而言，教师精心挑选有价值的例习题进行讲解和练习，不仅可以提升学生的解题能力，还可以通过解题中的各个环节的设计来培养学生的数学核心素养，从而提升学生学习的效率和课堂效果，最终达到高效学习的目标.在具体的教学实践中，教师可依据教学中的课型分类，从以下三个方向对教材中的例习题“进行减量”提效的教学实践，从而达到构建高效课堂的目标.
1新课教学中例习题的选择和教学
新课教学中的例题选择应具有典型性、可开发性和揭示数学问题本质的功能，如：普通高中数学教科书（人教版）选择性必修一第128页“拓广探究”中的习题13，题文如下：
已知双曲线x2－y22=1，过点P（1，1）的直线l与双曲线交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？
学生解答假设存在直线l满足题意，设A（x1，y1），B（x2，y2），由点在曲线上得x12－y122=1，
x22－y222=1，则据点差法两式相减，得y1－y2x1－x2=4y1+y2=42=2，故可得kAB=2，即存在直线l斜率为2满足题意，此时直线l的方程为y=2x－1.
设计意图上述解法是在学生了解掌握了圆锥曲线中的“中点弦”公式之后形成的解法.点差法作为圆锥曲线中的重要解题思想常常出没于高考试题中，是重要的考点.但在教材中该习题的设计是对数学中常使用“技巧”“结论”来解题这样一个思路的挑战，它强调“通性通法”的使用，引导教学走向掌握数学问题本质的实践，教材的编写者们精心设计，用心良苦.
事实上，上述学生的解法是错解，因为所求直线是基于“点差法”以及假设直线存在的情况下得到的，点差法仅仅进行了代数层面的运算，而遗漏了判断直线与双曲线是否相交的几何问题.回归到解决此类问题的通性通法，先联立直线和双曲线方程，后观察方程判别式的情况，根据计算联立后的二次方程的判别式先判断直线与双曲线的位置关系，在相交的情况下才能进入“点差法”的使用.而学生这样直接利用技巧解题就出现了错误.然而采用通性通法解决该类问题，可直达此类问题的数学本质.过程如下：
解：设点A（x1，y1），B（x2，y2）在双曲线上，且线段AB的中点为（x0，y0）.
当直线的斜率不存在时，不满足题意；
当直线l的斜率存在时，设其为k，则直线l的方程为y－1=k（x－1），联立y－1=k（x－1），
x2－y22=1，得（2－k2）x2－2k（1－k）x－（1－k）2－2=0（2－k2≠0）.
故x0=x1+x22=k（1－k）2－k2=1，解得k=2，而k=2时，上述二次方程为2x2－4x+3=0，其判别式Δ=－8<0，故不存在直线l满足题意.
评析弦的中点问题讨论必须基于直线与圆锥曲线相交的前提下进行，而联立直线和圆锥曲线方程的过程可以检验直线与曲线是否相交，如果不相交即可说明没有直线满足条件，如果相交便可利用韦达定理和中点坐标公式求出满足条件的直线.这样利用通性通法解决此题不仅抓住了该数学问题的本质，还可以弄清问题的来龙去脉，而且还培养了学生解题思维的严密性和批判性.如何在基于数学核心素养理念下搞好数学教学中例习题教学，从而提高课堂效率？如何帮助学生掌握和运用数学本质去解决问题，最终提升学生的数学核心素养？答案就是选择合理、适量的能够抓住数学问题本质的例习题、练习题进行教学和训练，而抓住数学问题本质的教学又应该回归到重视解决问题的通性通法上来，淡化特殊技巧.解决数学问题的通性通法往往最能凸显数学问题的本质，而特殊技巧、结论只是数学问题在特定条件和环境下的一种表现形式，不具代表性，也就难以凸显数学问题的本质［2］.所以，教师还可在上述例题的基础上，继续带领学生深入探究椭圆、抛物线中的“中点弦”问题，如设计如下的思考探究题：
思考题1经过点M（2，1）作直线l，交椭圆x216+y24=1于A，B两点.如果点M恰好为线段AB的中点，求直线l的方程.
思考题2过点M（2，2）作直线l交抛物线y2=4x于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程.
