带扰动的多阈值马尔可夫调制风险模型中的Gerber-Shiu 函数

魏世鸿,江五元

(湖南理工学院 数学学院,湖南 岳阳 414006)

0 引言

在经典保险理论中,一般假设索赔到达时间间距和索赔数量是相互独立的.实际上,这种独立性假设不太符合现实情况.基于此,许多学者研究索赔时间间距与索赔数量相互依赖的保险风险模型[1～3].在马尔可夫调制风险模型中,索赔间隔的分布依赖于先前的索赔数量,该模型由Janssen 和Reinhard 提出[4].Albrecher 和 Boxma 利用Laplace-Stieltjes 变换研究马尔可夫调制风险模型中的折现罚函数,得到Gerber-Shiu 函数的闭式解和渐近行为[5].Cheung 和 Landriault 推广了文[5]的工作[6].Liu 等将马尔可夫调制风险模型扩展到包含障碍策略的情况[7].Yang 等讨论一个具有恒定利率和重尾分布的马尔可夫调制风险模型,分析在某些特殊情况下破产概率的渐近行为[8].在离散马尔可夫调制风险模型中,Chen 等考虑离散马尔可夫调制风险模型的生存概率,提出计算双状态模型下生存概率的递归方法[9].Chen 等讨论离散马尔可夫调制风险模型的股息问题,推导出总预期折现股息的表达式[10].

在分红策略保险风险模型中,恒定障碍策略和阈值策略是保险理论中较普遍的两种分红策略.Cheung和 Landriault 考虑障碍分红策略下的扰动马尔可夫到达(MAP)风险模型,分析折现红利支付的时刻和Gerber-Shiu 函数[11].Cheng 和Wang 讨论阈值分红策略下的扰动MAP 风险模型,得到Gerber-Shiu 函数和总红利支付时刻的解析解[12].多阈值分红模式使得保险公司可以根据自身当前资本数量来改变分红或保险费率.当保险公司希望对其收益保持固定的保留比例,并向投保人支付红利时,这种动态保费保单可能更合理.文[13～15]研究多阈值分红问题.Liu 等考虑具有障碍策略的马尔可夫依赖风险模型,得到当初始盈余为零或所有索赔金额分布均属于有理族时的Gerber-Shiu 函数的解析解[7].Zhou 等讨论具有多阈值分红策略的马尔可夫依赖风险模型[16].文[17]和[18]研究扩散扰动风险模型.

本文在多阈值分红策略的马尔可夫依赖风险模型中引入扩散干扰,得到Gerber-Shiu 函数所满足的积分-微分方程,并对方程进行求解.

1 风险模型构建

本文考虑多阈值带干扰的马尔可夫调制风险模型,其盈余过程为

其中u≥0是初始盈余;c(U(t))是t时刻的保费率,而c(x)是一个确定的正函数;B(t)为标准布朗运动,σ为扰动系数;N(t)表示到时间t的索赔次数,N(t)=max{k|W1+W2+…+Wk＜t},Wi表示第i-1次到第i次索赔之间的间隔时间.

在多阈值风险模型下,设 0=b0＜b1＜b2＜…＜bn=∞,则

因此有

类似文[5],定义如下的马尔可夫调制的风险模型结构:

其中 {Zl,l≥0}是离散时间马尔可夫链.

E={1,2,3,…,m}和Λ=(αij)m×m是关于Zl的状态空间和转移矩阵.在每一次索赔到达时刻,马尔可夫链跳转到一个状态j,并且该索赔分布Fj取决于新的状态j,与下一次到达时间的时间间隔服从参数为λj的指数分布.在给定状态Zl-1和Zl时,Wl和Xl是相互独立的,但索赔数量和连续索赔时间之间存在自相关,即Wl和Xl之间存在自相关.设在状态k时索赔数量的j阶矩为,为满足在每一层阈值下的收入为正,假设,其中π={π1,π2,…,πm}是过程 {Zn}的平稳分布.

定义T=inf{t≥0:U(t)≤0}为破产时间,P(T＜∞|U(0)=u,Z0=i) 为破产概率,其中P(T＜∞,U(t)＜0|U(0)=u,z0=i)是由索赔引起的破产概率,P(T＜∞,U(t)=0|U(0)=u,z0=i)是由干扰引起的破产概率.

令Li,d(u)=E[e-δTI(T＜∞,U(t)=0)|U(0)=u,Z0=i]为由干扰引起的破产时间T的Laplace 变换.

