关于正方形模型问题的举例探究

张丛丛

【摘要】正方形模型问题十分常见，常以正方形特性为基础，融合特殊关系、特殊图形等.问题解析需要深刻解读模型，总结性质特点，推导结論.本文举例探究十字架模型、对角线模型、折叠模型问题，与读者交流探讨.

【关键词】正方形；十字架；对角线

正方形是初中数学重要的几何图形，以期为基础构建的模型问题十分常见，该类问题往往具有知识考点综合的特点，问题破解需要关注模型构建的方式，把握其性质定理，再结合相关知识来转化推导，下面举例探究正方形的三个模型问题.

1十字架模型

正方形十字架模型，即在正方形的内部存在两条交叉线段，两者为垂直关系，外形类似于“十字架”结构.如图1所示的正方形ABCD中，BN⊥AM，则该模型中存在两大结论：①△ADM≌△BAN，②AM=BN.

十字架模型问题破解的基本策略是依托“十字架”线段来构建全等三角形，利用全等特性开展等角等线段推导.

例1如图2所示，正方形ABCD中，点E和F分别在边CD和AD上，BE⊥CF于点G.如果BC=4，AF=1，则CE的长为.

解析正方形ABCD中，已知BC=4，则BC=CD=AD=4，∠BCE=∠CDF=90°.由于BE⊥CF于点G，所以∠CBG+∠BCG=∠BCG+∠DCF=90°，所以∠CBE=∠DCF.

在△BCE和△CDF中，有∠BCE=∠CDF

BC=CD

∠CBE=∠DCF，可证△BCE≌△CDF（ASA），由全等特性得CE=DF.因为DF=AD-AF=3，所以CE的长为3.

评析上述问题围绕正方形的“十字架”模型来构建，FC与BE相交，为垂直关系.求线段长时采用了全等构造法，即依托相交垂直的线段构建全等三角形，推导等线段关系，进而求线段长.探究学习时合理拓展“十字架”模型，关注交叉线段的特殊位置.

2对角线模型

正方形对角线模型，即基于正方形对角线构建复合模型，模型中存在“等线段”与“两线垂直”互推关系.如图3所示的正方形ABCD中，点P是对角线对角线BD上的一点，在该模型中存在如下两个互推结论：①PA⊥PEPA=PE；②PA=PEPA⊥PE，以及一个特殊结论：PA=PC.

对角线模型破解时可以借助“一线三等角”模型的证明策略，构造全等三角形，进行关系互推.

例2在图4所示的正方形ABCD中，点E为BC上的一点，且CE=2BE，点F为对角线BD上的一点且BF=2DF，连接AE，与BD交于点G，过点F作FH⊥AE于点H，连接CH和CF.如果HG=2，则△CHF的面积为.

解析本题目中构建了正方形的对角线模型，求解时可以把握模型中的结论.

过点F作PI⊥BC于点I，连接FE和FA，则FI∥CD，如图4.

因CE=2BE，BF=2DF，所以可设BE=EI=IC=a，CE=FI=2a，AB=3a，

则FE=FC=FA=5a，则点H为AE的中点，

则有HE=12AE=10a2.

正方形ABCD中，BG平分∠ABC，

则EGAG=BEAB=13，

所以HG=14AE=10a4=2，

解得a=4105，

所以S△CHF=S△HEF+S△CEF－S△CEH=565，即△CHF的面积为565.

评析上述依托正方形的对角线模型来构建复合图形，问题解析的关键是把握该模型的结论，利用等线段来推导几何位置关系，即FE=FC=FA△AEF为等腰直角三角形.

3折叠模型

正方形折叠模型，即正方形中引入了图形折叠的过程，如以某边为折痕进行三角形折叠，后续以折叠图形来开展几何探究，如点、边的位置关系等.该类模型问题的破解，需要理解折叠过程，把握折叠特性，包括三角形全等、等边等线段关系等，在此基础上进一步建模探究.

例3如图5所示，已知正方形ABCD中，AB＝3，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF.则点G为BC的（位置点）.

解析本题目中以正方形为背景，引入了三角形折叠，折叠前后图形为全等关系，则△ADE≌△AFE，后续利用该结论分析线段BG和CG的关系.

由题干条件可知DE=1，CE=2.根据折叠过程可知AD=AF，EF=DE=1，∠AFE=∠D=90°，所以AB=AF=AD.

在Rt△ABG和Rt△AFG中，有AG=AG

AB=AF，

可证Rt△ABG≌Rt△AFG，所以BG=FG.

设BG=FG=x，

则EG=EF＋FG=1＋x，CG=3－x，

在Rt△CEG中利用勾股定理可解得x=32，

所以CG=32=BG，即点G为BC的中点.

评析上述问题中涉及正方形的折叠模型，模型的折叠特性是后续问题分析的关键.问题解析需要关注折叠的三点：折痕、对应点、对应图形.

4结语

总之，正方形模型问题的探究学习要注意对模型的探究总结，探究模型特点、构建方式，总结破解思路及对应结论.解题应用时充分把握问题条件，提取正方形模型，利用模型的性质结论推导探究.同时，注意对模型的拓展分析，关注模型的特殊情形，灵活变通，发散思维.2023年5月上例题精讲《数理天地》初中版《数理天地》初中版例题精讲2023年5月上·例题精讲·