探究1当直线与圆锥曲線相交时，得到的弦的中点与原点形成直线的斜率与该直线的斜率有何种关系？
探究2当直线与椭圆、双曲线相切时，切点与原点连线的斜率与该直线的斜率有何关系？
探究3对比教材选择性必修一第108页例3，第116页拓广探究题14，第121页探究问题，你能得到什么结论？
设计意图探究1，2的引入使得直线与圆锥曲线在相交和相切背景下的问题得到了系统性的总结，即“中点弦公式”.也将直线与圆锥曲线相切状态下（也即直线与圆锥曲线相交情况的极限状态）的切线问题也进行了深入研究，厘清了相交与相切之间的联系，课堂教学由此转向了深度教学和深度学习.同时，探究3的解决也将学生对教材中圆锥曲线这一模块的整体学习和认识提升到了更高的水平和高度，提升了学生学习圆锥曲线的系统性和整体性，也是大单元整体教学设计的主要体现，有效防止了“碎片化”教学的发生.同时，学生对知识点的掌握和理解也更加系统和全面，提升了学生思维能力和数学素养，从而达到了建构高效课堂的目标.
2习题课中的习题选择和教学
在习题课教学中，如果教师能适当地、有意识地选择设计一些学生力所能及的典型问题，并对其进行一题多解和变式教学，不仅会使学生提升对知识系统的横向联系和深刻理解，也可以开拓智力、培养和训练学生的发散思维能力、优化解题思路，最终在不同的解法思路下带领学生掌握数学思想方法这个强大的数学武器，最终达到通过解决一个问题来领悟多种数学思想方法的目标，从而提升复习的效率，让学生能够真正利用数学思想解决数学问题.下面以习题课中解决等差数列前n项和的最值问题为例.
例1已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，S4=S9，求使得{an}的前n项和Sn最大的n的值.
法1函数法（数列的函数属性）
由S4=S9可知：4a1+6d=9a1+36d，故a1=－6d.
而Sn=d2n2+a1－d2n=d2n2－13d2n=d2（n2－13n），且d<0.
故Sn最大的n的值为6或7.
法2通项符号分析法
由S4=S9可知：a5+a6+…+a9=0，即a7=0，又a1>0，故d<0.
所以Sn最大时的n的值为6或7.
法3定义法
设Sk为数列{an}的前n项和的最大值，则有Sk≥Sk－1，
Sk≥Sk+1，由a1=－6d，可得k=6或7.
法4数形结合法
由于Sn=d2n2+a1－d2n，故Sn是关于n的二次函数，且d<0，开口向下，又由于S4=S9，故自变量n取4和9时函数值相等，其关于对称轴对称，而4和9的中点为6.5，由于n取正整数，故Sn最大时的n的值为6或7.
评析这样的一题多解不仅系统总结了等差数列前n项和的最值求解方法，而且还将等差数列的求和公式、数列的通项与前n项和的联系、等差数列的性质和属性的应用都蕴藏其中，可谓一举多得.此时教师可在此基础上继续引入变式和具有挑战性的题目，以激发学生的探究意识和自主学习意识，在巩固好已有知识的同时，将知识的学习引向深入.变式题如下：
变式1在等差数列{an}中，a1=7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n=8时，Sn取得最大值，则d的取值范围为.
变式2已知{an}为等差数列，若a11a10<－1，且其前项和Sn有最大值，则当Sn取得最小正值时，n=.
拓广题
拓广题1等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10=0，S15=25，则nSn的最小值为.
拓广题2设{an}是等比数列，公比q=2，Sn为{an}的前n项和，记Tn=17Sn－S2nan+1，n∈N．设Tn0为数列｛Tn｝的最大项，则no=.
设计意图以上拓广探究题的引入，考查了学生对“复杂情境下”的数学问题的处理能力，是课堂教学进入深度教学和对接高考的有效方式.将高考试题作为拓广探究题进行深入研究，一方面可以培养学生的思维深度，引导学生进入深度学习模式，另一方面可以有效的实现分层教学，满足不同学生对学习深度的需求.
探究题
探究1等比数列的前n项和有最值吗？如何求最值？
探究2等比数列的前n项积有最值吗？如何求最值？
如：设等比数列{an}，{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为.
