新高考数学选择题攻略

王佩其

有人说，数学高考得选择题者得“天下”.此话虽然说得有点过头，但也不无道理.总览新高考数学卷，满分150分，而选择题却占了60分，其中单选题共8题，占40分；多选题共4题，占20分.由此可见，在数学高考试题中，选择题的确占有不可忽视的战略地位，虽不敢说得选择题者得“天下”，但可以说失选择题者必失“天下”.那么，破解高考选择题有哪些招数呢？下面就单选题与多选题两个部分分别加以举例说明，供同学们备考之用．

一、单选题的解题策略

数学单选题通常是由一个问句或一个不完整的句子和四个供考生选择用的选择支构成，即“一干，四支”.考生只需从选择四支中选择一项作为答案，便完成了解答.解答单选题的基本策略是准确、迅速.准确是解答选择题的先决条件，选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分，所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏，确保准确.那么，破解单选题有哪些基本招数呢？

1.直接法

所谓直接法，就是直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．

例1.若复数z满足z-i≤1，则复数z在复平面上对应的点Z所在区域的面积等于（）

A.π B.2π C.π2D.π4

解析：因为复数z满足z-i≤1，所以复数z在复平面上对应的点Z是以（0，1）为圆心，以1为半径的圆及圆的内部区域，所以复数z在复平面上对应的点Z所在区域的面积等于π×12=π.故选A.

点评：一般来讲，高考卷的前4到5道单选题本身就属于容易题，用直接法求解往往更容易；另外，有些选择题也许没有间接解答的方法，你别无选择；或者虽然存在间接解法，但你一下子找不到，那么就必须果断地用直接解答的方法，以免欲速不达.当然要记住一个原则，用直接法也要尽可能的优化你的思路，力争小题不大做．

2.特例法

特例法就是从题干（或选项）出发，通过选取符合条件的特殊情况（特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等）代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断．

例2.已知等差数列{an}满足a1+a2+…+a2023=0，则有（）

A.a1+a2023>0B.a2+a2022<0

C.a3+a2021=0D.a1012=1012

解析：取满足题意的特殊数列{an}，它的通项为an=0，于是a3+a2021=0.故选C．

点评：本题原本考查等差数列的性质，可以推导出am+an=0（m+n=2024）的结论，但利用特殊数列法，可以“秒杀”答案．

3.排除法

排除法（淘汰法）是充分利用选择题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项，从而得出正确结论的一种方法．

例3. 函数f（x）=lnx·cosxx+sinx在［-π，0）∪（0，π］的图像大致为（）

例4. 解析：由题意函数f（x）=lnx·cosxx+sinx，x∈［-π，0）∪（0，π］，则f（-x）=ln-x·cos（-x）-x+sin（-x）=-f（x），故f（x）=lnx·cosxx+sinx为奇函数，其图像关于原点对称，故A错误；又因为f（1）=f（-1）=0，fπ2=f-π2=0，可判断B错误；又fπ3=lnπ3·12π3+32>0，f（π）=-lnππ<0，故C错误，只有D中图像符合题意，故选D．

点评：本题要求根据给出的函数解析式选图像，一般采用排除法，利用已知函数的奇偶性与图像上的特殊点，来排除不满足要求的选项，从而找到正确选项．

4.数形结合法

有些选择题可通过命题条件中的函数关系或几何意义，作出函数的图像或几何图形，借助于图像或图形的作法、形状、位置、性质等，综合图像的特征，得出结论．

例4.已知O为坐标原点，OA=（cosθ，sinθ），OA-OB=1，则（）

A.OB的最小值为22

B.OB的最大值为2

C.OA·OB的最小值为1

D.OA·OB的最大值为2

[TPSX-25.TIF;%75%75;Z1，Y]

