频域时间反转多用户系统的信干噪比和误比特率分析

李 丽,雷维嘉

(1. 重庆邮电大学 通信与信息工程学院,重庆 400065;2. 重庆邮电大学 移动通信技术重庆市重点实验室,重庆 400065)

0 引 言

时间反转(time reversal,TR)传输是一种在发送端实现、利用信道多径传播特性来提高传输性能的技术。在TR传输系统中,信号在发送前先经过一个预处理滤波器滤波,滤波器的脉冲响应为信道脉冲响应的时间共轭反转。TR传输系统的空时聚焦效应使其具有天然的抗干扰能力,其接收端通常只需要配备一个简单的单抽头均衡器,从而降低接收机的复杂度。TR最初主要应用于水声通信[1],近年来也在无线通信[2]、目标检测[3]、医学成像[4]、空间定位等领域得到了应用[5]。随着无线通信技术的发展,传输带宽不断增大,无线信道中可分辨多径数量明显增加,通过TR预处理提高无线通信系统性能的效果也愈加明显。TR系统中,通过提高上采样率,或称为速率回退因子(rate back-off factor,BOF),可以进一步提高接收信干噪比(signal to interference plus noise ratio,SINR)[6],BOF定义为采样速率与符号速率的比值。这里采样速率即离散信号的样值速率,符号速率为在信道上承载信息的符号的传输速率。最大样值速率由奈奎斯特准则决定,通常一个样值对应一个符号,此时符号速率与样值速率相同。若不是每个样值都对应一个符号,则符号速率低于样值速率,即BOF大于1。BOF大于1时,符号速率低于带宽限制下的最高速率,频带利用率降低,但可减轻符号间干扰(inter symbol interference,ISI)和多用户系统中的用户间干扰(inter user interference,IUI),以适当降低频谱效率为代价,可以有效提高接收信号质量[7]。通过采用时间反转技术,利用各用户多径信道系数的不同还可以实现多用户传输,即时间反转分割多址接入(time reversal division multiple access,TRDMA)[8]。TR传输可以在时域实现,也可以在频域实现,目前大多数关于TR的研究都是针对在时域实现的TR系统,包括上述的文献[1-8]。文献[9]证明了通过在频域对信号进行预处理,也可以实现与时域TR预处理相同的效果。正交频分复用(orthogonal frequency division multiplexing,OFDM)是第4代、第5代移动通信系统中的关键技术[10-11],也将是新一代移动通信的关键技术,将TR技术应用到OFDM系统中具有明确的实际意义,而在频域中进行TR预处理更适合于OFDM系统。频域TR预处理过程是各子信道传输信号与子信道频率响应的共轭的乘积,运算复杂度低,根据傅里叶变换性质,这个预处理同在时域上将发送信号与TR预处理滤波器的脉冲响应进行卷积是等效的。在OFDM系统中加入TR预处理过程,当BOF大于1时可显著提高接收SINR。文献[12]推导了频域TR预处理系统接收信号的均方根误差的闭式表达式,并分析了BOF变化时均方根误差的变化情况,其理论分析和仿真结果表明,与时域TR系统类似,增大BOF也能降低信号均方根误差,提高系统的信噪比(signal to noise ratio,SNR)。文献[13]研究频域TR预编码系统中增强物理层安全的TR预编码和人工噪声方案。从可检索论文来看,关于频域TR的研究工作不多,且都是针对单用户系统,目前还没有针对频域TR多用户系统的研究,也还没有BOF、用户数等参数对多用户TR-OFDM系统性能影响的理论分析。对于TR-OFDM系统,当BOF大于1时,TR的聚焦效应能提高期望接收机的SINR,降低在非期望接收机处的信号泄露,因此在多用户系统中才能更好地发挥TR-OFDM的优势。在宽带通信中,TR-OFDM多用户系统,在低信噪比下能获得比常规OFDMA系统更好的性能。相比最大比传输(maximum ratio transmission,MRT)OFDM系统[9],在BOF大于1时,频域TR-OFDM系统能获得优于MRT预编码OFDM系统的SINR及BER性能。本文针对多天线TR-OFDM多用户系统,对用户平均SINR和平均误比特率(bit error ratio,BER)[14]进行分析。先推导出用户平均SINR的近似表达式,在此基础上采用二进制相移键控调制(binary phase shift keying,BPSK)时的平均BER的下界和近似表达式,通过仿真对理论推导进行验证,并分析BOF、天线数及用户数等参数对性能的影响,对于工程应用中系统参数的选择和系统设计具有参考意义。

