高考数学应用题对数学教学的启示

陶晓霞　刘丽花　胡俊红

摘   要：高考数学越来越侧重对学生学习能力和应用能力的考查。其中，应用题既能考查学生对所学知识的灵活运用水平，又能考查学生分析问题、解决问题的能力，深得命题者的青睐，但应用题也成为学生失分的“重灾区”。日常教学中，教师可通过加强对学生数学阅读审题能力的培养和建模能力的培养，帮助学生更好地分析题目，进行解答。

关键词：高考数学；应用题；阅读能力；建模能力

中图分类号：G633.6    文献标识码：A    文章编号：1009-010X（2023）03-0036-03

随着《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《课标》）实施的深入，高考数学越来越侧重对学生学习能力和应用能力的考查。其中，应用题既能考查学生对所学知识的灵活运用水平，又能考查学生分析问题、解决问题的能力，深得命题者的青睐。然而，笔者通过对近几年高考试题得分情况的研究发现，学生在应用题上失分较多，很多学生在解答应用题时感觉束手无策，在有限的时间里不能快速提炼出有效信息，有些学生甚至因畏惧心理直接选择放弃。究其原因，是这些学生不能正确理解题意，无法将实际问题转化为数学问题，更不要提解决数学问题了。以上几个障碍是学生在学习过程中亟待解决的问题。

我们先来看看高考应用题的题目特征和考查目标。2019年全国卷一维纳斯身高的估测考查了学生的计算能力、逻辑分析能力；2021年新高考一卷中设置了折纸与数列的综合和比赛获胜的概率问题，北京卷考查新冠病毒感染的概率问题；2022年新高考一卷以水库为背景考查棱台体积，相关关系考查内容涉及疾病与卫生习惯间的关系；全国二卷以中国古建筑中的举架结构为背景考查数列问题，等等。考试题目选材内容贴近于社会热点、时事政治等方面，背景内容与生活实际结合紧密，它要求学生能够构建数学知识与生活实际之间的联系，从而解决实际问题。在未来一段时间内，题目背景生活化仍然是高考数学应用题的主要特征。

高考数学题目的考查重点是学生的数学思维能力，而数学建模能力就是将实际问题抽象转化为具体数学问题的思维能力，是学生必备的基础能力，这在近几年的高考数学考查中尤为突出。

日常教学中，我们要侧重学生以下两个方面的培养：

一、对审题能力的培养

高考数学应用题的篇幅长，信息量大，这就要求学生有较强的阅读理解能力，能够通过现象看到问题的本质，寻找到关联的知识点，建立数学模型，解决数学问题。

在教学中，教会学生阅读，可以使学生实现独立思考和自主学习。提高数学阅读能力，可以促进学生认知水平的发展，从而有助于探究能力的发展。那么怎样培养学生的数学阅读能力呢？

（一）调动学生阅读兴趣 创设阅读的情境和氛围

创设适当的问题情境，能够激发和保持学生的阅读兴趣，让阅读成为自觉的行为。教师要转换角色，对于重难点及关键点要编写阅读提纲，设置好启发点，降低难度，强调重点，适时点拨、提醒，让学生带着问题边阅读边思考，保持强烈的求知欲。学贵有疑，当学生发现现有的知识不足以解决问题时，就会积极探索新的知识；当学生发现单凭自己的力量无法完成任务时，就会求助同学，采用小组合作探究方式来解决问题；当学生解决了一个个问题，从中获得的成就感将有效提高学生的学习兴趣。

例如针对选择性必修二课本第42页的阅读与思考“中国古代数学家求数列和的方法”，我们可以给学生制定如下阅读提纲，以激发学生的阅读兴趣并且强调出本篇阅读内容的关键点。

1.本文列出了哪几个数学家的求和方法？

2.这几个数学家的求和方法与课本上介绍的方法有什么异同？

3.这些古代数学家的推导方式有什么共同之处呢？你怎样评价我国古代数学家的数学成就呢？

4.古文“几何日相逢及各行几何”含义为：第几日能够相逢？每匹马各行了多少里？

培养学生的阅读能力，将数学阅读教学纳入到课程教学环节，使得教学逐步往“讲读练三结合”的教学模式转化。

（二）帮助学生学会略读和精读

略读，就是对题目的整体把握，通过阅读明确条件是什么，问题是什么，切入点是什么。精读，就是对材料进行逐字逐句的阅读，搞清字里行间的关系，從而理清概念、定理、公式之间的逻辑关系。教师要帮助学生养成认真、细心的阅读习惯，对题目中的关键字词进行标注，让学生能够熟练地进行文字语言、图形语言、数学符号语言的转化，进而深入探究，列出关系式，寻找变量间的关系，从而完成建模。以如下应用题为例进行说明。

近两年直播电商迅猛发展，某厂家往年不与直播平台合作时，每年都举行多次大型线下促销活动。经测算，只进行线下促销活动时总促销费用为24万元。现决定采用线上（直播促销）线下同时进行的促销模式，与某直播平台达成一个为期4年的合作协议，直播费用（单位：万元）只与4年的总直播时长x（单位：小时）成正比，比例系数为0.12.已知与直播平台合作后该厂家每年所需的线下促销费C（单位：万元）与总直播时长x（单位：小时）之间的关系为C=ｋ/x+50（x≥0，k为常数）.记该厂家线上促销费用与4年线下促销费用之和为y（单位：万元）

（1）写出y关于x的函数关系式；

（2）该厂家直播时长x为多少时，可使y最小？并求出y的最小值.

