例谈巧构直角三角形解题

马溶薇

【摘  要】  数形结合思想是解决数学问题中常用的一种思想方法，许多代数问题都可以用几何的方法解决，本文通过对几道2022年高考题及改编的竞赛题等的分析解答，体会直角三角形在数学解决中的重要作用.

【关键词】  构造；直角三角形

1  引言

在中学数学课程中，三角形是一个居于核心地位的几何图形，是能够充分体现“借助简单对象阐释深刻思想”的理想载体[1]. 直角三角形最主要的性质在于勾股定理，勾股定理作为联系数学中数与形的第一定理，是世界上最伟大的定理之一. 勾股定理的重要价值之一在于其證明过程中涉及的数学思想方法，这些思想方法贯穿初中几何乃至代数内容的教学，并与平方差公式、完全平方公式、中位线定理、正弦定理、余弦定理、基本不等式等知识点有着直接的联系，也与著名的费马大定理和托勒密定理相关[2]. 在整个中学数学的学习中，几何部分的内容贯穿始终，三角形是平面几何的基础与重点. 初中阶段注重学习直角三角形的性质，掌握基本的证明方法. 高中阶段更注重直角三角形的相关定理的应用. 在高考题和竞赛题的求解中经常要用到直角三角形.

构造法是一种较为常见、富有特点的解题方法，其非常规性与创造性的思维特点受到一定的认同[3]．而构图法作为构造法中的其中一种思想方法，具有一定的灵活性，构图法也是数形结合法的一种具体应用，指构造与已知条件相对应的几何图形. 构图法可以是从无到有，也可以是从有到全. 即根据题目已知条件，从没有图形到构造图形，或者从有图形到补全图形. 高中数学中函数、数列、解析几何、立体几何等板块内容都涉及到构图的思想方法.下面举例进行说明.

3  结语

通过对以上问题的求解，不难发现，许多数学问题都可以通过构造直角三角形，利用其性质定理与其他知识点结合的方式进行求解. 但是，直角三角形的构造并不是随意的，要注意相关性质及定理等与已知条件的关联性. 运用数形结合的方法对此类问题进行分析，可以让学生对直角三角形有新的认识与体会，让学生感受到数学的美妙. 同时，运用构图法解决数学问题有利于培养学生直观想象、数学建模的核心素养. 教师在进行教学的过程中也可以合理、适度地对一些常规的习题进行改编，让学生的思维得到更多的训练.

【宁夏大学2022年研究生教育改革创新与实践项目（项目编号：JXAL202205），苏克义为本文通讯作者】

参考文献：

章建跃. 研究三角形的数学思维方式[J]. 数学通报，2019， 58（04）： 1-10.

王海青，曹广福. 从《原本》谈中学平面几何课题式教学研究[J]. 数学教育学报，2021， 30（05）： 39-46+91.

何忆捷，熊斌. 中学数学中构造法解题的思维模式及教育价值[J]. 数学教育学报，2018， 27（02）： 50-53.