反应扩散Schnakenberg系统周期解的图灵不稳定性

项楠 林洪燕 万阿英

摘要： 针对生化反应中的周期振荡现象，讨论一类具有齐次Neumann边界条件的Schnakenberg模型. 利用Hopf分支理论、 中心流形理论、 规范型方法以及扰动理论等方法，给出反应扩散Schnakenberg系统的Hopf分支周期解的存在性、 稳定性以及图灵不稳定性.

关键词： Schnakenberg模型； 空间齐次周期解； Hopf分支； 图灵不稳定性

中图分类号： O193  文献标志码： A  文章编号： 1671-5489（2023）02-0259-06

Turing Instability of Periodic Solutions forReaction-Diffusion Schnakenberg System

XIANG Nan1，2，3，LIN Hongyan2，WAN Aying2

（1. College of Intelligent Systems Science and Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China;

2. School of Mathematics and Statistics，Hulunbuir University，Hulunbuir 021008，Inner Mongolia Autonomous Region，China;

3. College of Mathematical Sciences，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China）

Abstract： We discussed a class of Schnakenberg models with homogeneous Neumann boundary conditions in view of the periodic oscillation

phenomenon in biochemical reactions. By using the  methods of Hopf bifurcating theory，center manifold theory，normal form method and perturbation theory，we gave

the existence，stability and Turing instability of the Hopf bifurcating periodic solutions of the reaction-diffusion Schnakenberg system.

Keywords： Schnakenberg model; spatially homogeneous periodic solution; Hopf bifurcation; Turing instability

收稿日期： 2022-05-11.

第一作者簡介： 项 楠（1987—），女，蒙古族，硕士，讲师，从事微分方程与动力系统的研究，E-mail： xiangnanly@hrbeu.edu.cn. 通信作者简介： 万阿英（1967—），女，汉族，博士，教授，从事微分方程与动力系统的研究，E-mail： 41177650@qq.com.

基金项目： 国家自然科学基金（批准号： 12061033; 12261032）、 呼伦贝尔学院重点科研项目（批准号： 2021ZKZD03）和呼伦贝尔学院一般科研项目（批准号： 2022ZKYB05）.

0 引 言

耦合的反应-扩散系统可用来描述生物系统中的分化和空间模式的形成，反应扩散系统中的空间扩散可使系统原来稳定的常数平衡解变得不稳定，从而产生新的非常稳态解，这种由扩散引起的不稳定性称为图灵不稳定性［1］. 图灵不稳定性在生物和化学等领域应用广泛. 但在实际应用中，系统空间齐次周期解的稳定性与不稳定性也是人们关注的问题. 例如，周期振荡现象是化学反应中经常出现的现象［2］. 对于自组织的周期振荡现象，Hopf分支理论是研究其存在性和稳定性的有利工具［3］.

综上所述，本文利用Hopf分支定理、 中心流形理论、 规范型方法以及正则扰动等方法，讨论了一类反应扩散Schnakenberg模型空间齐次周期解的图灵不稳定性问题，给出了系统扩散系数之间的关系，使得在该关系成立的条件下，反应扩散系统的空间齐次周期解经历图灵不稳定性. 所得结果有助于更清楚地认识该类反应扩散模型的动力学行为.

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（責任编辑： 李 琦）