探究3等差、等比数列的前n项和都有最值吗？
探究4等差、等比数列的项有最值吗？
探究5一般的，数列的项、前n项和的最值存在的情况下如何求最值？
如：（1）（人教社A版选择性必修二24页练习题5）已知数列{an}的通项公式为an=n－22n－15，前n项和为Sn，求Sn取得最小值时n的值.
（2）（人教社A版选择性必修二34页练习题5）已知数列{an}的通项公式为an=n33n，求使an取得最大值时n的值.
（3）已知数列{an}的通项公式是an=（n+2）78n.
①求an的最大值；
②设数列{an}的前n项和为Tn，求Tn的取值范围.
设计意图以上探究题和教材习题的引入，是基于教师的教学和学生的学习深化之后，学生对已掌握知识进行迁移、类比、应用，突出强调了通过习题的训练来提升学生数学思维能力、掌握数学思想方法的重要性.
例2已知直线y=k（x－2）与抛物线C：y2=8x交于点A，B，点F是抛物线C的焦点，且|AF|=2|BF|，求k的值.
变式1将条件中直线方程换为“y=k（x+2）”，方法如何？
变式2将条件中直线方程换为“y=k（x+2）”“|AF|=2|BF|”改為“|AF|=3|BF|”，方法如何？
设计意图例2、变式1、2的选择是从解决解析几何中直线与抛物线相交状态下，直线是否过焦点的解题方法的异同点出发，利用代数坐标法、几何法、数形结合法等方法解决问题，并带领学生体会不同思想方法体系下的共性特征，突出了在直线不过抛物线焦点时用“通性通法”解决问题的重要性，而直线过抛物线焦点时产生的一些列结论也是通性通法下的特殊产物.同时，通过对例题“一题多解、一题多变”的教学来强化“通性通法”对于解决数学问题的普适性和一般性，引领学生回归教材，学会从“通法”入手探究数学问题，理解数学问题的本质，提升学生分析解决问题的能力和数学素养，最终在提升课堂效率的同时，还将学生的学习引向深入，激发了学生的学习兴趣，培养了探究意识.
3复习课中的例题选择和教学
在复习课中的例习题选择上，教师应该以减轻学生学习负担，提升教学效率，提高教学质量为出发点，选择典型、适量且有揭示问题本质和系统总结价值的例习题进行教学.通过这样例习题的教学和练习来达到对一个章节（一个知识点）的复习巩固和系统总结，或是带领学生进入更深层次的探究拓展，使学生能够在教师的指导和训练下，形成对一个模块（一个知识点）的系统和理性认知，并在系统认知的指导下解决更多的数学问题，掌握数学问题的本质，最终培养学科核心素养.
下面以立体几何为例进行复习课中的例习题教学实践.新教材人教A版选择性必修一第8页练习题1，题文如下：
例1如图1，在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB=2BB1，则AB1与BC1所成角的大小为（）.
A.60°B.90°C.105°D.75°
法1向量法（基底法）（通性通法）
设BA=a，BC=b，BB1=c，则AB1=c－a，BC1=b+c，由向量夹角公式可得cos
令BB1=2，则AB=2，故a·b=2，a·c=0，b·c=0.
而|c－a|=（c－a）2=6，|b+c|=（b+c）2=6.
所以cos
故AB1与BC1的夹角为90°.
评析上述方法是新教材不同于老教材的一个显著体现，新教材强调了立体几何中空间向量基本定理的理解和应用，强化了通性通法的教学和学习.纵观新教材整个立体几何章节突出强调了利用空间向量基本定理和向量工具，从本质入手解决立体几何中的点、线、面位置关系及其空间角的求解问题.同时，教材还强化了对非特殊几何体（如斜棱柱等）的理解和考查，突出了基底法在解决空间立体几何中的问题上的一般性和重要性，而新高考在立体几何模块上的命题思路也在向这一方向转变.可见，教材、高考都在强调通性通法在解决数学问题上的重要意义.
法2几何法
设线段AB，BB1，B1C1，BC的中点分别为M，N，E，F，连接MN，EN，由三角形中位线可知：MN∥AB1，EN∥BC1.
故AB1与BC1的夹角即为MN，EN所成角，连接ME，EF，MF，由题意可知EF⊥MF，令BB1=2，AB=2.则在Rt△MEF中，ME=3，在△MEN中，MN=62，EN=62，故有|ME|2=|MN|2+|EN|2，可得MN⊥EN.
