基于模拟退火粒子群算法的拱桥扣索索力优化

2023-06-07刘威

黑龙江交通科技 2023年6期

关键词：索索拱圈索力

刘威

(湖南轨道交通控股集团有限公司,湖南长沙 410006)

1 模拟退火粒子群算法

1.1 基本粒子群算法

(1)

(2)

式中:d为粒子维度;w为惯性权重因子;k为迭代次数;c1、c2为学习因子[8];r1和r2为均匀分布在[0,1]之间的随机数;Gbest和Pbest分别为全局最优位置和局部最优位置。

1.2 模拟退火算法

模拟退火(SA)算法最早是由Metropolis模拟物理上的退火过程而提出,首先将固体物质加热,随着温度不断的升高,物质内部的粒子变得活跃起来并处于无序状态;之后再将其慢慢冷却,随着温度的下降,物质内部的粒子又由无序状态变成有序状态,该过程即为退火过程。根据优化问题和退火过程的特点,可以将模拟退火算法应用于各种优化问题中。

SA算法在对目标问题进行寻优时,首先设置一个初始温度,并在解空间上生成一个初始解;然后对初始状态进行干扰,得到新解;之后采用Metropolis准则判断是否需要将新解与当前解进行替换;最后算法在温度达到最低临界值时得到全局最优解。Metropolis准则见公式(3)

(3)

式中:T为温度参数;f(i)、f(j)分别为固体在状态i与j下的内能。

由上式可以看出,当f(i)≥f(j)时,算法将会以100%的概率来接受这个新状态;当f(i)

1.3 模拟退火粒子群算法

PSO算法在对目标函数的优化过程中,主要是通过不断更新粒子的位置和速度使粒子不断向Pbest和Gbest方向逼近。该算法在早期收敛速度很快,但到后期粒子速度接近0时,其收敛速度显著变慢甚至停滞不前,若此时计算出来的解为局部最优解时,那么粒子收敛于这个位置之后,将不再更新寻找全局最优解。因此,PSO算法易陷入局部最优,同时还具有早熟收敛、搜索精度较低等缺点。

SA算法具有极强的全局寻优能力,并且可以以一定的概率接受计算时遇到的较差解,从而避免使其陷入局部最优,达到全局寻优的效果。但该算法在运算时收敛速度极慢,并且参数设置也比较复杂。

为了改善PSO算法早熟收敛、易陷于局部最优的缺点,发挥SA算法强大全局寻优能力的优点,本文融合两种算法,将SA算法中的Metropolis准则应用于PSO算法形成一种模拟退火的粒子群算法[9-10]。新算法具备两种算法的优点,从而提升了算法的整体性能。

基于模拟退火粒子群算法的流程图,具体步骤如下所示。

(1)初始化粒子的位置和速度,设置迭代次数k、种群大小N和维数D等相关参数。

(2)计算粒子的适应度值。

(3)判断全局最优是否停滞或达到迭代次数,若满足则执行步骤5,若不满足,则进行下一步迭代计算。

(4)根据公式(1)和公式(2)更新粒子的速度与位置。

(5)设置初始温度T0。

(6)计算粒子的新适应度值,并且根据公式(3)Metropolis准则更新局部最优解和全局最优解。

(7)判断是否满足停止条件,若满足则输出结果;若不满足,则执行步骤6。

2 索力优化目标函数

对于拱桥索力优化问题,由于弯曲应变能法可充分考虑拱桥结构各部位的受力,塔架与拱肋的受力均可兼顾[11-12],因此本文采用弯曲应变能法建立拱桥斜拉扣挂阶段索力优化的目标函数,即以弯曲应变能最小作为优化目标。

根据力学理论知识可知拱桥结构主要构件的弯曲应变能U可表示为

(4)

式中:E、I分别为单元的弹性模型与截面惯性矩。

对结构进行离散化,则公式(4)可进一步表示为

(5)

式中:L为单元长度;m为单元总数;i为单元号;MLi和MRi分别为单元左端弯矩与右端弯矩。

公式(5)用矩阵形式可表示为

U={ML}T[B]{ML}+{MR}T[B]{MR}

(6)

式中:T表示矩阵的转置;[B]为对角系数矩阵,具体形式见式(7)。

(7)

对调索前构件左、右梁端弯矩ML0、MR0分别施加索力调整向量,则索力调整后的弯矩向量可表示为

{ML}={ML0}[CL]{Y}

{MR}={MR0}[CR]{Y}

(8)

式中:{Y}为扣索索力调整向量,Y=[y1,y2,...yn];[CL]为索力对单元左端的影响矩阵;[CR]为索力对单元右端的影响矩阵。

将公式(7)、公式(8)代入公式(6)中可得

U={ML0}T[B][CL]{Y}+{Y}T[CL]T[B]{ML0}+{YT}[CL]T[B][CL]{y}+MR0}T[B][CR]{Y}+{Y}T[CR]T[B]{MR0}+{YT}[CR]T[B][CR]{y}

(9)