解析：由sin2θ+cos2θ=1，可得点A的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，根据向量减法的几何意义，由OA-OB=1，可得点B的轨迹是以A为圆心，1为半径的圆，如图所示.当点B在坐标原点位置时，OB取最小值0，A选项错误；当点B在直线OA与圆A的交点位置且不是原点时，OB取最大值2，B选项错误；根据向量数量积的几何意义，当点B在坐标原点位置时，OB在OA方向上的投影取最小值0，此时OA·OB取最小值0，C选项错误，当点B在直线OA与圆A的交点位置且不是原点时，OB在OA方向上的投影取最大值2，此时OA·OB取最大值2， D选项正确.故本题选D．

点評：本题属于向量运算问题，由于解答时揭示问题的几何背景，借助于图形直观判断，因而使计算量大大减少，达到了“小题小做”的目的．

5.估算法

选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程.因此，有些题目，不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法.估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次．

例5.已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，则球面面积是（）

A.169πB.83πC.4π D.649π

解析：球的半径R不小于△ABC的外接圆半径r=233，则

S球=4πR2≥4πr2=16π3>5π，只有D选项符合，故选D．

点评：估算法主要针对于计算型选择题，把定量计算问题转化为定性选择问题，从而达到大大减少计算量的目的．

6.换元法

换元法又称辅助元素法、变量代换法.通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等．

例6.已知x>0，y>0，且2x+y=xy，则x+2y的最小值为（）

A.8 B.82 C.9 D.92

解析：由2x+y=xy，x>0，y>0得：2y+1x=1，

∴x+2y=（x+2y）2y+1x=5+2xy+2yx≥5+22xy·2yx=9（当且仅当2xy=2yx，即x=3，y=3时取等号），∴x+2y的最小值为9.故选C．

点评：换元法主要有常量代换和变量代换，要根据所求解问题的特征进行合理代换.如本例中就是使用常数1的代换，将已知条件化为“2y+1x=1”，然后利用乘法运算规律，任何式子与1的乘积等于本身，再将其展开，通过构造基本不等式的形式求解最值．

7.逻辑分析法

逻辑分析法就是根据结论的要求，通过对题干和选择支的关系进行观察分析、寻求充分条件，发现规律，从而做出正确判断的一种方法，它可分为定性分析法和定量分析法．

例7.记函数y1=f1（x），x∈D，函数y2=f2（x），x∈D，若对任意的x∈D，总有f2（x）≤f1（x）成立，则称函数f1（x）包裹函数f2（x）.判断如下两个命题真假：

①函数f1（x）=kx包裹函数f2（x）=xcos x的充要条件是k≥1；

②若对于任意p>0，f1（x）-f2（x）

则下列选项正确的是（）

A.①真②假 B.①假②真

C.①②全假 D.①②全真

解析：①因为函数f1（x）=kx包裹函数f2（x）=xcos x，所以xcos x≤kxxcos x≤kxcos x≤k，又因为cos x≤1，所以k≥1，

所以函数f1（x）=kx包裹函数f2（x）=xcos x的充要条件是k≥1，故①正确；

②假设f1（x）-f2（x）>0，令f1（x）-f2（x）=m>0，则当p=m2时，f1（x）-f2（x）=m>m2=p，与题意中f1（x）-f2（x）

故本题选D．

点评：逻辑分析法主要用在充要条件的判断，命题真假的判断和新定义创新性问题中，对于某些正面解决比较困难的问题，还可采取“正难则反”的方法，以减少计算量．

8.构造法

构造法是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方法.常见构造函数、构造（割补）图形等．

例8.若实数x，y，z分别满足x2021=e，2021y=2022，2020z=2021，则x，y，z的大小关系为（）

A.x>y>zB.x>z>y

C.z>x>yD.y>x>z

解析：由已知得x=e12021，y=log20212022，z=20212020，

①设f（x）=lnxx，f′（x）=1-lnxx2，当x∈（e，+∞）时，f′（x）<0，

所以f（x）=lnxx在（e，+∞）上单调递减，因此f（2022）

即ln20212021>ln20222022，所以20222021>ln2022ln2021=log20212022=y.

