Theis 公式和Dupuit 公式计算渗透系数对比与探讨

李本军

（中国煤炭地质总局 水文地质局，河北 邯郸 056004）

1 概 况

矿井涌水量是确定矿床水文地质条件、矿井水文地质类型复杂程度及生产能力的重要指标。矿井涌水量是矿井生产设计部门制定采掘方案、确定矿井排水能力如水仓、泵房、水泵、排水管路等设计和制定疏干措施、防治措施及安全生产的主要依据。因此，正确预测预报矿井水文地质参数对矿井涌水量预测的重要性已成为共识，其中渗透系数是影响矿井涌水量预测的关键因素之一，采用不同的计算方法取得的结果存在差异。国内水文地质工作者对传统的承压水井完整井Dupuit 公式求水文地质参数的研究已十分深入，但是由于水文地质勘探工作程度和资料所限，鲜有水文地质工作者采用多种计算方法展开对比与探讨[1-5]。

基于以上背景，本文充分利用“山东省田庄煤矿水文地质补充勘探”项目多种抽水手段获得的丰富抽水资料，在分析相关理论的基础上，采用Theis 公式和Dupuit 公式的5 种方法对渗透系数进行计算和对比分析，以求提高矿井涌水量的预测精度。

2 Theis 公式计算水文地质参数

基于地下水向完整井的非稳定流运动理论，选取Theis 公式的lgs-1gt 降深曲线与标准曲线配线法和Jacob 直线图解法（s 与线性关系）[6]，计算导水系数和释水系数。

数据来源于《山东省田庄煤矿水文地质补充勘探报告》[7]抽水试验资料，包括4 个放水孔的放水量资料（表1）和补16 孔、XGO-1 孔和5GO-1孔的观测数据（表2、图1）。

表1 放水钻孔一览Table 1 List of drainage holes

图1 观测孔降深-时间曲线Fig.1 The curve of depth drop and time of observation hole

表2 放水试验观测孔降深Table 2 The depth drop of observation hole of drainage test

续表

根据4 个放水孔的平面分布和平均放水量情况，通过插值法等效成一个放水孔，则补16 孔、XGO-1 孔、5GO-1 孔与虚拟放水孔的距离分别为942 m、236 m 和741 m。降深-时间配线法采取的计算公式为式（1）、式（2），Jacob 直线图解法采取的计算公式为式（3）、式（4），公式具体推导过程见地下动力学第二版第101～102 页[6]，不再赘述。

式中：T 为导水系数，m2/d；W(u)、为井函数；μ*为含水层的释水系数；Q 为放水井的流量，m3/d；S 为降深，m；t 为放水开始到计算时刻的时间，需转换成与放水井流量相一致的时间单位；r为距离放水井的距离，m；i 为直线斜率。

拟合匹配过程如图2～图4 所示，选取的匹配点参数和计算成果见表3。通过Theis 公式求得的导水系数可以反求渗透系数，以补16 孔数据为例，反求渗透系数值为=2 998.313/123.41=24.30 m/d，其中，为补16 孔奥陶系灰岩含水层抽水段厚度。2种方法计算的导水系数、释水系数相近，相互验证了计算成果的可靠性和准确性。

图2 补16 孔降深-时间配线法Fig.2 The depth drop and time wiring method of Bu 16 borehole

图3 XGO-1 孔降深-时间配线法Fig.3 The depth drop and time wiringmethod ofXGO-1 borehole

图4 5GO-1 孔降深-时间配线法Fig.4 The depth drop and time wiring method of 5GO-1 borehole

表3 奥灰含水层水文地质参数计算Table 3 Hydrogeological parameters calculation of Ordovician limestone aquifer

通过Theis 公式求得的导水系数可以反求渗透系数，以补16 孔数据为例，反求渗透系数值为K=T/M=2 998.313/123.41=24.30 m/d，其中，M 为补16孔奥陶系灰岩含水层抽水段厚度。

