关于《基本不等式》同课异构的比较分析与思考

周玉川

【摘要】本文主要是结合两位老师在2019版新教材人教A版数学必修第一册第二章《一元二次函数、方程和不等式》章节内容中的《2.2基本不等式》进行同课异构的教学活动时，分别对他们的教学设计与学生课后反馈两个方面进行比较分析与思考，希望从“传统满堂灌式”和“导学案师生互动式”两种教学模式中，能找到更加适合本校学生的数学教学方法。

【关键词】同课异构  基本不等式   比较分析   思考

1.前言

为了提高本校学生的数学学习兴趣和找到更适合学生的数学教学方法，《高中数学导学案有效教学的实践研究》课题组依据本校学生的思维特点及学习习惯，开展了一系列同课异构的教学研讨活动。日前，本课题组两位成员分别以A、B老师的角色，选择了2019版新教材人教A版数学必修第一册第二章《一元二次函数、方程和不等式》章节内容中的《2.2基本不等式》进行同课异构教学活动，A老师采用“导学案师生互动式”的教学模式，以导学案问题为主线，分别开展课前导学、课中互动、课后反馈等三个环节的教学活动，而B老师采用“传统满堂灌式”即教师当堂教授内容，学生当堂接受知识的教学方式。笔者认为一节有效的数学课堂，既要注重教师应该如何教，又要注重学生应该如何学，而教师的教学设计以及学生的课后反馈更是有效教学的关键所在，因此，通过对这两个方面的比较分析与思考，也体现了我们课题研究的必要性与重要性。

2.教学设计的比较分析与思考

2.1关于基本不等式几何意义探究部分内容的处理

A老师以问题导学形式出现，通过问题形式展开：“如图1是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。若将图1中的“风车”抽象成如图2，你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

还将教材内容巧妙地设置成如下导学案问题：“1、图中有个直角三角形？它们是否相等？2、设直角三角形ABE的两条直角边长为，，则这些直角三角形面积之和为？3、图中正方形ABCD的边长为？它的面积为 ？4、比较大小：正方形ABCD的面积4个直角三角形的面积之和.即我们就得到了一个不等式：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形EFGH缩为一个点，这时有_______________ ”，通过层层设问的问题导学法，使得教学内容既基于教材又高于教材；课前让学生带着导学问题去预习、探究、开展合作交流的学习互动，课堂上，学生做得了心中有数，课堂教学自然就会有效地开展起来。

B老师对所教班级未进行课前导学，对教材基本不等式探究未加处理，完全按照教材原本形式，最后补充引入了一个新的问题情境：“先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）。假设两个正方形的面积分别为和（），探究基本不等式结论？”引入的情境一定程度上使得探究内容复杂化，对于基础薄弱生无疑是双重打击，既有如何得到式子“的疑惑，又有如何从抽象图形到数式的恐惧，因此，在课题导入的5分钟内，学生只对着教材情境看，被老师牵着走，无从进入学习状态，加之整节课全程多媒体操作，文字、数式、图象闪烁跳跃过快，导致师生互动较少，课堂教学是传统式“满堂灌”。

2.2关于基本不等式证明部分内容的处理

A老师采用“师生互动探究式”的教学处理，先通过式子设置导学问题，激发学生思考，接着引导学生回顾旧知“实数平方必为非负数”，即得到，通过学生交流合作，得到证明结论，从而有，再采用问题填空形式，将所得式子中的与分别用和替换，最后得到证明结论“（其中，当时取等号）”这样处理，既考虑了所教班级学生的数学基础，又调动了学生学习积极性，从而教与学融洽一致。

B老师采取教材形式 “证明：由于，于是要证明，只要证明 ，即证，即  ，这结论显然成立，所以，（当时取等号）”，这样处理，好处在于思路清晰，书写简练，减少了与分别用和替换的步骤，这种“执果索因”分析法对于基础较好的学生是一种较佳方法，能调动课堂学生分析问题，解决问题的积极性，但所教班级学生数学基础普遍较弱，对于分析法无法理清先后书写顺序，课堂上看得明白、听得懂，但由于分析法的思维要求较高，因此，平时学生在用分析法数学证明较少。

通过评课研讨交流，笔者认为A老师采用的综合法较适合本校数学基础薄弱生，B老师采用的分析法较适合数学基础中等偏上的学生，而对于数学基础较好的学生，教师在讲授此证明时还可以两种方法分别提及，充分发散学生数学思维，从而达到更加有效的教学效果。