又设h（x）=ex-x-1，h′（x）=ex-1，當x∈（0，+∞）时，h′（x）>0，

所以h（x）=ex-x-1在x∈（0，+∞）上单调递增，因此h12021=e12021-12021-1>h（0）=0，所以e12021>12021+1=20222021，则x=e12021>20222021，所以x>y；

②设g（x）=ex（1-x）-1，g′（x）=-xex<0，当x∈（0，1）时，g′（x）<0，g（x）在（0，1）上，单调递减，当x∈（0，1）时，g（x）

综上得z>x>y，故选C．

点评：本题属于数值大小比较问题，需构造函数并利用函数的单调性来解决.这类问题是近几年高考的热点，考查导数在函数中的灵活运用．

9.直觉判断法

数学思维包括逻辑思维和直觉思维两种形式，逻辑思维严格遵守概念和逻辑规则，而直觉思维不受固定的逻辑规则约束，直接领悟事物本质，大大节约思考时间，对于有些数学单选题，我们可以尝试直觉判断法快速解答．

例9.若（1-2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则a0+a1+a2+…+a7=（）

A.-1B.1C.0D.37

解析：凭直觉，系数取绝对值以后，其和会相当大，选D.或者干脆把问题转化为：已知（1+2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，求a0+a1+a2+…+a7，这与原问题完全等价，此时令x=1得解，就可选出正确答案D．

点评：直觉判断法的应用，必须建立在逻辑思维的基础上，它不是“盲选”，而是丰富的知识积累与解题经验的“升华”．

10.等价转化法

解题的本质就是转化，能够转化下去就能够解下去.至于怎样转化，要通过必要的训练，达到见识足、技能熟的境界.在解有关排列组合的应用问题中这一点显得尤其重要．

例10.已知平面上有10个点，且任何三点不共线.若把10个点中的任意兩点连接起来形成线段，那么这些线段的交点（假设所有交点不重合）共有（）个．

A.210B.250C.240D.280

解析：注意到任何平面四边形的对角线是线段，且它们只有一个交点，于是原问题等价于“平面上有10个点，且任何三点不共线，可组成多少个四边形”，这样问题就迎刃而解了，答案就是10个点中任取4个点的组合C410=10×9×8×71×2×3×4=210，故选A．

点评：本题若不加以转化，则感觉“老虎吞天，无处下口”，而将问题转化为四边形个数问题，解题思路就十分明朗了.等价转化就是要将陌生的问题转化为熟悉的问题来解决，但必须注意转化的等价性．

二、多选题的解题策略

多项选择题，又称多选题，新高考中的多选题是一种正确选项数多于1个少于（或等于）4个的选择题题型.多选题的分值为5分，考生选出了一个或几个正确答案，但没有选出全部的，得2分；选错一个得0分；全部选对得5分.多选题是选择题的一种，解题时要认真审题，忌讳题目没有读清楚就开始埋头苦算，结果不但浪费了大量的时间，还会被选项中的干扰项干扰导致做错，结果事倍功半.对于没有把握的选项可以根据自己的实际水平，只选一个确认符合题意的答案，避免因为一个错误的选项而导致整题丢分.能拿2分先拿两分.多选题的常用方法与单选题的解法相似，主要直接法、特殊值检验、选项代入法、排除法、数形结合法，正反互推法等．

例11.定义在R的奇函数f（x）满足f（x-3）=-f（x），当x∈［0，3］时f（x）=x2-3x，则以下结论正确的有（）

A.f（x）的周期为6

B.f（x）的图像关于32，0对称

C.f（2023）=2

D.f（x）的图像关于x=32对称

解析：因为f（x）满足f（x-3）=-f（x），所以f（x-6）=-f（x-3）=f（x），故函数f（x）是周期为6的周期函数，故A选项正确；由于函数为R的奇函数f（x）满足f（x-3）=-f（x），所以f（x-3）=-f（x）=f（-x），所以根据周期性得f（x+3）=f（-x），所以fx+32=f32-x，所以f（x）的图像关于x=32对称，故B错误，D正确；对于C选项，结合周期性得f（2023）=f（336×7+1）=f（1）=-2，故C不正确.故本题选AD．