3 Dupuit 公式计算渗透系数

3.1 单孔抽水计算渗透系数

3.1.1 未消除井损计算渗透系数

基于地下水向承压水井的稳定流动理论，以补16 钻孔奥灰含水层抽水试验为例，利用Dupuit 承压水完整井单孔抽水公式（5）计算渗透系数。抽水试验计算成果见表4。

表4 未消除井损计算成果Table 4 Calculation results without eliminating well loss

式中：Q 为抽水井流量，m3/d；M 为抽水含水层厚度，m；K 为渗透系数，m/d；s 为井中水位降深，m；r 为井的半径，0.047 m；R 为影响半径，m。

对表4 中的3 个落程的渗透系数取平均值，未消除井损的条件下，渗透系数为1.21 m/d。

3.1.2 消除井损后计算渗透系数

现阶段，在煤田地质勘探或水文地质勘查（特别对于井田水文地质条件复杂程度为简单-中等时）中，单孔抽水试验仍然是一种主要的工作手段。根据钱学溥[10]，单孔抽水时，在井管附近和井管内，水头损失包括6 个方面。对于孔径小、降深大的抽水钻孔，在井管附近和井管内，往往形成较大水头损失（井损），使抽水井内测得的水位降深比实际含水层降深偏大。如不考虑井损问题，计算的含水层渗透系数比实际值偏小。

鉴于以上问题，相关学者提出了各种消除井损的方法[8-13]，下面以《消除井损计算渗透系数公式的探讨》[10]给出的计算方法并结合最小二乘法为例，消除井损。

承压水完整井涌水量方程式可以写成：

根据最小二乘法计算系数a、b[15]：

式中：Q 为对应落程的抽水量，m3/d；S 为对应落程的降深，m；N 为抽水试验的落程次数。

以补16 孔三次Q-s 抽水试验资料为例，根据式（8）、式（9）计算系数a、b，并计算消除井损后的降深数据即为有效降深。则a=0.002 3，b=0.000 004；S1=Q1×a，S2=Q2×a，S3=Q3×a。

有效降深计算成果见表5。将消除井损后的降深数据代入式（5）、式（6），求取渗透系数K，见表6。

表5 井损计算成果Table 5 Calculation results of well loss

表6 消除井损后计算成果Table 6 Calculation results after eliminating well loss

对表6 中3 个落程的渗透系数取平均值，即消除井损后利用Dupuit 承压水完整井单孔抽水公式计算的渗透系数为4.01 m/d。

3.2 多孔抽水计算渗透系数

放水孔资料见表1，4 个放水孔虚拟成1 个放水主孔，主孔水位平均降深270 m，观1 孔（XGO-1 孔）水位降深3.5 m，观2 孔（补16 孔）水位降深1.36 m，如图5 所示。采用承压水完整井多孔抽水（1 个主孔抽水，2 个孔观测）渗透系数计算公式（10），计算结果见表7，表中的渗透系数计算成果可等效为补16 孔的渗透系数，即4.31 m/d。

图5 承压水井多孔抽水示意图Fig.5 Schematic diagram of multi-hole pumping of confined well

表7 多孔抽水计算成果Table 7 Calculation results of multi-hole pumping

式中：Q 为抽水主孔流量，m3/d；M 为含水层厚度，41 m；K 为渗透系数，m/d；s1、s2为观测孔水位降深，m；r1、r2为观测孔与抽水主孔距离，m。

4 计算结果比较

Theis 公式反求的渗透系数为24.3 m/d，单孔Dupuit 公式不消除井损条件下计算的渗透系数为1.21 m/d，单孔Dupuit 公式消除井损条件下计算的渗透系数为3.90 m/d，多孔Dupuit 公式计算的渗透系数为4.31 m/d。汇总的计算结果详见表8。

表8 渗透系数计算成果汇总Table 8 Calculation results list of permeability coefficient

5 结 论

（1）曲线与标准曲线配线法与Jacob 直线图解法两种方法计算的导水系数、释水系数、渗透系数，其计算结果相近。

（2）Dupuit 公式采取单孔抽水未消除井损计算渗透系数、单孔抽水消除井损计算渗透系数和多孔抽水计算渗透系数3 种方法。结果表明，单孔抽水消除井损后与多孔抽水计算结果近似，未消除井损计算的渗透系数偏小，消除井损后计算结果较未消除井损更符合客观实际。

（3）Dupuit 公式和Theis 公式计算的水文地质参数值存在较大差异，原因还需进一步研究。

不当之处，请批评指正。以上结论希望与有关同仁争鸣、讨论。