隐函数求导方法探索

杨 雄 袁新全

（娄底职业技术学院，湖南娄底 417000）

0 引言

求导是高等数学教学中的主要内容之一，其中隐函数求导是导数中的难点内容。在实际应用中，有些变量相互关联，并且相互影响，为了确定变量之间的关系，通常应用方程式或方程组确定，由这些方程式或方程组确定的函数，需要求极值及优化等问题，进而经常用到隐函数求导，并且隐函数求导在问题研究及工程应用中有重要作用。因此，许多学者对隐函数求导进行了研究，如学者崔楠、朱德馨对隐函数在几何方面的应用进行了研究[1]，张亚龙、高改芸、刘爽研究了5 种求隐函数的导数方法[2]，张芬、吴红星等对隐函数求导的正解与错解进行了案例分析[3]。为了便于对隐函数求导的理解，本文首先阐释一元隐函数的求导方法，然后推广到多元隐函数的求导情况，并且得出相应的隐函数的求导公式，同时应用实际案例对隐函数求导公式进行应用探索。

1 隐函数的定义及其求导方法

如果在方程F(x,y)= 0 中，当x取某区间内的任一值时，相应地总有满足此方程唯一的y值存在，那么方程F(x,y)= 0 在该区间内确定了一个一元隐函数。类似若有一个三元方程F(x,y,z)= 0 所确定的二元函数z=f(x,y)存在，则有可能确定一个二元隐函数。对此类隐函数求导，其主要方法有：

（1）先通过运算，把隐函数F(x,y)= 0 或F(x,y,z)=0 转化成显函数y=f(x)或z=f(x,y)，再利用求导公式和求导法则进行求导，一般情况许多隐函数很难显化，并且求出导函数也是隐函数。

（2）把隐函数看作方程，方程左右两端对x求导（求导时注意y是关于x的函数），可得到关于导数y′（x）的方程，解方程即可求出函数的导数y′（x）。或者在多元函数中方程两端求偏导，再解方程求出偏导数。

（3）将x，y看作两个“平等地位”的变量，利用一元微分或多元函数全微分的形式不变性，在等式F(x,y)= 0 或F(x,y,z)= 0 两端同时取微分，一元微分得到关于dy与dx的等式，把导数看作微商即可求出y′（x），多元函数求出全微分等式，类比dx前的因子是x的偏导数，dy前的因子是y的偏导数[4]。

2 一元隐函数求导法则

2.1 一元隐函数的求导公式

隐函数存在定理1[5]设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续的偏导数，且F(x0,y0)= 0，Fy(x0,y0)≠0，则方程F(x0,y0)=0 在点(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且有连续导数的函数y=f(x)，它满足条件y0=f(x0)，并有

如果F(x,y)的二阶偏导数也都连续，可以把（1）式的两端看作x的复合函数而再求一次导数，则有一元隐函数的二阶导数公式：

方法一：用复合函数求导法则求解隐函数的导数

解：直接用复合函数求导法则，有

分析：在此求导过程中一定注意，y是关于x的函数，即y=(x)，比如求y2的导数，应该是2yy′，而不是2y，等式两边求导后相当于解一元一次方程即可求出导数，当然求出的导函数还是一个隐函数。

方法二：用等式两端求微分的方法求解隐函数的导数

解：方程两边取微分，则有

分析：等式两端求微分，求解过程用到一元微分的形式不变性， 其实质用df(x)=f′(x)dx，然后把等式两端的dx约去，得到关于y′的方程，解方程即得导数。

方法三：直接应用定理1中的（1）式求解

分析：直接用定理1 求解，隐函数要变到F(x,y)= 0 的形式，然后分别对F(x,y)求偏导数，当x求偏导数时，y看着常数，当对y求偏导数时，x看着常数，其他与一元函数求导法则、求导公式一样。

2.2 一元隐函数的其他求导方法分析

2.2.1 复合函数求导法则解隐函数的导数

案例2 设y=f(x+y)，其中f二阶可导，且其一阶导数不等于1，求

解：等式两端对x求导，则有y′=f′(x+y)(1+y′)，即

对上式两边再对x求导，可得

y″ =f″(x+y)(1 +y′)2+f′(x+y)y″， 进而有，将y′代入上式，有

分析：在求此类函数的导数时，一是注意y是关于x的函数；二是注意复合函数的求导法则，不能丢掉内层函数的导数；三是注意一直用方程两端求导，求导过程中不要先求出一阶导数y′，再对一阶导数等式两端求导，这样变成了一个分数函数求导，继续求高阶导数会变复杂，只要最后把y′代入即可[6]。

2.2.2 对数求导法求解隐函数的导数

案例3 求隐函数x2=y2的导数。

解：对等式两端取对数，则有

分析：如果等式中含有幂指函数，一般用对数求导法，先对等式两边取对数，并且一般需要先通过相应的对数运算，然后等式两边求导数即可。当然有时可以转换成e的指数形式，再用复合函数求导，如此题可转换成eylnx=exlny[7]。

2.2.3 等式两边求微分法求隐函数的导数

案例4 求隐函数cos(xy)=x3y3的导数。

解：对等式两端求微分，则有

dcos(xy) =d(x3y3)⇒-sin(xy)d(xy) =y3d(x3)+x3d(y3)