点评：本题采用了直接法，即直接利用已知条件推导结论，这是解答多选题最基本也是最常用的方法．

例12.已知a，b为正数，且a-b=1，则（）

A.a2+b2<1B.a3-b3>1

C.2log2a-log2b<2D.1b+b2a>1

解析：由于a-b=1，取b=1，a=2，代入四个选项.对于A：a2+b2<1，左边a2+b2=5>1故A错误；对于C，2log2a-log2b=2，故C错误.由于多选题至少有两个选项为答案，故选BD．

点评：本题采用了排除法.根据多选题正确答案至少有2个的特点，当排除两个选项不选时，另两个选项必选．

例13.已知实数x，y，z满足z·lnx=z·ey=1.则下列关系式中可能成立的是（）

A.x>y>zB.x>z>y C.z>x>y D.z>y>x

解析：设lnx=ey=1z=k，k>0，则x=ek，y=lnk，z=1k，画出函数图像，如图所示：

当k=x1时，z>x>y；当k=x2时，x>z>y；当k=x3时，x>y>z；

故选ABC．

点评：本题采用了数形结合法，通过构造函数，并画出函数图像，可以从图中直接看出答案．

例14.在平面直角坐标系中，O为坐标原点.定义点P（x，y）的“友好点”为：P′xx2+y2，yx2+y2，现有下列命题，其中正确的有（）

A.若点A的“友好点”是点A′，则点A′的“友好点”一定是点A．

B.单位圆上的点的“友好点”一定在单位圆上．

C.若点A的“友好点”还是点A，则点A一定在单位圆上．

D.对任意点A，它的“友好点”是点A′，则OA′ 的取值集合是{0，1} ．

解析：定义点P（x，y）的“友好点”为：P′xx2+y2，yx2+y2，即xx2+y22+yx2+y22=1，x≠0且y≠0．

对于A，取A（x，y），x≠0且y≠0，则点A的“友好点”点A′xx2+y2，yx2+y2，所以A′xx2+y2，yx2+y2的“友好点”是点A′xx2+y2，yx2+y2，故A错误；对于B，设单位圆上任意一点A（cos θ，sin θ），所以A的“友好点”点A′（cos θ，sin θ），所以A′（cos θ，sin θ）仍在在单位圆上，故B正确；对于C，取A（x，y），x≠0且y≠0，则点A的“友好点”点A′xx2+y2，yx2+y2，若A的“友好点”点为A，则x=xx2+y2

y=yx2+y2，故x2+y2=1，所以点A一定在单位圆上，故C正确；对于D，由“友好点”点的定义可知x≠0且y≠0，故OA′≠0，故D错误.故答案为BC．

点评：本题用了正反互推法，这种方法最适用于新定义型多选题，这类多选题一般有两种形式：一是给出总的已知条件，判断多种结论的真假；二是多种知识点的汇总考查，主要覆盖考点功能.两种多选题在处理上不同，前者需要扣住已知条件进行分析，后者需要独立利用知识逐项进行判断.利用正反互推法可以快速解决多选型问题．

这里必须提醒大家的是，做多选题时，必须仔细谨慎.一般可先选出最能保证正确的两个选项，在有足够的把握的前提下选择第其它答案，以免选出错误选项.只有这样，才能保证该题目能够得分.所以说要坚持宁缺勿滥的原则，否则会得零分，得不偿失．

最后再强调一点，做选择题没有固定的方法，只要能快速选出正确选项就是好办法.在新高考数学选择题中，70%的题目还是用直接法，不要每一个题目都用非常规方法来处理，那样会弄巧成拙，错漏百出，得不偿失．

责任编辑徐国坚