一种精确判断闰年的算法探究

赵则名

张永强  高级教师，湖南省十佳科技教师。科普中国2021年十大科普人物奖获得者，全国校园发明创意大赛、湖南省青少年科技创新大赛、湖南省创新编程与智能设计大赛、湖南省科学调查体验活动评审专家组成员。

亲爱的读者，在阅读本文之前，请打开手机中的日历，调到指定日期1582年10月，你会发现什么？

日历上居然没有10月5日—10月14日，少了10天时间！你一定会很惊讶。

其实，这并不是手机软件出现了错误。这一切都要从闰年说起。

公历年份中，平年有365天，闰年有366天。公历年份是4的倍数的一般是闰年，但公历年份是100的倍数时，必须是400的倍数才是闰年。《C语言程序设计》（第三版）中将这种描述逻辑化，给出的判断闰年的算法为：1.能被4整除，但不能被100整除的年份；2.能被100整除，又能被400整除的年份。这就是我们常说的“4年1闰，100年不闰，400年补1闰”的现行历法闰年规则（简称“400年97闰”）。

纵观历法发展史，闰年规则其实经历了多次演变。

一、闰年规则的演变

现行的公历又叫格里历，于公元1582年10月由罗马教皇格里高利十三世颁布，其因内容简洁、精度较高，且便于记忆逐渐被各国采用，成为国际通用历法。格里历的前身是儒略历，公元前45年就开始在西方推广实施，由于当时的天文观测手段还没有那么发达，儒略历的闰年规则是“4年1闰”（简称“400年100闰”）。随着时间推移，人们逐渐发觉，儒略历会引发“春分飘离”现象——即春分日期不断提前。

16世纪末，天文学家发现儒略历给出的日期与真实日期已有10天的误差，春分甚至提前到3月11日。这引发了教皇格里高利十三世的历法改革，其主要做法是：颁布法令，将公元1582年10月4日（星期四）后的一天直接改为10月15日（星期五）；在儒略历的规则下新增一条规定——世纪年（年份为整百数）必须要被400整除才设为闰年，否则设为平年。该规定将儒略历“400年100闰”修正成格里历的“400年97闰”，提高了闰年规则的精度。

由于该法令直接删除了儒略历多闰的10天，导致1582年10月日历上的10天“不翼而飞”。现行公历闰年规则会不会再次发生“春分飘离”的现象呢？这需要从天文学中寻找答案。

二、闰年规则的本质

地球在绕地轴自转的同时围绕太阳公转，所以地球上有了昼夜更替、四季轮换。地球公转一周为一年，天文学上有恒星年和回归年之分。

恒星年是地球公转的真正周期，采用的是钟表时体系，多用于天文学计算。从太阳中心看，恒星年是地球中心从天空中的某一点出发，环绕太阳一周，又回到此点的时间。

回归年是历法年，又称“太阳年”“季节年”，采用的是地球表面真太阳时体系。从地球中心看，回归年是太阳中心在黄道上连续两次经过春分点的时间间隔，也是太阳连续两次直射北回归线的时间间隔。目前，用于历法计算的回归年周期为365日5时48分46秒。

历法中一年的时间只取回归年周期的整数日部分，那么闰年规则的本质就是：补足回归年周期中多出的5时48分46秒的误差。4年后，回归年中的零头“5时48分46秒”会累计少计23时15分4秒。按儒略历（400年100闰），每4年闰1天（补24时）后又会累计多计44分56秒，400年后，累计多计74时53分20秒。依据格里历（400年97闰），每400年少闰3天（减72时）。这样，还会存在每400年多计2时53分20秒的误差，该误差虽然很小，但经过长时间累积，必然再次导致“春分飘离”现象。

三、闰年问题的数学建模

我通过数学模型进一步精确分析闰年规则，完善判断闰年的算法。

分析渐近分数的历法学含义可得：4年闰1天是对回归年较好的逼近；29年閏7天更逼近些；33年闰8天再精密些；128年闰31天更加精密。400年中有3个128年，故31×3+  =97天，便是现行的闰年规则；……故知，每43 200年中闰10 463天能精确吻合回归年周期。

由上可知，判断闰年的算法可用回归年分数部分表达，公式3为带误差的回归年分数表达式：

公式4的含义为：每4年1闰，其中逢100年不闰，每400年补1闰；其中逢3200年不闰，每86 400年补1闰。每86 400年为一个完整循环，完全补齐回归年分数部分带来的误差。

由此可得，精确判断闰年算法为：1.能被4整除，但不能被100整除的年份；2.能被100整除，又能被400整除，但不能被3200整除的年份；3.能被3200整除，又能被86 400整除的年份。

四、闰年判断算法的改进

根据公式4推导出的判断条件，绘制精确判断闰年算法流程图。

五、总结

本文的数学模型是基于回归年周期365日5时48分46秒推导演算的，这种精确判断闰年的新算法是对现行算法的优化补充。从理论上，对揭示闰年本质和修正闰年误差有着积极作用。

实际上，回归年周期并非一成不变。根据天文观测，20世纪70年代以来，地球自转的时间平均在18个月左右会增加约1秒。这会导致在遥远的将来，可能不再需要设置闰年，我们的历法会迎来新的变化。总之，当3200年来临时，到底该不该闰的问题，还是留给后人决定吧。

专家点评

这篇文章讲解了历法的发展和演变，介绍了公历、儒略历和格里历的闰年规则以及其历史背景和误差问题，同时提到了天文学中恒星年和回归年的概念。文章使用了多种资料和描述方式，简单易懂，能吸引读者的阅读兴趣。

文章的优点在于深入浅出地解释了历法发展的历史和规则，特别是详细解释了闰年规则，介绍了格里历的修正及其历史背景，读者能通过文章了解历法的演变和发展历程。接着，作者提供了数学建模分析思路与闰年判断算法的改进。

总的来说，这篇文章对历法的介绍很有价值，读者可以更全面地认识和理解历法，了解历史和天文学。

建议更加详细地阐述一些概念和原理，如恒星年、回归年等，适当增加对相关科学原理的解释，增强文章的科普性。