在第一遍略读时，我们可以明确有效信息从第二行开始，并把重要信息勾画出来，基本确定本题需要构造函数求最值；第二遍精读，把容易忽略的重要字眼突出标记，构建函数模型。其中，常数k的确定对审题能力提出较高要求，即当时C的取值应为只进行线下促销活动时的总促销费用24万元，这样便可以列出等量关系，求出k的取值；第二个易错点是，C表示的是每年的线下促销费，在表示费用之和y的时候容易忽略乘以4。而这些易错的问题在精读时加以标记并进行重点分析，是可以突破的。

二、对数学建模能力的培养

（一）挖掘教材 联系生活 激发建模意识

高中数学应用问题与数学建模在本质上都是为了解决生活场景中的实际问题，所以在解决的步骤上有许多相似之处，但是二者存在层次上的差别和质的差异。比如：应用题是命题者精心加工提炼出来的比较明确的数学问题，条件是比较充分的，一般不需要假设；而数学建模问题一般来源于实际生活，条件未必充分，有可能要进行假设，讨论与论证要复杂得多，最后还需要有报告文章来总结。不过应用题教学和建模教学都是学数学、做数学、用数学的过程，都体现了学和用的统一。

新教材的编写突出体现了应用意识，每一章的序言都从实际问题引入，例题、习题、复习题都增加了应用问题的数量，新增了“实习作业”和“研究性课题”这一环节，提出了数学建模的研究内容。教师应关注教材的这一变化，并在教学过程中让学生做好研究性问题的探讨；教师要深入挖掘教材，在大单元教学理念指引下，用好教材中的应用实例，使学生逐步掌握抽象数学对象、发现和提出数学问题的方法。

高中数学的教学内容也越来越多地与实际问题相联系，比如统计学中，寻找函数进行拟合，进而进行目标预测；三角学中，实际距离、角度的测量等问题。数学建模教学能够为数学应用问题教学提供全新的教学方向。数学建模教学可以紧紧围绕它的五个步骤进行，第一步提出研究问题及假设，第二步选择合适的建模方法，第三步推导模型的数学表达式，第四步解决数学问题，第五步回答实际问题。在教学实施过程中，为使学生建构数学的思维模式，教师可采用情景化、多媒体化等教学模式，将抽象的知识内容进行形象化表达，以便于建立数学模型，从而实现数学知识的习得、利用和提升。

高考数学试卷中，应用题除了与实际生活紧密相连，通常还包含多个知识点，综合性较强。学生在学习过程中，要注重培养数学转化意识，理解不同知识点之间的联系。比如：题目中的数学模型、公式等，如有必要需进行变形，转化为另一个熟悉的模型或公式，再比如对于空间角、距离、表面积、体积等立体几何问题，可以建立空间直角坐标系，发挥数形结合的优势进行思考；概率统计问题与数列综合在一起的考查也屡屡出现……题目的综合性强，对学生的转化意识提出了更高的要求。

（二）凸显学生主体地位 培养学生创新思维

在传统的高中数学课堂中，教师占据绝对主导地位，学生则作为配角、听众，被动地接受知识信息。这种学习模式不仅不利于学生数学思维的发展，解决问题的思路也容易固化、僵化，无法做到“见招拆招”，这是不符合当下数学核心素养培养目标的。因此，教师应转换角色，成为课堂的组织者、辅导者，而不是主导者，为学生创造一定的自主学习、自主思考的空間，让学生成为问题的研究者、探索者，甚至是发现者，凸显其主体地位，促使其通过自主探究、主动思考提升解题能力。尤其是在建模问题研究过程中，要舍得花时间，让学生以小组为单位，分工协作，进行数据收集、实际测量、模型建立、数学计算、报告解释，通过合作探究，提升解决问题的能力。

在平时教学中，教师要鼓励学生大胆提出设想，展开想象，敢于创新，并及时给予反馈，与学生一起从生活出发，努力证实这些猜想；对于错误的猜想，一起探讨问题所在，教师要引导学生进行深入思考，将数学知识和实际问题结合起来，用简单的数学建模提高学生的数学基本技能。教师在教学的过程中可以让学生参与到简单的应用题编写过程当中，让学生创造性地设置问题、解决问题，以此培养学生的创造能力，提升学习数学的兴趣与乐趣。

综上所述，教师应当在日常教学中，注重培养学生的审题能力，提升学生的思维活跃度，从而提高学生数学学习水平和数学建模能力，满足时代对数学学习的要求。