挖掘三垂角模型发展图式建构思维

广州大学(510006)杨小雪 卢建川

广州市荔湾区教育发展研究院(510370)蔡琳

基本模型图式的建构可以启迪学生思维,发展学生整体性思想,学生积累了一定的基本图式时,就会产生活跃的猜想、假设、转化、类比等思维活动,形成良好的数学直觉[1].并在深入理解和应用后迁移出更多方法模型,扩充学生的数学直觉储备[2],实现图式的修正、拓展和完善,促进图式建构思维,得到预测、推理和迁移的作用[3].那么教会学生根据问题本质,提炼基本模型从而促进图式建构思维就尤显教学价值.

在初中数学中,三垂角和三等角是突破一类函数问题的有效模型[4][5].本文通过函数问题,利用坐标轴特征,引导学生数形结合从解题方法中提炼及论证三垂角,通过深入的分析及推广应用,迁移至三等角模型,发展学生基本图式建构能力,探究如何在教学中促进学生图式建构及整体化思想.

1 图式完型建构突破问题难点

1.1 基于特殊角的三垂角模型建构

例1如图1,在平面直角坐标系中,已知直线,直线l上一点M(2,1),将直线l绕点M顺时针旋转45°得到直线m,求直线m的解析式.

图1

1.1.1 高中视角下的解析

若在高中数学中,这个问题可直接利用三角函数求直线m的斜率,并运用点斜式求直线m的解析式.即直线l斜率为,设直线m斜率为k2,由45°=∠MOA+∠MAO,即,解得,带入点M坐标,即得直线.

1.1.2 初中视角下三垂角模型的构造

初中阶段未学习两角和差的三角函数,学生不能运用点斜式求解直线的解析式,而要求一次函数解析式,只能够从直线上两个点的坐标入手,用待定系数法求直线解析式.已知条件中只有点M的坐标,需另寻求一个点,必须通过作辅助线,利用已知条件推导求另一点的坐标再求解析式.

利用题目中的特殊45°,可以构造等腰直角三角形,找出直线m上另一个点的坐标.而构造等腰直角三角形时,不能盲目构造,不然无法求出对应点的坐标,题目中有特殊的三个点,即直线m与坐标轴的两个交点A、B和原点O,过这3个点作辅助线可以构造6 个不同的等腰直角三角形,再通过等腰直角三角形的特殊性,过等腰直角三角形中直角顶点外的两个点作坐标轴垂线,构造出对应全等的直角三角形,如表1,由对应边相等,可求出直线m上另一个点的坐标,再利用待定系数法即可求得直线m的解析式.

表1

1.2 模型建构的思维引导

通过对题目的分析,了解并明确题目内部本质和规律,再剖析问题,剔除无关条件,简化结构,利用题目中熟悉或特殊情形,展开联想,联系熟悉的已有知识经验,并创建能够表达解题的基本架构或图形,再通过对结果的分析证明,完善解题模型的提炼,完成图式建构.即利用特殊情形45°,联想熟悉知识点,关联等腰直角三角形,将求解析式转化为求直线上一点的坐标,从而构造出解题模型.

images/BZ_6_265_372_560_535.png图8要求点B 坐标,即求OB 的长,可过点N、M,作y轴垂线,构造ΔPCA images/BZ_6_375_2337_405_2388.pngΔMDP.images/BZ_6_867_372_1162_536.png图9images/BZ_6_265_729_560_906.png图10要求点P 坐标,即求点P 到坐标轴的距离,可过点M、P 作垂直于坐标轴直线,构造ΔPCM images/BZ_6_375_2337_405_2388.pngΔODP.images/BZ_6_867_734_1161_902.png图11images/BZ_6_265_1104_559_1260.png图12要求A 点坐标,即求OA 的长,可过点MN 作垂直于x 轴垂线,构造ΔADM images/BZ_6_375_2337_405_2388.pngΔNCA.images/BZ_6_867_1097_1161_1265.png图13

以图2、3 为例,要求直线m解析式,需要知道直线m上两个点的坐标,题目中直线m上只有已知的点M,要求找出另一点坐标,需要利用辅助线找出关键点,过原点作直线l垂线,与直线m交于点N,用特殊的45°角,构造出等腰RtΔOMN,要求点N的坐标,即求点N到坐标轴的距离,过点N作坐标轴垂线,由已知点M坐标可求得OC=2,MC=1,利用ON=OM,可构造ΔODNΔMCO,所以OD=CM=1,OC=ND=2,可得点N坐标为(-1,2),结合点N,点M可解得直线m解析式:.

