广开解题思路,提升运算素养——以2022年新高考数学Ⅰ卷第21题为例

广东省佛山市顺德区第一中学(528300)赵明丁

1 试题呈现

(2022年新高考Ⅰ卷第21 题)已知点A(2,1)在双曲线C:上,直线l交C于P,Q两点,直线AP,AQ斜率之和为0.

(1)求l的斜率;

2 试题背景及分析

2.1 试题背景

由斜率关系推导定点定值类型的题目,属于常见题型,常见的斜率关系一般有三大类:(1)关于坐标轴方向对称(斜率和为0);(2)符合圆锥曲线中直线垂直关系(斜率积为-1);(3)符合单位圆中垂直关系转化到圆锥曲线(斜率乘积为).这类问题的解题思路是从运动变化中寻找不变性,选择恰当的参数表示题中的条件,通过运算推导所求的点或值与该参数无关.

求圆锥曲线中的三角形面积问题也是高考的常考内容,求面积方法具有多样性,解题中也就有多种不同的思考角度,应注意根据题目条件选择合适的解题策略.

2.2 试题分析

本题第(1)问应先把点A代入双曲线方程,求出a2(a ＞1)的值,再根据直线l与双曲线两交点与定点所构成的两直线斜率和为零的条件,推导直线l的斜率为定值,关键是选择恰当参数,证明斜率与该参数无关.第(2)问应先由条件给出三角函数值推出直线AP,AQ的斜率,由此确定ΔPAQ面积.

2.3 解题方法思维导图

对于解析几何综合题,一般求解步骤相对繁杂,运算过程较多,解题之前如果借助思维导图分析清楚解题思路,可预测不同解法的运算复杂度,然后再选择较为简便的解法,这样可以大大提高解答效率.对于教师讲题,也可通过思维导图将题目的解题思路呈现给学生,把一道综合题转化为一些可操作的运算步骤,从而促进学生对问题的理解和掌握,本题分别从两个小问出发,根据对条件的不同转化给出以下解题思维导图,如图1.

图1 解题方法思维导图

3 试题解析

3.1 第(1)问解析

首先求出双曲线C的方程,把点A(2,1)代入双曲线,不难求得a2=2,即双曲线方程为.

以下分四种方法来推导l的斜率为定值.

解法1引入直线l的方程

由题意可知直线l的斜率存在,设l:y=kx+m,与双曲线交点为P(x1,y1),Q(x2,y2),联立直线l与双曲线方程得(2k2-1)x2+4kmx+2m2+2=0,由韦达定理,

化简得2kx1x2+(m-2k-1)(x1+x2)-4(m-1)=0,故

化简并因式分解得(k+1)(m+2k-1)=0,而A点不在l上,故k=-1.

（三）树立榜样，多鼓励。结合教学给坐姿及握笔姿势非常正确的同学拍照，展示给大家看，每节课都特别表扬书写姿势正确的“小明星”，让身边榜样的力量来影响学生改掉不良的书写姿势。

解法2引入直线AP、AQ的方程

假设直线AP的斜率为k,则直线AQ斜率为-k,于是lAP:y=k(x-2)+1,lAQ:y=-k(x-2)+1,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立直线lAP和双曲线得(1-2k2)x2-(8k2-4k)x+(-8k2+4k-4)=0.故即代入lAP得同理可得故.

解法3平移变换、构造斜率方程

为了构造斜率方程,将图像整体向左平移2 个单位,并向下平移1 个单位,则点A移到了坐标系的原点,双曲线方程转变为,整理可得x2-2y2+4x-4y=0,此时再设直线l:y=kx+m,其与双曲线交于点P(x1,y1),Q(x2,y2)为了构造x,y的齐次方程,只需将直线转化为并乘在两个一次项处得整理得(2m+4)y2-(4k+4)xy+(4k-m)x2=0,方程两边同除以x2转化为斜率kAP,kAQ满足的斜率方程(2m+4)k2-(4k+4)k+(4k-m)=0.由韦达定理可得kAP+kAQ=0⇒4k+4=0⇒k=-1.