故AB1与BC1的夹角为90°.
评析法2的思路从本质上揭示了空间中两异面直线夹角的形成过程，培养了学生的逻辑思维能力.求夹角的过程综合使用了解三角形这一通法，提升了问题的综合性.若此例中夹角不是直角，则求出三角形三边的情况下，求解内角的通法必然是余弦定理.
法3坐标法（代数法）
设BC的中点为O，B1C1的中点为E，以OA，OB，OE方向为x，y，z的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，令BB1=2，AB=2，则有A（3，0，0），B（0，1，0），B1（0，1，2），C1（0，－1，2）.
故AB1=（－3，1，2），BC1=（0，－2，2）.
由cos
故AB1与BC1的夹角为90°.
评析法3的思路是整个立体几何章节学习的核心目标，利用代数坐标将空间立体几何中的“形”转化为“数”，引入了较为简洁的代数运算，培养了学生运算能力，也规避了立体几何中大量的逻辑论证过程.
以上三个方法思路的设计不仅把握了教材的思路，符合新高考的趋势和导向，同时教学设计在一定程度上带领学生抛掉了数学问题的“位置背景”，真正使学生感受和领悟到了利用数学的思想方法解决问题的重要意义，真正的在教学中落实了培养学生的学科核心素养的目标，也达到了高效课堂的要求.
學生在经历了该例题的示范后，教师可继续设计相关的练习题训练，进一步对立体几何中点线面位置关系以及空间角的求解问题进行复习和巩固，以更好地构建和完善整个立体几何章节的知识体系，提高学生的数学思维能力，使其形成数学思维品质，发展数学核心素养.练习题设置如下：
例2如图2，在三棱锥PABC中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=π2，∠PAC=∠PAB=π3.
（1）求证：PA⊥BC;
（2）若PA=2AC=4，求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值.
分析第（1）问的线线垂直关系可采用以下三种方法证明.
①基底法：以AC，AB，AP为基底向量，则BC=AC－AB.
故AP·BC=AP·（AC－AB）=0，得证；
②几何法：设线段BC的中点为O，连接AO，PO，证明BC⊥平面AOP即可；
③代数坐标法：建立空间直角坐标系，证明AP·BC=0即可.
第（2）问的面面角，也可从几何法和代数坐标法入手解决.
①几何法：过点A作平面PBC的垂线，垂足为H，连接BH，则在Rt△AHB中，∠ABH即为平面PAB与平面PBC夹角，解Rt△AHB即可求解；
②代数坐标法：以AC，AB方向为x，y轴的正方向，以方向向上且垂直于平面ABC的方向为z轴方向建立A－xyz坐标系，写出相关点的坐标，求出平面法向量即可求解.
在问题（1）、（2）掌握的基础上，教师可继续设置不同层次的探究问题作为课后练习题，以巩固学生所学，提升学生的思维能力.探究题设计如下：
探究1若PA=2AC=4，设AC的中点为E，求异面直线AP与BE的夹角的余弦值.
探究2若PA=2AC=4，设AC的中点为E，求直线BE与平面APC所成角的正弦值.
探究3通过探究1，2，试比较立体几何问题中几何法和代数坐标法的优势和不足.
设计意图例2及其探究问题的设计，不仅解决了空间立体几何中的线面关系的判定、证明以及空间角（線线角、线面角、面面角）的求解问题，而且有效的将整个立体几何中的定理、定义、公式，代数坐标方法融合起来进行了系统的辨析，帮助学生建立了对立体几何问题解决的系统方法.学生在体会、理解解题过程中的数学思想方法的同时，培养了空间想象、逻辑推理能力，提升了数学运算能力，形成了高效课堂，极大的提升了复习课的课堂效率.
小结在复习课的例习题教学中，教师要通过带领学生对典型例题进行全面剖析和深入的研究，尝试从不同角度分析和解决同一问题.同时基于问题的本质沟通多方面内容的联系，从多个维度挖掘例习题的深度和广度［3］.在探究挖掘例习题的深刻内涵的过程中，反思总结出数学问题的本质，揭示数学知识间的联系，从而带领学生全面深刻地认识和理解立体几何的知识体系，生成高效课堂.
