核心素养导向下的高中数学解题研究

申磊

【摘要】解题教学是高中阶段数学教学中的重要环节，通过有效解题教学的开展，能够促进学生思维能力的提升，帮助学生掌握运用所学知识解决实际问题的技能.在核心素养视域下，如何培养学生的解题能力已成为广大教师所共同关心的问题.基于核心素养内涵，本文细致分析高中数学解题教学中亟待解决的问题，并结合实际教学情况提出优化路径，通过革新观念、注重创新、丰富手段、加强实践等方式，促进高中数学解题教学质量的提升，帮助学生在良好的生态学习环境下，掌握解题技巧、发展自身思维能力，实现核心素养的全面提升.

【关键词】高中数学；核心素养；解题教学

数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分.教师应紧密围绕着核心素养内容，改善当前解题教学中所存在的弊端，促进学生思维能力的发展，掌握解题关键步骤及技巧，切实提高学生解题能力，帮助学生在良好的学习氛围下通过解题完成数学知识的内化与巩固.

通过对影响高中数学解题教学因素分析可知，教师应以激发学生思维活力为抓手，以核心素养为导向，优化解题教学内容，向学生传授解题技巧及方法，帮助学生在潜移默化中形成系统化的知识体系，提高自身解题能力.笔者结合多年实践教学经验，对核心素养导向下的高中数学解题教学策略进行总结，以供广大教师借鉴参考.

1 革新观念，强化学生抽象建模意识

数学语言主要表现为：数据意识或数据观念、模型意识或模型观念以及应用意识，是核心素养中的重要组成部分.在实际教学中，为培育学生的创新思维能力，教师应有意识地在解题过程中渗透模型思想，帮助学生将抽象知识转化为直观印象，建立良好的建模意识，顺利解决相关问题.

例如 以苏教版高一数学必修1“函数模型及其应用”一课的解题教学为例，有典型例题如下：已知x2+y2=4，求2x+y的取值范围.

这一问题是高中阶段最令学生头疼的范围型问题.首先，教师应引导学生阅读题干信息，回忆所学知识，明确题目中的重点信息以及所求内容.通过阅读，学生可知本题目要求的是2x+y的取值范围，且有两个未知数，并且二者是具有等量关系的.进行到这一步骤时，许多学生表示这两个未知数很难用一个表示另外一个来实现同一变量.就此问题，教师可以鼓励大家尝试转变思路，构建模型思想，将这两个未知数的等量关系转化为“平方相加为定值”的形式，从三角换元或圆的参数方程进行考量，令x=2cosθ，y=2sinθ，θ∈0，2π，则有2x+y=4cosθ+2sinθ=25sinθ+φ，由此可知：2x+y∈-25，25.与此同时，教师也可以带领学生运用建模思想探寻多种解法，在班级内开展讨论与交流，指导学生尝试运用数形结合的方式解决此类问题，将求2x+y的取值范围这一问题转化为线性规划问题，令Z=2x+y，其中点（x，y）为圆x2+y2=4上的点，即直线y=－2x+Z，求截距Z的最大值和最小值.根据教师的解题思路提示，学生尝试绘制图象，并通过直观的图象立马做出分析，求截距Z的最大值和最小值只需要求取两条切线的截距即可，通过圆心到直线的距离等于半径这一理论可推导：d=Z12+22=2，并与刚才所计算的结果相对比，确定一致后整理解题步骤.在指导学生运用建模方法解决数学问题后，教师可在黑板上呈现建模主要过程，帮助学生理解数学建模思想，从而提升学生的建模思想水平.

如上，通过建模思想的有机渗透，能够切实提高学生的模型意识，帮助其掌握运用模型思想的解题技巧，在长期训练中提升自身思维能力，实现解题效率、准确率的提升.

2 注重創新，激发学生创新思维能力

新课程标准下要求教师由传统的知识讲授者转变为引导者、组织者，在解题教学中，教师应将培养学生的创新意识、创新精神作为首要任务，改变传统一言堂、机械性的讲授模式，为学生提供良好的学习生态环境以及自主实践平台，鼓励学生积极探索，挖掘其内在潜能，帮助学生在解题过程中逐步形成举一反三的能力.

例如 以苏教版高二数学必修4“三角函数的图象和性质”一课的解题教学为例，本章内容是三角函数一单元中最后一部分学习任务，结合三角函数相关知识，教师为学生提供了这样的一道例题：函数y=sinx5+4cosx0≤x≤2x的值域为？

本道题目是一道较为经典的三角函数的值域求解题，考查学生对三角函数相关知识的掌握以及运用方程思想解题的意识.首先，教师应引导学生观察并分析此题，谈一谈自己的解题思路，由于本题并非常见的三角函数解析式，许多学生在此阶段会陷入思维误区.因此，教师应为学生提供适当指导，鼓励学生将其尝试转化为方程问题，将原函数解析式两边平方得y2=sin2x5+4cosx，化正弦为余弦，通过整理得出：cos2x+4y2cosx+5y2－1=0，这时教师可以鼓励学生应用方程思想，通过对cosx的一元二次方程分析，设t=cosx，令ft=t2+4y2t+5y2－1，所以Δ=4y22－45y2－1≥0，－1≤－2y2≤1，即4y4-5y2+1≥0，－1≤－2y2≤1，最后解得y2≤14，所以函数的值域应为y∈-1212（解法1）.通过方程思想的应用能够轻松解出此道较为经典的值域求解问题.在此基础上，教师鼓励学生充分发挥自身创新性思维，基于教师所提供的思路解法进行探索，并提出不同方案.部分学生通过思考与分析，总结：解决数学问题要注意等价转化，转化cos2x+4y2cosx+5y2－1=0在-1，1上有实根，求y的取值范围，可以列出：Δ=4y22+45y2－1=44y4－5y2+1≥0，cosx1+cosx2，=4y2≤2，并解得y2≥1，y2≤14，y2≤12.与刚才教师所提供的解法1答案相同.在学生解题的过程中，教师应进行巡回指导，帮助大家及时发现题目中所蕴含的“陷阱”，如在转化求解的过程中要关注到cosx的一元二次方程在-1，1上有实根，使学生避免疏忽.