解法4平移变换、引入直线参数方程

平移变换同法3 得双曲线方程为x2-2y2+4x-4y=0,然后引入直线参数方程,将lAP:代入双曲线方程可得则

同理可得

3.2 第(2)问解析

图2P、Q 位置三种情况

其中,情况1 满足∠PAQ=2α,由tan∠PAQ=(取正),此时直线AP与双曲线渐近线平行,直线与双曲线只有一个交点,不符合题意.

对于情况2 和情况3,均满足∠PAQ=π-2α,可计算得此时大于渐近线斜率,属于情况2.以下介绍几种求ΔPAQ的面积的方法.

解法1先求出点P,Q的横坐标,然后求出线段AP,AQ的长度,联立直线得由韦达定理可得即,同理可得则那么

解法2向量法,以线段AP,AQ的长度为参数表示点P,Q坐标,因为与向量同向的单位向量分别为和令线段|AP|=λ1,|AQ|=λ2,则P,Q坐标可表示为,那么SΔPAQ=.

解法3求直线l的截距,然后求弦长和点到直线得距离

由第(1)问的法3 得斜率方程(2m+4)k2-(4k+4)k+(4k-m)=0.则解得即直线分别代入双曲线得 与双曲线方程联立得由弦长公式又有.

点评法 1 和法 2 用了公式目标都是求线段AP,AQ的长度,其中法2 用了向量和参数代换的思想,解法相对简洁一些; 法3 根据平移后的结果求出直线方程,然后使用公式只需要求弦长和点到直线的距离,也属于常见的求面积方法.

4 变式拓展

变式1改变A点的位置,使A为双曲线上的点,令A点的坐标为(x0,y0),其他条件不变,问直线l的斜率是否也可由x0,y0表示?

类似第(1)问的法3,为了构造斜率方程,需要将图像中点A平移到了坐标系的原点,则双曲线方程转变为整理可得x2-2y2+2x0x-4y0y=0,设直线l:y=klx+m,与双曲线交于点P(x1,y1),Q(x2,y2),将乘在两个一次项处,整理得斜率方程(2m+4y0)k2-(4kly0+2x0)k+(2kx0-m)=0.

若kAP+kAQ=0,直线l的斜率为其实从上面的斜率方程还容易得到以下结论:

结论1当kAP+kAQ=s(s为非零常数)时,直线l过定点.

结论2当kAP ·kAQ=t(t为非的常数)时,直线l过定点.

变式2将曲线变为其他的双曲线、圆或椭圆

如果将曲线变为其他的双曲线、圆或椭圆,且A(x0,y0)落在所给曲线上,其他条件保持不变,那么直线l的斜率k有什么样的结论呢?

变式3可将第(2)问改变为开放性问题

比如设P、Q点均在双曲线的右支,问当kAP=d ＞(渐近线斜率)时,SΔPAQ是否存在最大值? 如果存在,确定此时的kAP值.

5 教学反思

通过对2022年新高考数学Ⅰ卷第21 题的解法探究和变式拓展分析,对解析几何综合题的备考及教学提出以下几点思考.

第一,新高考对数学的核心素养的考察,将进一步加强试题多维度,多角度落实对数学模型理解与应用.我们在教学中要重视把问题从特殊到一般,将相关联的不同题型转化为一些有规律的数学模型,以免陷入重复刷题而又不理解题中蕴含的数学本质和内涵的窘境.

第二,在解析几何的学习过程中,要着重分析数学变量之间相互转化过程,选定某些参数,通过条件的转化和算式的变形,最后确定待求的量或推导待证的结论.除了教授通解通法之外,参数法或者平移变换,其实也应该渗透到平常的解题教学中,让学生的解题思维更加灵活多样,做到以不变应万变.

第三,高中数学核心素养中运算能力是一项重要的内容,由于解析几何的综合题,一般计算复杂度较高.教师要引导学生根据不同的题目条件及特征,合理选择运算途径.一般在做题之前,应先思考出可行的解题途径,预判不同方法的运算难度,从而选择较简洁的解法,避免掉入计算泥潭而无法自拔.