对弯曲应变能求一阶导数,并使其等于0,即为扣索索力调整后的弯矩应变能最小,如公式(10)所示

(10)

式中:n为扣索个数。

联立公式(9)与公式(10),并对其进行化简可得

{[CL]T[B][CL]+[CR]T[B][CR]}{y}=-[CL]T[B]{ML0}-[CR]T[B]{MR0}

(11)

满足上式一阶线性方程组的施调向量[Y]即为以最小弯曲应变能为优化目标,拱桥扣索索力的解。

3 算例分析

3.1 工程概况及有限元模型建立

某钢筋混凝土拱桥跨径240 m,净矢跨比为1/6,净矢高为40 m,主梁采用箱型截面,截面宽、高分别为10 m、4.5 m;主拱圈采用斜拉扣挂悬臂浇筑技术进行施工,该桥纵向共有37个节段。

3.2 有限元模型建立

本文采用大型通用有限元软件ANSYS建立算例拱桥的有限元模型,拱桥有限元模型示意图主梁采用beam189梁单元模拟,扣锚索采用link10杆单元,梁单元与杆单元之间采用MPC184约束单元进行连接,拱桥建模的主要材料参数取值如表1所示。

表1 算例拱桥主要材料参数取值

3.3 拱桥扣索索力优化模型建立及算法实现

根据相关理论,以最小化弯曲应变能U作为拱桥斜拉扣挂阶段扣索索力优化目标。悬臂浇筑拱桥在施工过程中主拱圈会因拉应力过大而出现开裂现象,在扣索索力优化过程中,应确保拱圈拉应力始终小于拱圈拉应力极限值,因此本文将其视为扣索索力优化的约束条件。因此,拱桥扣索索力优化模型用数学表达式可表述为

(12)

式中:D1,D2,...,D18为待优化变量,表示1#～18#扣索初张力(由于算例拱桥为对称结构,故本文仅选取了拱桥右侧扣索进行分析);σ为拱圈拉应力;[σ]为拱圈拉应力限值,本文取[σ]=3 MPa[3]。

为对比基本粒子群算法与模拟退火粒子群算法对扣索索力优化的优劣性,利用MATLAB编写两种算法的计算程序,并分别对扣索索力进行优化,两种算法的迭代结果如图1所示

图1 基本粒子群算法与模拟退火粒子群算法迭代效果对比图

从图1中可以看出,模拟退火粒子群算法收敛速度明显优于普通粒子群算法;与普通粒子群算法相比,模拟退火粒子群算法在收敛精度上也有一定提高,主要是由于普通粒子群算法在迭代后期易陷入局部最优,并且容易早熟收敛。

3.4 优化结果分析

采用模拟退火粒子群算法优化得到的扣索索力与优化前的索力对比。与优化前扣索索力相比,采用模拟退火粒子群算法优化后的索力整体有增也有减,但优化后扣索索力的最大值有显著下降,优化后扣索最大索力为1 882.58 kN,较优化前下降了217.42 kN;观察优化前后各扣索索力的变化趋势可知,优化后各扣索索力整体变化幅度较优化前更加平稳,其中优化前扣索索力最大值和最小值分别为2 100 kN、1 000 kN,优化后扣索索力最大值和最小值分别为1 882.58 kN、1 191.09 kN,与优化前相比,优化后扣索索力最大值与最小值的差更小。

为了更好地表现模拟退火粒子群算法在拱桥扣索索力优化中的优化效果,根据建立的有限元模型,分别采用三种传统的扣索索力优化方法(零挠度法、零弯矩法与定长扣索法)[13]可计算得到该拱桥的拱圈弯矩,并将其与基于模拟退火粒子群算法得到的拱圈弯矩进行对比。

可以看出,采用模拟退火粒子群算法、零挠度法、零弯矩法与定长扣索法得到的拱圈弯矩相差较大,其中采用零弯矩法得到的拱圈截面弯矩均为正值,表明其主要受正弯矩作用;采用模拟退火粒子群算法、零挠度法、与定长扣索法得到的拱圈弯矩既有正也有负,采用定长扣索法得到的拱圈弯矩值最大、波动幅度也最大,其中最大正弯矩和最大负弯矩分别达到了17 631 kN·m、-7 238 kN·m;采用零挠度法得到的拱圈弯矩波动幅度有所减小,其中最大正弯矩为15 557 kN·m,最大负弯矩为-5 694 kN·m;采用模拟退火粒子群算法得到的拱圈弯矩波动幅度最小并且弯矩值整体也较小,最大正弯矩和最大负弯矩分别为13 673 kN·m、-5 694 kN·m,进一步表明采用模拟退火粒子群算法对拱桥进行索力优化具有良好的应用效果。