1 系统模型

下文中带下划线的字母表示频域符号,没有下划线的表示时域符号;白体字母表示标量;|·|、‖·‖、(·)*、(·)H和E[·]分别表示求绝对值或模值、2范数、共轭、共轭转置和数学期望。

图1 频域时间反转多用户系统模型Fig.1 Model of frequency-domain time-reversal multiuser system

图2 频域时间反转通信系统子载波利用示意图Fig.2 Schematic diagram of subcarrier utilization of frequency-domain time-reversal communication system

(1)

图3 等效频域时间反转多用户系统模型Fig.3 Equivalent model of frequency-domain time-reversal multiuser system

(2)

用户k的接收SINR为用户接收的有用信号功率与用户间干扰功率和信道噪声功率之和的比值,即

γk,m=

(3)

2 遍历SINR及BER

2.1 遍历SINR的推导

无线信道是随机衰落信道,信道增益是随机变化的随机变量,因此,SINRγk,m也是随机变量。SINR的数学期望,也称为平均SINR或遍历SINR,是描述衰落信道下信号接收质量的重要指标。观察(3)式可以发现,SINR表达式的分子是多个复随机变量模平方和的平方,分母则是不同复随机变量相乘后的和的模平方和,不仅SINR的概率密度函数无法推导得到,分母部分的概率密度函数也无法得到。同时,分子与分母之间还不是互相独立的,因而无法推导得到γk,m数学期望的解析表达式。两个不独立的随机变量比的期望的公式计算为[12]

(4)

(4)式中:表示b的i阶中心矩;表示a与b的i阶混合中心矩。文献[15]证明,(4)式右边,相比较第一项,其他项的值都较小,可以将分式的期望近似为分子的期望与分母的期望之比。采用该近似处理,SINR的期望近似为

E[γk,m]≈

(5)

令

(6)

(7)

信号功率均值,即(5)式的分子部分为

(8)

(8)式中,Γ(i)为指数为i的伽玛函数,当i为自然数时有Γ(i)=(i-1)!。

令

(9)

(10)

(10)式中,Fi(x)为i阶第二类修正贝塞尔函数,它可以近似为[17]

(11)

(11)式中:U为修正贝塞尔函数的展开项数;ψ(i,l,q)为

(12)

(12)式中,L(l,q)是拉数[9],满足L(0,0)=1,L(l,0)=0,L(l,1)=l!,∀l>0。因此,(4)式分母第1项,也即用户间干扰信号功率的均值为

(13)

(14)

A2可进一步推导为

ψ(DN-1,l,q)=

(15)

(16)

2.2 BER分析

用户的接收信号中除高斯噪声外,还有来自其他用户的干扰,为多个用户的发送信号经过衰落信道的不同路径传输后的叠加。当用户数和路径数足够大时,根据中心极限定理,用户间干扰可认为服从高斯分布,因此,用户接收信号中的干扰加噪声可以认为是服从高斯分布的,故采用BPSK调制时,解调后的BER为[18]

(17)

(18)

通过仿真可知这个下界不够紧密,为此本文再推导一个平均BER近似公式。Q函数的一个上界为[18]

(19)

因此有

(20)

平均BER的近似式为

(21)

