基于方向信息的无人机群编队控制算法 *

李碧燕 ，胡顺

（1. 广西生态工程职业技术学院 汽车与信息工程学院，广西 柳州 545004；2. 广西师范大学 教育学部，广西 桂林 541004）

0 引言

由于无人机群协同控制具有广泛的应用前景，受到众多国内外学者广泛关注和研究［1-3］。编队控制作为无人机群协同控制的重要分支，也同样受到极大的关注。在无人机群编队控制中，每个无人机都需要从任意初始位置收敛到设定的几何编队形状。现有的无人机群编队控制研究可以分成如下3类方法：基于相对位置信息［4-5］，基于距离信息［6-7］和基于方向信息［8］。随着图像识别技术的发展，基于方向信息的无人机群编队控制兴起。如果使用相机等主动测量装置时，相邻无人机的相对方向可以通过主动测量装置直接测量而不需要进行通信，因此在通信受阻时也可完成控制任务，这也是基于相对方向的编队控制器的主要优点之一［9］。同时，在负载受限的情况下，基于方向信息的控制方法也是一个很好的选择，因为它能大幅减少传感器的数量［10］。

虽然基于方向信息的无人机群编队控制具有很多优点，但是现阶段还有很多问题需要解决。首先，基于方向信息的无人机群控制只能应用于简单模型，如单积分器［11］和双积分器［12］等。另一个重要的问题是，如何通过方向信息完成无人机群的移动编队问题。现有的基于方向信息的编队控制大多都为定点编队控制［13-14］。例如文献［15］针对网络异构机器人的定点编队控制提出了基于方向信息的碰撞避免控制方法。文献［16］提出了只基于方向信息的编队控制器，解决了非完整多智能体的定点编队控制问题。但是当这种控制策略用于移动编队控制时会导致跟踪误差，甚至会发散。只有当控制增益足够大，或者无人机群系统移动速度较慢的时候，系统的位置误差能收敛到零点。因此，针对无人机群移动编队设计基于方向信息的控制方法是很有必要的。现阶段，基于方向信息的编队控制方法主要有2 种：基于最优策略（opimization techniques）［17］和 基 于 持 续 激 励（persistence of excitation，PE）［18］。例如文献［19］将一种刚性方向理论（bearing rigidity theory）推广应用到基于方向信息的编队控制系统的稳定性证明中。文献［20］利用仰角刚性理论（elevation angle rigidity theory）结合梯度下降法完成了基于方向信息的编队控制器设计。虽然这2 种方法在系统的稳定性分析上具有较大的优势，但是无法将控制策略扩展应用到更加复杂的情况，如带有未知建模和扰动的复杂非线性系统。本文通过设计比例和积分环节完成移动编队跟踪控制，控制器结构简单，与PID（proportional integral derivative）控制器相似。

为了解决基于方向信息无人机群移动编队问题，本文基于标准Lyapunov 的稳定性分析方法设计了基于方向信息的速度跟踪编队控制器。基于标准Lyapunov 的分析有利于控制策略拓展到包括非线性系统和不确定因素在内的复杂系统中。通过设计比例（proportional）积分（integral）控制策略完成了无人机群的速度编队跟踪控制，最后通过Matlab仿真实验验证了控制策略的有效性。

1 系统描述

1.1 符号说明

Rn和Rm×n分别代表了n× 1 阶实数矩阵空间和m×n阶实数矩阵空间，N+表示为正整数集合，In表示n阶的单位矩阵，0n表示n阶元素全为0 的矩阵。‖ · ‖代表·的二阶范数，λmin(·)表示矩阵(·)最小的特征值，λmax(·)表示矩阵(·)最大的特征值。表1 给出了变量的解释说明。

表1 相关参数和变量说明Table 1 Description of relevant parameters and variables

1.2 准备工作

无 人 机i的 位 置 为qi∈Rd，其 中d≥2，i=1，2，…，N，N为无人机群的数量。无人机群的结构用无向图G= (V，Ψ)表示，其中V={υ1，υ2，…，υN}是节点集；Ψ∈V×V为边集。(i，j) ∈Ψ表示无人机i可以测量到自身到相邻无人机j的方位。Ni={υj|(υi，υj)∈Ψ}表示无人机i的相邻无人机集合。针对无向图G=(V，Ψ)，分别定义(i，j)的边向量和方向向量为