如上，通过方程思想的引入，能够唤醒学生的思维能力，激发学生的创新热情与勇气，在训练中逐渐形成独立思考的意识，进而提高自身问题解决能力.

3 丰富手段，促发学生推理解题潜能

在传统解题教学之中，部分教师为节约课堂时间，通常是以板书的应试誊写解题步骤，忽视了对学生思维能力以及兴趣爱好的考量.久而久之，将会使学生出现盲目抄写、缺乏思考意识的问题，严重阻碍其解题能力的发展.基于核心素养背景，教师应紧密围绕高中生的最近发展区间，在讲解解题步骤时，适当引入生动、立体的图画形式，运用多媒体技术，将抽象的数学知识转化为直观印象，从而调动学生的学习热情，激发学生的内在潜能.

例如 以苏教版高二数学选择性必修1“椭圆”一课的解题教学为例，教师选取2019年福建高考一模试卷中的这样一个问题：

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2.过点F1的直线与椭圆相交于M、N两点，△F2MN的周长为8，直线y=x被椭圆C所截得的线段长为4427，求椭圆C的方程.

在解决本题时，教师可以利用多媒体技术手段，绘制图象，如图1所示：

并邀请学生认真审题，在教师所提供的图形之中标记处点M、N以及F1，F2.在直观的情境下，学生的学习兴趣得到充分激发.然而，许多学生却止步于“△F2MN的周長为8”这句话，不知应当如何翻译，使之转化为数学语言.发现学生所存在的问题后，教师及时带领大家回顾椭圆概念，明确“椭圆到两定点的距离之和等于定长（长轴长，即2a）”，所以△F2MN的周长为NF1+NF2+MF1+MF2，即NF1+NF2=MF1+MF2=2a，故4a=8，a=2.接下来，教师带领学生再次分析“直线y=x被椭圆C所截得的线段长为4427”这段话.首先，教师指导学生设直线与椭圆的两个交点坐标为Ax1，y1Bx2，y2，得出：

AB=x2－x12+y2－y12，并将y2=x2，y1=x1代入.随后，引导学生运用韦达定理由方程组代入，解出b=3.通过上述解题案例不难发现，帮助学生掌握良好基础的概念知识至关重要，只有找准题目线索，才能够成功解决问题.

如上，在解题教学之中，教师应结合高中生的基本学习情况，优化解题教学方法，引入信息技术手段，为课堂注入全新生机与活力，帮助学生开阔学习视野，在潜移默化中提高核心素养.

4 加强实践，帮助学生掌握解题技巧

不登高山，不知天之高也；不临深溪，不知地之厚也.空有理论知识的讲授而缺乏必要的实践，也会影响解题教学的质量.因此，教师应在完成基础教学任务后，应有意识地结合生活实际提出与数学相关的问题，鼓励学生运用所学解题思想，提出教师所设计的问题，实现知识的迁移与运用，获得解题能力以及核心素养的提升与发展.

例如 以苏教版高三数学必修5“数列”一课的解题教学为例，在课堂中，教师向学生列举了其在解题过程中所易出现的错误，如：用错基本公式、通项an与前n项和Sn之间的关系无法及时理顺、对等差等比数列的性质模糊等.基于学生的实际学习情况，教师可以结合生活中的常见实例设计应用练习题目，引导学生自主作答，并写出解题步骤.

例题提供：假设本校内新引进一批桌椅，总价值为220万元，而桌椅的价值会随着使用年限的提升而下降，每一年所下降的金额为d万元，已知d为常数，而此批桌椅的使用年限为10年，十年之后其价值将会低于购进价的百分之五.请同学们运用所学知识，计算d的取值范围.

此道问题能够通过与学生生活贴合的事件提高学生运用等差数列知识解决实际问题的能力.教师可以邀请学生前往讲台进行作答，并在其思维滞留时适当提供指导，给出：an=an-1-dn≥2这一提示，鼓励学生转换思想，结合题意列出不等式组：220-10d≥11，220-11d<11，最后经过求解得到的范围就是d的取值范围.与此同时，在学生完成题目解答后，教师也可以鼓励大家创造性地提出问题，与同桌之间进行交换，促使学生活学活用，进一步强化解题思维.

如上，通过与生活贴近的数学问题，能够唤醒学生的探究热情，帮助学生在实践的过程中掌握良好的解题技能，实现自身思维能力的发展，逐渐在不依靠教师指导的情况下自主完成题目解答，提升数学成绩.

5 结语

纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行.在高中数学解题教学中，教师应以核心素养为基础，结合高中生的认知能力设计多样化的解题训练，在开阔学生解题学习视野的同时，培养学生的解题能力，帮助学生实现个人核心素养的全面发展.相信在广大教师的共同努力下，高中数学教学将会重新焕发生机，帮助学生在良好的生态环境下，夯实基础知识，掌握解题技巧，在高考中取得更加优秀的成绩.

参考文献：

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