定义ω(x,y),x,y≥0是非负的惩罚函数,则

为由索赔引起破产的期望折现罚(Gerber-Shiu)函数.设ω(0,0)=1,则

这里Li(u)表示总的Gerber-Shiu 函数.

在下文第3、4 节中只考虑由索赔引起的破产,所以其中的Li(u)就表示Li,s(u).

2 积分微分方程

令Ls(u)=(L1,s(u),L2,s(u),…,Lm,s(u))T,Ld(u)=(L1,d(u),L2,d(u),…,Lm,d(u))T,其中T 表示矩阵的转置.

定理1对于初始盈余u,若c(u)在u处是连续的,则Ls(u)和Ld(u)满足积分微分方程:

证明给定z0=i,考虑时间间隔(0,dt),有

因为U(t)在除有限点外是递增且可微的,令s=U(dt),则有 ds=c(s)dt,又U(0)=u,所以.代入式(7),得

由Itó 公式,有

将上式代入式(8),得

用矩阵形式表示可得式(5),同理可得式(6).

下面考虑由索赔引起的破产情况.首先由定理1,可得

由式(7)可知,Ls(u)在u处总是连续的,但在各层的阈值点是不可微的,所以有

注1 当n=1 时,表示保险公司不会向股东支付红利.此时为文[5]所研究风险模型带干扰项的情形.

注2 当m=1 时,相当于将马尔可夫调制风险模型(2)简化为经典的具有多层阈值带干扰的复合poisson 风险模型,若再令σ=0,则与文[5]考虑的模型相同.

注3 令σ=0,假设从状态1 开始,,且索赔只发生在状态1,则风险模型(2)即为多层阈值下具有广义Erlang(m)索赔时间的风险模型.

3 积分微分方程的解

首先放宽式(10)中的条件bi-1≤u＜bi为bi-1≤u,设L(u,i)为下面非齐次积分微分方程的解,

由微分方程的一般理论,有

其中kij是常系数,vij是相关齐次积分-微分方程的m个线性无关的解.于是

且vij(u)=(vij(u,1),vij(u,2),…,vij(u,m))T,i=1,2,…,n;j=1,2,…,m.

当 det[Ai(s)]≠0时,有

定理2 若δ,σ,λj＞0,j=1,2,…,m,则方程

在复平面的右半平面有m个根.

证明设O表示复平面上圆心在(δ+λ,0),半径为δ+λ的圆,其中λ=maxλj,j=1,2,…,m.

即Ai(s,μ)为严格对角占优矩阵,故 det[Ai(s,μ)]≠0.

设g(μ)表示det[Ai(s,μ)]=0当z在圆O内部时的根的个数,显然此时s的实部大于0,由柯西辐角原理,有

下面设定理2 中的m个正根ρi,1,ρi,2,…,ρi,m是不同的,定义差分形式:

对于不同的ρi,1,ρi,2,…,ρi,m,易知式(16)中的分子为0,所以

从而

经过重复迭代,有

因此,L(bi-1,i)可表示为

利用Song 等[19]的方法,可得

接下来,考虑齐次积分-微分方程的解,齐次方程(14)的解是由初始条件唯一确定的.现给定初始条件vij(bi-1,k)=I(k=j),i=1,2,…,n,j,k=1,2,…,m.令y=u-bi-1,Ψi(y)=Ψi(u-bi-1)=vi(u),i=1,2,…,n,则方程(14)可变为

由拉普拉斯变换可得

故

所以有

其中 Δ-1为拉普拉斯逆变换,Ψi(0)=vi(bi-1).

4 索赔分布为有理函数族时Gerber-Shiu 函数的显式解

下面考虑索赔分布为有理函数族的情况,即其密度函数的拉普拉斯变换为

定理3 当索赔数量分布属于有理函数族时,方程(14)的解为

其中

定理4 若索赔金额分布属于有理函数族,则方程(12)的解可表示为

其中

定理3、4 的详细证明可以用类似Zhou 等[17]的方法得到.

5 结束语

本文在多阈值马尔可夫调制风险模型的基础上,研究了带扰动的多阈值马尔可夫调制风险模型下的Gerber-Shiu 函数,推导了Gerber-Shiu 函数在该模型下所满足的积分-微分方程,并证明了在带扰动情况下的伦德伯格方程仍有m个解,并以此对积分-微分方程进行求解.