由图4 至图13 中6 种辅助线与解题方法,从6 个具体的例子中抽象简化出解题的基本图形如图14,得到三垂角解题模型,并验证方法.

图14

教学时,引导学生从题目中提取关键信息,调动学生的思维方法、思维方式和思维策略,在有了解题思路后尝试作辅助线,用一种方法规则,在不同情形下深入讨论辅助线作法,培养学生思维的条理性、逻辑性、探索性及综合性.结合一种方法6 种辅助线的解题经历,让学生经历个别的看、重复的看、想象的看、抽象的看和一般的看[6],归纳提炼出三垂角基本模型.把学习视为图式的建构与完善的过程,而非机械获得的过程,充分调动学生主动建构解题模型,经过模型的提炼,在把握问题本质的同时发散思维、提升思维,完善图式,引领学生自己总结建构解题模型,让学生体会模型的生成过程.

2 把握本质应用迁移

提炼出三垂角基本解题模型并形成解题图式后,还需要创设情景,让学生从一个题目中观察抽象出的方法在其他复杂情境中挖掘应用,才能够加深对方法的理解与反思,深化及强化对图式的建构,并建立起对方法的自信.提供新的情景,使新的情景与原有情景既相联系又相互区别,让原有图式不能是直接适用,促进学习的迁移,使图式得到拓展与修正,从而发展学生整体化的数学思想.

2.1 指向全等形的三垂角模型应用

例 2如图 15,点A(2,3)在反比例函数f:的图像上,作射线AB交y轴于点B,且点B的坐标为(0,2),在反比例函数f:位于第三象限的图像上有一点C,满足∠BAC=45°,则点C的坐标为____.

图15

题目解析坐标系中存在45°,学生结合三垂角模型可作辅助线得到等腰直角三角形,再构造全等三角形.如图16,过点C作垂直于AC的直线,与射线AB交于点F,过点A、C、F作平行于坐标轴的直线,分别交于点D、E;

图16

易证ΔACDΔCFE,所以AD=CE,CD=EF,由点A、B坐标,可得直线AB解析式:,反比例函数解析式:,设点C的坐标为,易得,点点,解得x=-1 或2,由C在第三象限,所以C点坐标为(-1,-6).

如图17,也可过点C作射线AB的垂线,与射线AB交于点D,再过点D、点A分别作过点C且平行于坐标轴的垂线,分别交于点E、点F,易得ΔAFDΔCED,同理可得C点坐标.

图17

通过同样包含45°角条件的反比例函数问题,让学生对解题模型融会贯通,加强思维的深刻性与灵活性,让学生从复杂的情境中寻找共性,提供学生多样化的情景,由简至难,层层递进,又只从单一45°切入,不使情景过于复杂,让学生毫无头绪.引导学生总结出,在函数的题目中,如果看到有特殊的45°角,联系基本结构,都可以尝试作通过直角顶点的直线构造等腰直角三角形,再过直角三角形另外两个点作这条直线的垂线构造两个全等的三角形,利用全等三角形对应边相等,得出相应的结论.通过此题,强化对三垂角模型的应用,加深图式与题目本质和解题方法的联系.

2.2 指向相似形的三垂角模型应用

例3如图18,RtΔOAB的顶点O与坐标原点重合,∠AOB=90°,,当A点在反比例函数f:的图象上移动时,B点坐标满足的函数解析式为_____.