需要注意的是eij=-eji，gij=-gji。

定向图是带有方向的无向图，定义m为无向图G= (V，Ψ)的无向边的数量，则定向图有m个有向边。假设k∈{1，2，…，m}，第k个有向边的边向量和方向向量为

针对方向向量gk，定义如下的正交投影运算符P：Rd→Rd×d：

当且仅当Pgk x= 0 时，向量x平行于gk。

结合式（3），对gk求导可得

由于

为了后续的稳定性证明，引入如下方向Laplacian 矩阵［16］

假设无人机群系统中有nl个领导者和nf=n-nl个跟随者，并且Vl={1，…，nl}，Vf={nl+1，…，n}，则式（7）可以写成

式中：B22∈Rdn2×dn2。为了后续稳定性证明，引入如下的引理。

引理1.（唯一目标编队条件［21］）如果矩阵Bff为非奇异矩阵，则无人机群系统的期望方向和领导者的位置可以确定唯一的期望编队，即存在唯一的编队结构

1.3 控制目标

本文的控制目标是设计基于方位信息的分布式控制器来使得无人机系统按照特定的编队几何结构跟随领导者。

无人机群系统的跟随者为单积分器，方程如下

式中：ui(t)为第i个跟随者的控制输入。

需要注意的是，本文的领导者按照期望的速度和位置进行运动，而不设计控制器进行控制。为了控制器的设计方便作出如下的假设：

无人机群系统的编队控制中，无人机不会产生相互碰撞的情况。

注意：无人机群编队控制中，无人机群系统内部防碰撞研究也是一个重要的研究内容，本文为了方便将研究重点放在控制器的设计上，所以提出假设。

2 基于方向信息的编队跟踪控制

接下来将设计控制器来完成控制目标1。首先定方向误差为

然后设计如下的控制器

式中：kp和ki为需要设计的控制参数，控制器的形式类似于PI 控制。其中比例和积分分别用于完成相对位置跟踪和速度跟踪，最优控制参数kp和ki可以通过优化算法（如遗传算法）等获得。

注意1. 式（11）的控制器中只用到了相邻无人机的相对方向gij，如果使用相机等主动测量装置时，相对方向不需要与其他无人机进行通信集合获得，因此在通信受阻时也可完成控制任务。

令控制器中的积分项为

本文的领导者具有相同的速度vc，由于无人机群编队系统按照固定的速度和结构移动，因此有。多智能编队系统的质心位 置 定 义 为。如果无人机群系统满足引理1，则(t)为定值，并且满足

由式（9）可得

式中：v= (v1，v2，…，vN)T，vi表示第i个无人机的速度。

对式（12）求导

接下来将进行无人机群控制系统的稳定性证明。首先定义误差函数为了后续证明，先加入下面的引理

引理2. 如果无人机群系统满足引理1 和假设1，则如下不等式成立

证明：由于λmin(Bff) ≥0，很容易知道

成 立 。 然 后 证 明 不 等 式eT(g-g*) ≥成立。

然后有

结合式（3），可写成

因此，可以获得如下的不等式

然后可以获得如下的不等式

将其代入不等式（21）可得

结合式（13），上述不等式可以写成

将不等式（26）代入不等式（24）中可得

引理2 证明完毕。

定理1. 如果无人机群系统满足引理1 和假设1，当控制器为式（11）时，有λ→0，ᾶ →0，并且无人机群系统按照固定速度进行移动。

首先定义如下的Lyapunov 方程

由不等式（16）可知V1≥0。

结合式（5），对Lyapunov 方程求导可得

将式（14）和式（15）代入式（29）可得

由于

因此式（30）可以写成

对上述一元二次不等式进行求解可知

所以‖ ‖λ有界。

由于

结合不等式（16）和不等式（36）可知，只有当g-g*= 0，即g=g*时，，所以λ=q-q*= 0。定理1 证明完毕。

3 数值仿真

接下来进行仿真实验来验证控制策略的有效性。算法仿真在Matlab 2016b 平台运行，所用计算机操作系统为Windows 10。硬件配置：64 位，CPU为2.3 GHz 运算频率，8 GB 运行内存。仿真实验中，无人机群有2 个领导者，4 个跟随者。跟随者为式（9）所示。领导者在本文中可以看成给定的跟踪目标，所以不设计控制器进行控制。无人机群编队系统的目标编队如图1 所示。

图1 目标编队结构Fig. 1 Structure of target formation

领导者的初始位置为q1=（10，10）T，q2=（10，-10）T。跟随者的初始位置为q3=（10，30）T，q4=（-30，-30）T，q5=（-30，30）T，q6=（-10，-30）T。跟随者的期望 方 向 为

接下来的仿真实验分为2 个部分，首先是速度为0 的无人机群固定编队控制，然后是速度不为0的无人机群速度跟踪编队控制。

情形1. 无人机群编队系统的速度为0，即vc= 0，控制器的控制参数为kp= 5，ki= 0。仿真结果如图2，3 所示。

图2 固定编队控制效果Fig. 2 Control Effect of fixed formation

由图2 可以看出，基于方向信息的控制器能很好地完成固定编队控制效果，并且由图3 可以看出，方向误差最终趋近于0。其中跟随者3，4，5，6 的方向误差分别为

图3 固定编队跟随者方向误差Fig. 3 Followers’ bearing errors of fixed formation

情形2. 无人机群编队系统的期望跟踪速度为1 m/s，即vc= 1 ms。控 制 器 的 参 数 为kp= 5，ki=0.3。仿真结果为图4，5 所示。

图4 速度跟踪编队控制效果Fig. 4 Control effect of velocity-tracking formation

图5 速度跟踪编队控制跟随者方向误差Fig. 5 Followers’ bearing errors under velocity-tracking formation contol

由图4，5 可以看出，只基于方向信息的无人机群速度跟踪编队控制系统能完成速度跟踪编队控制任务，并且系统的方向误差最终趋近于0。

4 结束语

无人机群编队控制中，基于方向信息的控制策略具有不受通信限制、负载小的优点而被研究人员重视。本文针对无人机群系统的移动编队控制提出了基于方向信息的分布式控制策略，设计了比例积分控制器完成了移动编队的控制目标。控制器的设计过程中，采用基本Lyapunov 方法验证了控制系统的稳定性，从而大大提高了控制策略的应用扩展性。最后通过仿真实验完成了控制策略的有效性证明。需要注意的是，本文研究的控制对象为简单的单积分器无人机群系统，移动为定值，后续将考虑研究非线性无人机群复杂环境的编队控制和变速度跟踪编队控制策略。