4高效课堂建构中合理使用、开发教材例习题资源的几点建议
4.1教师应理解教材例习题之间的关系，即：例题是习题的基础、示范、典型，习题是例题的巩固、迁移和变式［4］.例题教学的功能主要是带领学生掌握解题方法、规范解题步骤、反思总结解题过程，引领学生深化理解基础知识，引导学生把握知识的本质及解决问题的通性通法.习题的训练则具有层次性和综合性，教材在习题中设置了复习巩固、综合运用和拓广探究题三个层次，促进学生的知识理解迁移和创新，也满足了不同层次学生的发展需求.教师正确认识和理解教材中例习题关系，是把握教材的基础，是进行教学设计的关键，也是实现例习题“减量提效”、提升课堂效率的前提，同时也是学生系统掌握数学知识体系的核心.教师只有厘清例习题间的异同点，才能更好的为例习题的教学提供参考，从而提升课堂教学的有效性［5］.
4.2实现例习题“减量提效”的基础是教师在课前精心备课，以发展学生数学核心素养为目标，改进例习题教学.教师在课堂教学前应根据学生的学情选择具有典型性、探索性、延展性的例习题进行教学和训练.同时，根据不同学生的学习需求精心选择和设计与例习题相关的探究拓展内容，增加具有探索性的习题，激发学生思考探究的兴趣和热情，实现因材施教，分层教学.
4.3教师对例习题的选择和拓展应注重与高考试题的对比分析，充分利用高考试题资源和高考评价体系的要求指导例习题的教学.高考是促进教学改革的重要依据，高考评价体系明确提出了加强教考衔接，减少机械刷题，引导教学注重作业题、练习题的减量提质，促使教学中把教材内容讲全讲透，提升课堂效果.事实上，新教材的编写与高考的改革和发展相契合，教材在例题（强调实际问题情境）和习题（分为三个梯度）的选取和设计上充分考虑了与高考的衔接和联系.教材的例习题中，特别是习题中选取了相当一部分的高考试题或其变式作为训练题.教师应该在充分研究高考试题的基础上，结合高考对学生提出的能力素养要求，在教材例习题教学中选择适量、合理、符合学生能力提升的例习题进行教学.同时教师要依据高考评价体系的要求以及不同学生的需求选择或设计具有层次性、探索性的习题进行训练，一方面发挥了例习题的教育、教学、评价功能，另一方面又兼顾了高考对学生提出的能力要求，更加适应新高考的改革和社会的发展需要.
4.4教师应该带领学生加强例习题的教学反思总结，引导学生形成对数学知识的系统认知.加强对解题的反思总结是学生深化数学知识理解和掌握数学知识本质的必经之路.教师可以在解题后带领学生尝试从不同角度（一题多解）分析和解决同一问题，或从基于问题的本质理解，从教学的整体设计或大单元整体设计的角度出发，将多个数学问题总结为一类问题模型（多题一解）进行研究探索，进而强化数学思想方法在解决数学问题中的重要性，也可以从数学问题的背景、发展、应用角度对例习题进行拓展探究，在提升学生学习兴趣的同时，引导学生提出新的数学问题，发展学生的创新思维，培养学生的数学核心素养.
参考文献
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［2］马孟华.注重通性、通法教学，强化数学本质理解[J].中国数学教育，2020（06）：12-16.
［3］何丽杰.基于深度剖析高中数学教材中习、例题的研究[J].数学研究，2018（13）：170.
［4］吴立宝，洪梦，王富美.数学教科书例、习题的关系研究[J].中学数学教学参考，2021（03）：75-78.
［5］蒋健敏，李建明.数学教学要重视教材潜在功能的挖掘[J].数学教学通讯，2005（11）：24-26.
作者简介
马孟华（1986—），男，中学高级教师，云南省“兴滇英才”支持计划基础教育领域高中数学名师工作室成员；主持云南省教育科学规划项目课题1项；发表论文10余篇.
彭元忠（1971—），男，中学高级教师；获云南省首届信息技术与学科融合大赛高中数学一等奖、人教社优秀实验员，参加云南省省级课题研究并结题.
赵寅辉（1986—），男，中学高级教师，荣获第三届“大理十大最美教师”.