3 仿真与分析

图4和图5是遍历SINR的理论值与仿真值的比较。图4—图5中,实线表示理论值,虚线表示仿真值。可以看出,理论遍历SINR的值很接近仿真得到的平均值,这证明前文推导遍历SINR的理论表达式时的近似处理是可以接受的。仿真结果显示,不论用户数、天线数和BOF为多少,随着ρ增加,遍历SINR都是先增加,然后逐渐趋于一个上限。这是因为当ρ较小时,干扰功率相对于信道噪声功率较小,ρ增大,SINR相应增大。当ρ增大到一定程度后,干扰功率将明显高于信道噪声功率。由于信号功率与干扰功率随发送功率同步增长,因而ρ增加时SINR不再有明显的增加。由图4可以看到,随着BOF增大,频域TR-OFDM多用户系统的遍历SINR增大,能获得比MRT更高好的SINR。这是因为增大BOF可以减小IUI,同时能获得更高的分集增益。图4说明可通过增大BOF,以适当降低频谱效率为代价,有效提高接收信号质量。由图5可以看到,随着天线数增加,遍历SINR增大,这是因为多天线带来了分集增益。随着用户数增加,遍历SINR减小,这是因为用户数增加,则IUI增大。图5说明使用更多的天线能带来更多的空间分集增益,此外虽然用户数增加能在一定程度上提高系统的服务效率,但用户数越大相互间的干扰越大,过多的用户数会导致单个用户接收信号质量的下降,需要系统层面和用户层面进行适当的折中。

图4 不同BOF时的遍历SINR,K=4,N=4Fig.4 Ergodic SINR of different BOF,K=4,N=4

图5 不同天线数时的遍历SINR,D=4Fig.5 Ergodic SINR of different antenna numbers,D=4

图6是BPSK调制下,平均BER的理论下界、理论近似平均BER与仿真值的比较。从图6可以看到,频域TR-OFDM多用户系统的平均BER低于MRT系统,随着BOF增大,BER下降,这与图4中给出的SINR的仿真结果是匹配的。观察TR-OFDM系统中理论BER曲线与仿真曲线的关系,可以看到理论下界不是很紧密,但理论近似平均BER则与仿真值很接近。

图6 不同BOF下的平均BER,K=4,N=4Fig.6 Average BER of different BOF,K=4,N=4

图7 不同天线数时的平均BER,D=4Fig.7 Average BER of different antenna numbers,D=4

图7为BOF为4、用户数分别为4和8时平均BER在天线数为1、2、4时的仿真结果和理论近似值。图7说明,增大天线数,平均BER减小,这是因为增大天线数带来了分集增益;用户数增加,平均BER增大,这是因用户数越大相互间干扰越大。

图8给出了不同发送总功率与噪声方差比下,BOF增大时,遍历SINR和平均BER的变化情况。图8中,用户数K=4、天线数N=4。由图8可以看出,当BOF增大时,由于用户间干扰减少,SINR增加,BER下降,且发送总功率与噪声方差越大,增加和下降的速度越快。当BOF增大到一定程度后,用户接收信号中的干扰已经很小,再增大BOF,SINR不再增加,而BER也趋于一个下界。由于BOF增加,频谱效率下降,因此,要合理地设置BOF的值。

图8 BOF增大时平均BER和遍历SINR的 变化情况,K=4,N=4Fig.8 Change of average BER and ergodic SINR when BOF increases,K=4,N=4

图9给出了天线数增大时,遍历SINR和平均BER的变化情况。图9中,用户数K=4、D=4。由图9可以看出,当天线数增大时,得益于阵列增益的增大,SINR持续增加,BER下降。同样,发送总功率与噪声方差越大,增加和下降的速度越快。

4 结束语

本文推导了多天线频域TR多用户通信系统的平均SINR和BER的表达式。先推导信号功率均值表达式和用户间干扰信号功率均值近似表达式,得到了平均SINR的近似表达式。进一步利用Jenson不等式推导了BPSK调制下的平均BER的下界,由于该界不够紧密,因而又给出了一个近似BER的表达式。仿真结果表明,本文推导的遍历SINR近似值与仿真结果很接近,误差很小;近似BER值与仿真得到的平均BER值较为接近。仿真结果显示,增大BOF和天线数,则SINR增大,BER下降;增加用户数,则SINR减小,BER相应增大。

图9 天线数增加时平均BER和遍历SINR的 变化情况,K=4,D=4Fig.9 Change of average BER and ergodic SINR when antenna numbers increases,K=4,D=4