2.3关于基本不等式题型的处理

A老师结合所教班级学生实际情况，对题型进行了细分，基于第一节新课考虑，只提及“两个正数和的最小值问题”，先选择教材45页练习例题1“若求的最小值。”为例题，进行分析讲解，接着提出两个变式题“变式1. 若， 求的最小值；变式2. 当为何值时，有最小值，最小值为多少？”，这样通过模仿式做题，适合基础薄弱生，最后再增加一个新例题“若，求的最小值。”该题属于配凑技巧题型，让学生对基本不等式“一正、二定、三相等”条件有深刻理解，接着又两个变式题“变式1. 若，求的最小值；变式2. 若，求的最小值。”如此巧妙地通过导学问题，逐步升华“两个正数和的最小值问题”，从而让学生对该问题能熟练掌握，逐渐过渡到例题2“（1）若（定值），则当且仅当时，有最小值；（2）若（定值），则当且仅当时，有最大值。”的教学，学生比较容易接受，能从特殊到一般的思维过程中有所感悟收獲，从而达到本节课有效教学的目的。

B老师按照教材内容开展，通过课本46页例3两个问题“（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？”为例题，进行分析讲解，这样同时讲解“两个正数和的最小值问题”与“两个正数积的最大问题”，学生接受起来较为困难，加之，B老师最后只选择46页练习第3题为变式题，该题只是求和问题，因此学生对积问题还是存在疑惑点。

通过评课研讨交流，笔者认为B老师在例题讲解后直接总结出结论：“（1）若（定值），则当且仅当时，有最小值；（2）若（定值），则当且仅当时，有最大值。”缺乏了“师生互动”与“生生互动”环节，因此，学生只是被动接受结论，无法感受到基本不等式的应用价值。而A老师重点分析“”式子，反复说明若要求左边即和问题，必须要求右边是确定值，这样学生不但深刻掌握了题型中 “积定，和最小” 的结论，对后续学习“和定，积最大”也会有所感悟。

3.学生课后反馈的比较分析与思考

学生课后反馈是对课堂教学是否有效的直接反映，因此，笔者通过两种学生课后反馈方式加于分析，第一种方式是对学生在“导学案教学模式”及“传统教学模式”喜好反馈，通过问卷调查形式，研讨开展高一数学导学案教学的必要性与可行性问题；第二种方式是以小题检测的方式，通过学生得分来分析课堂教学的有效性。

笔者对《高一数学导学案教学有效性的问卷调查》的部分结果分析如下：对于“问题1.导学案的问题设置环节对你的预习有否帮助？”选择“有”占71.67%，选择“没有”仅占1.67%，说明导学案模式问题导学确实对学生预习起到辅助作用；对于“问题5.小测反馈题目题量适合你的学习情况吗？”选择“合适”占76.67%，选择“不合适”仅占3.33%，说明了导学案小测反馈题量适合本校学生的学习能力及学习习惯。对于“问题6.基本不等式内容主要解决什么？”绝大多数学生选择了“求两个正数的和或积的最值”占比90%，这说明通过导学案模式教学，可以让学生清楚所学的，所获得的是什么，一目了然。对于“问题9.利用多媒体上课时，老师按传统教学方式讲解好还是利用导学案讲解好？”选择“导学案教学好”占63.33%，选择“传统教学好”占15%，而“都可以”占了21.67%，說明学生整体上还是希望新的学习方式。对于“问题10.导学案有效教学的师生互动及生生互动方式适合你吗？”绝大多数学生都选择“适合”占比80%。说明多数学生喜欢互动式课堂模式，希望教师与同学彼此关注。

对A老师教的3班，B老师教的4班进行小题检测反馈如下：对于“题1.已知x0，若x＋的值最小，则x为多少？”3班做对的有50人占比86.2%，4班做对的只有30人占比50.8%；显然该题是第一种题型--“求两个正数的和最小值”问题，因为A老师重点讲解了这一题型，课堂上学生也进行了相当类型题目训练，已经掌握差不多了，因此绝大多数学生得到结果没有问题；而B老师在课堂上同时讲解了两个正数的最小值及最大值问题，学生普遍反映“对基本不等式 不明白是选择哪个公式作为切入点”，从而导致错误；对于“题2.若，求的最小值为。”A老师在3班课堂上对该配凑类型的题型如：“若，求的最小值。”进行重点分析与训练，因此3班得分人数比较多，占比85%；对于“题3.若实数满足，则的最小值为。”两个班的得分相当分别占50.1%，48.8%，多数学生反映该问题难点在于对和问题还是积问题还是有点模糊不明白，还有部分学生提出指数幂运算不明白，导致错误失分。

4.结语

因此，基于以上比较分析与思考，笔者认为一个有效的数学课堂，在教学设计方面既要提高课题导入的有效性；也要淡化教学形式，注重数学本质；更要领会高中数学教材中例题、习题的作用。通过课题组一系列同课异构的教学研讨活动，我们发现学生更加倾向于“导学案师生互动式”教学模式，A老师的教学设计更能引发学生合理的认识冲突与思考，更能促进有效教学目标的达成。

参考文献：

（1）叶立军 马茂年  高中数学有效教学的理论与实践  [M]  科学出版社

（2）章建跃 李海东  普通高中教科书数学必修第一册 [M] 人民教育出版社

（3）曹一鸣  数学教学论 [M] 高等教育出版社