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关于正方形模型问题的举例探究

2023-05-25张丛丛

数理天地(初中版) 2023年9期
关键词:十字架对角线正方形

张丛丛

【摘要】正方形模型问题十分常见,常以正方形特性为基础,融合特殊关系、特殊图形等.问题解析需要深刻解读模型,总结性质特点,推导结論.本文举例探究十字架模型、对角线模型、折叠模型问题,与读者交流探讨.

【关键词】正方形;十字架;对角线

正方形是初中数学重要的几何图形,以期为基础构建的模型问题十分常见,该类问题往往具有知识考点综合的特点,问题破解需要关注模型构建的方式,把握其性质定理,再结合相关知识来转化推导,下面举例探究正方形的三个模型问题.

1十字架模型

正方形十字架模型,即在正方形的内部存在两条交叉线段,两者为垂直关系,外形类似于“十字架”结构.如图1所示的正方形ABCD中,BN⊥AM,则该模型中存在两大结论:①△ADM≌△BAN,②AM=BN.

十字架模型问题破解的基本策略是依托“十字架”线段来构建全等三角形,利用全等特性开展等角等线段推导.

例1如图2所示,正方形ABCD中,点E和F分别在边CD和AD上,BE⊥CF于点G.如果BC=4,AF=1,则CE的长为.

解析正方形ABCD中,已知BC=4,则BC=CD=AD=4,∠BCE=∠CDF=90°.由于BE⊥CF于点G,所以∠CBG+∠BCG=∠BCG+∠DCF=90°,所以∠CBE=∠DCF.

在△BCE和△CDF中,有∠BCE=∠CDF

BC=CD

∠CBE=∠DCF,可证△BCE≌△CDF(ASA),由全等特性得CE=DF.因为DF=AD-AF=3,所以CE的长为3.

评析上述问题围绕正方形的“十字架”模型来构建,FC与BE相交,为垂直关系.求线段长时采用了全等构造法,即依托相交垂直的线段构建全等三角形,推导等线段关系,进而求线段长.探究学习时合理拓展“十字架”模型,关注交叉线段的特殊位置.

2对角线模型

正方形对角线模型,即基于正方形对角线构建复合模型,模型中存在“等线段”与“两线垂直”互推关系.如图3所示的正方形ABCD中,点P是对角线对角线BD上的一点,在该模型中存在如下两个互推结论:①PA⊥PEPA=PE;②PA=PEPA⊥PE,以及一个特殊结论:PA=PC.

对角线模型破解时可以借助“一线三等角”模型的证明策略,构造全等三角形,进行关系互推.

例2在图4所示的正方形ABCD中,点E为BC上的一点,且CE=2BE,点F为对角线BD上的一点且BF=2DF,连接AE,与BD交于点G,过点F作FH⊥AE于点H,连接CH和CF.如果HG=2,则△CHF的面积为.

解析本题目中构建了正方形的对角线模型,求解时可以把握模型中的结论.

过点F作PI⊥BC于点I,连接FE和FA,则FI∥CD,如图4.

因CE=2BE,BF=2DF,所以可设BE=EI=IC=a,CE=FI=2a,AB=3a,

则FE=FC=FA=5a,则点H为AE的中点,

则有HE=12AE=10a2.

正方形ABCD中,BG平分∠ABC,

则EGAG=BEAB=13,

所以HG=14AE=10a4=2,

解得a=4105,

所以S△CHF=S△HEF+S△CEF-S△CEH=565,即△CHF的面积为565.

评析上述依托正方形的对角线模型来构建复合图形,问题解析的关键是把握该模型的结论,利用等线段来推导几何位置关系,即FE=FC=FA△AEF为等腰直角三角形.

3折叠模型

正方形折叠模型,即正方形中引入了图形折叠的过程,如以某边为折痕进行三角形折叠,后续以折叠图形来开展几何探究,如点、边的位置关系等.该类模型问题的破解,需要理解折叠过程,把握折叠特性,包括三角形全等、等边等线段关系等,在此基础上进一步建模探究.

例3如图5所示,已知正方形ABCD中,AB=3,点E在边CD上,且CD=3DE,将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG、CF.则点G为BC的(位置点).

解析本题目中以正方形为背景,引入了三角形折叠,折叠前后图形为全等关系,则△ADE≌△AFE,后续利用该结论分析线段BG和CG的关系.

由题干条件可知DE=1,CE=2.根据折叠过程可知AD=AF,EF=DE=1,∠AFE=∠D=90°,所以AB=AF=AD.

在Rt△ABG和Rt△AFG中,有AG=AG

AB=AF,

可证Rt△ABG≌Rt△AFG,所以BG=FG.

设BG=FG=x,

则EG=EF+FG=1+x,CG=3-x,

在Rt△CEG中利用勾股定理可解得x=32,

所以CG=32=BG,即点G为BC的中点.

评析上述问题中涉及正方形的折叠模型,模型的折叠特性是后续问题分析的关键.问题解析需要关注折叠的三点:折痕、对应点、对应图形.

4结语

总之,正方形模型问题的探究学习要注意对模型的探究总结,探究模型特点、构建方式,总结破解思路及对应结论.解题应用时充分把握问题条件,提取正方形模型,利用模型的性质结论推导探究.同时,注意对模型的拓展分析,关注模型的特殊情形,灵活变通,发散思维.2023年5月上例题精讲《数理天地》初中版《数理天地》初中版例题精讲2023年5月上·例题精讲·

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