图18

题目解析如果没有三垂角模型,学生易直接想到直接设B点坐标为(x,y),利用坐标轴特点及勾股定理,表示出OA,OB,BA再由勾股定理得到x与y的等量关系,由此表示出B点的解析式,此种做法计算非常复杂.当学生已经掌握三垂角的解题模型后再看此题,可以抓住关键信息∠AOB=90°,如图19,可以想到过点A、点B作x轴垂线,此时,ΔBOC∽ΔOAD,两三角形虽不全等却相似,通过相似可以得到对应边成比例.

图19

因为ΔBOC∽ΔOAD,可得,设OC=a,则,又因为A点在反比例函数的图象上,所以,又因为C在x轴负半轴,得到点B满足的函数解析式为.

数学有效教学的重要指标,是学生的数学学习能否从一个问题迁移到另一个问题,从一个情景迁移到另一个情景[7].要让学生在已有方法基础上,迁移到新的情景和方法,除了让学生深刻理解已有知识方法外,还需要提供学生有别于原方法的多样化情景,便于学生抽象方法,归纳总结,发展更加弹性的知识表征,让学生在从题目中归纳方法的基础上学会迁移出更多的方法.由三垂角模型中的等腰直角三角形减少条件:如果三垂角模型中没有等腰的条件,怎样解题.在已有图式中弱化条件,促进思维提升,得到基于三垂角的相似三角形解题模型,如图20.

图20

2.3 三等角模型的推广及应用

例4如图21,抛物线f:y=x2-4x+3 过点C(4,3)交x轴于A、B两点(点A在B的左侧),顶点为点P,点Q在抛物线的对称轴上,连接BP、QC当∠BPQ=∠BQC时,求点Q的坐标.

图21

图22

图23

题目解析当熟悉三垂角的模型中全等形和相似形的解法后,抓住题目中关键信息∠BPQ=∠BQC,利用题目信息作图得到图22、23,有两个角相等,可尝试过抛物线对称轴构造第三个与他们相等的角,如图24、25,令∠BPQ=α,∠BQC=β,∠CDQ=γ使α=β=γ,,便可得到两个相似的三角形,根据三角形对应边成比例,即可列方程求出点Q坐标.由A(1,0),B(3,0),P(2,-1)可得∠BPQ=∠BQC=45°,过点C作CE ⊥x轴于E,在抛物线对称轴上取点D,使∠CDQ=∠BPQ=∠BQC=45°.因为∠BQC+∠PQB+∠DQC=180°,∠CDQ+∠DQC+∠DQC=180°,所以∠PQB=∠DQC,可证ΔBPQ∽ΔQDC,可得,由点C及点P坐标可得CE=4-2=2,所以DE=CE=2,设Q(2,a),则解得所以Q点坐标为或.

图24

图25

通过题目再次弱化三垂角的条件:如果三垂角模型中既没有等腰又没有等角的条件,怎样解题.在建立了良好图式后,便可实现对知识的迁移,并以此举一反三,触类旁通,引导学生迁移出用两个三角形相似的方法解题,抽象出基本图形,如图26 中,α、β、γ三个角相等,得到两个相似的三角形,并引导学生归纳出三等角模型,丰富图式的建构,从而发展学生的整体化数学思想.

图26

3 思考与启示

基本图式的勾勒与建构是对问题数学本质把握的基础和关键.从特殊或熟悉的情景出发,关联已知图式,把握突破问题的关键点,从复杂不完善的结构中勾勒和完型建构出基本图式,揭示几何要素的位置关系及数量关系,实现对问题本质的把握,从而为应用迁移打下扎实基础.

促进图式完型建构思维是发展学生整体化思想的基本途径.图式的认知内化可以帮助学生完善认知结构,图式完型建构的过程,需要从繁复而纷杂的对象中分离出特殊的基本结构,由特殊到一般,在应用挖掘中加深对图式的理解,丰富图式的建构,从而促进图式的迁移,实现对问题情境的直观概括,增进学生整体性思维,潜移默化的发展学生整体化数学思想.