⇒-sin(xy)(ydx+xdy)=3x2y3dx+3x3y2dy

整理解得

分析：此解法与例1 中的解法二是有区别的，例1 中用到的是一元函数的微分公式，这里用到的是二元函数的全微分公式，即df(x,y)=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy，实质是等式两边求全微分。

2.2.4 用变量代换求解隐函数的导数

案例5 设函数y=y(x) 由方程xy2+y2lnx= 4确定，求[8]。

解：将方程改写为ey2lnx+y2lnx=4，进行变量代换，设u=y2lnx，则有eu+u= 4。

对x求导，可得即

分析：解此类题，在解题过程中加强观察，可能会找到简便的解法，当然观察的能力来自于平时的积累，因此，对一些解题的方法和技巧要平时多积累。

2.2.5 求一元隐函数的导数值

案例6 设y=y(x)由方程y-xe2= 1 确定，求的值。

解：方程两端求导可得y′-e2-xeyy′=0，由y-xey y′ = 1 可得-xey= 1 -y，代入以上方程化简可得(2 -y)y′ -ey= 0。

以上方程两边再对x求导可得

-(y′)2 +(2 -y)y″ -y′ey= 0

由已知方程及x= 0 得y(0)= 1，再由方程y′ -ey-xey y′ = 0得y′(0)=e，将它们代入以上方程得y″(0)= 2e2。

分析：若要求任意点x处的二阶导数y″，在求解得到二阶导y″之后，应将一阶导数y′的表达式代入含有y′和y″的方程中，把y′消除。在隐函数求导过程中，通过一次求导，求得关于一阶导数y′的方程，若能用原方程将含有一阶导数y′的方程化简的，应代入化简，这方便于进一步求二阶导数y″。

3 多元隐函数的求导法则

隐函数存在定理2[9]设函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内具有连续的偏导数，且F(x0,y0,z0)=0,Fz(x0,y0,z0)≠0，则方程F(x,y,z)=0 在点(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数z=(x,y)，它满足条件z0=f(x0,y0)，并有

案例7 已知x2+y2+z2- 4z= 1，求

方法一：类似案例1 中方法一，用复合函数求导方法，即z=f(x,y)，方程两端对x求偏导，则有，解得[10]。

方法二：类似案例1 中方法二，对方程两端取全微分，则有2xdx+2ydy+2zdz-4dz=0，解得，进而有

方法三：应用公式（3）求解，设F(x,y,z)=x2+y2+z2-4z-1，则有Fx= 2x,Fz= 2z- 4，所以

分析：方法一对x求偏导时，y是常数，z是关于x和y的函数；方法二是求出全微分，然后比较dx前的因子是x的偏导数；方法三对x求导时，y和z都是常数，对z求导时，x和y是常数。如果弄清楚谁是变量，谁是常数，求导就变容易了。

4 方程组给出的隐函数的求导法则

隐函数存在定理 3 设F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v)在点P(x0,y0,u0,v0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又F(x0,y0,u0,v0)=0，G(x0,y0,u0,v0)= 0，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（Jacobi）行列式）：

在点P(x0,y0,u0,v0)不等于零，则方程组F(x,y,u,v)=0，G(x,y,u,v)=0，在点(x0,y0,u0,v0)的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数u=u(x,y),v=v(x,y)，它们满足条件u0=u(x0,y0),v0=v(x0,y0)，并有

案例8 已知xu-yv= 0,yu+xv= 1，求

方法一：直接应用公式（4）计算:

F(x,y,u,v)=xu-yv,G(x,y,u,v)=yu+xv-1，则有

方法二：利用复合函数的求导法则计算，因为u=u(x,y)，v=(x,y)，方程的两端对x求

同样的方法方程两端对y求导，可求出

方法三：方程两端取全微分，则有

所以有

分析：当二元隐函数由一个方程确定时，应用公式法、复合函数求导法及全微分法求解导数，求解的难易程度不太明显，若是由方程组确定的隐函数，尤其当隐函数不是由具体方程表达式给出时，全微分求解表现出明显优越性。当然，方程组两端应用复合函数求导的方法比公式法更方便，公式法实际是这种复合函数求导方法的直接结论，方程组求导的公式是应用了线性方程组求解的克莱姆法则。

5 结束语

本文探讨一元隐函数的求导公式法、复合函数求导法、对数求导法、微分法、变量代换法和多元隐函数的求导公式法、复合函数求导法及全微分法。每种方法有各自的优势，如一元函数的公式法分别求出对x与y的偏导数，代入公式即可求出隐函数的导函数，思路很清晰，但要记住公式。其他方法不需要记公式，但求解过程技巧多，要通过一定的练习掌握各种方法的解题技巧。多元隐函数的求导有全微分法、公式法及复合函数求导，其中公式法，需要记住公式，尤其是方程组构成的隐函数公式比较复杂，难以记住，因此解题宜采用全微分法及复合函数求导法。在隐函数求导的教学过程中，通过从一元隐函数的求导方法，拓展到多元隐函数的求导方法，降低了隐函数求导的难度，进而引导学生积极参与思考，提高学生多途径、多角度思考问题的能力，并且在知识的深度和广度上得到充分挖掘。