在数学概念指导下进行教学设计的策略比较

孙庆芳

所谓的“数学概念”学习理论，一是指教师要理解核心概念、数学理念、编写意图等数学概念要素，弄清楚它们之间的内在联系，充分利用配套资源，提高备课质量和效率，减轻备课压力，提高课堂教学质量。二是指教师要充分理解《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）中的理念，培养学生 “会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维分析世界，会用数学的语言描述世界”。只有把这些最基础的、最核心的数学概念、数学思想内化成教学本能，教师专业水平向上发展的空间才能打开，学生的可持续学习和发展才能得到基本保障，才能真正实现教学相长的良性发展。当教师脑海中有了数学概念的引领，我们的数学课就有了灵魂，就有了方向。下面以北师大版数学教材为例，通过不同教学设计策略的比较，来解析如何在数学概念指导下进行教学设计。

一、以数量关系发展学生的数学思维

要弄清最基础的、最核心的数学概念和数学思想，我们就要从源头上进行研究，即“数学”是什么？新课标在开篇就明确指出：“数学是研究数量关系和空间形式的科学。”这一看似简单的定义，整体把握住了学习数学的出发点和目标。“数学”定义的高度概括，充分展现其高度的抽象性和广泛的应用性，这就赋予了小学数学教学一项根本任务，即营造安全宽松的学习环境，引领学生感悟所处空间及事物间的数量关系。

数量关系指的是数字与数字之间、数字与未知数之间、未知数与未知数之间的等量、大小等关系。数量关系是最基础的数学概念，在实际教学中，很多教师采取的教学设计只关注规律的获得，却忽视了分析数量关系的方法和经验的理解与积累，这对发展学生的数学思维来说是不利的。

例如，有一位教师在教学北师大版数学教材五年级上册“图形中的规律”的课始阶段进行了如下设计。

首先，引入新知，揭示课题。

课件演示：用小棒摆1个三角形，要几根小棒？（3根）摆2个三角形，要几根小棒？（6根）如果摆n个三角形，要几根小棒？（3n根）

导入：这节课我们通过摆小棒的方式共同探究一些图形中的规律。

揭题：图形中的规律。

其次，组织探究，发现规律。

师：下面，我们来探究三角形的规律。刚才用6根小棒摆成两个三角形，现在只给你5根小棒，能摆出两个三角形吗？说说为什么可以节省1根小棒？这根小棒到哪儿去了？由于这根小棒被两个三角形公用了，因此我们把这根小棒所组成的这条边叫做两个三角形的公共边。

师：如果换一种方法来摆三角形，需要几根小棒呢？现在请同桌两人合作，一个人摆，一个人记录。

之所以选择这一节课来分析，是源于在调查过程中我发现，很多教师都把这节课的重点定在规律的寻找上，但是它的核心本质应是分析数量关系，因为随着数量之间关系的结构性呈现，规律就会随之而来。在实际教学中，教师要借助好玩的数学活动，引导学生获得分析数量关系的基本方法和基本经验。上述过程是很多教师经常采取的教学设计方式，这种设计虽然能够通过各种不同方法把规律分析出来，进而实现教学目标的达成，但是学生在分析数量关系的方法和对经验的理解与积累上是缺失的。如果在大的“数学观”指导下，在这里加一个问题并板书，变成下面我们所陈述的这个案例，就能以数量关系发展学生的数学思维。

首先，引入新知，揭示课题。

课件演示：用小棒摆1个三角形，要几根小棒？（3根） 摆两个三角形，要几根小棒？（6根）如果摆n个三角形，要几根小棒？（3n根）

师：三角形个数与什么有关系？

生：三角形个数、小棒根数。（教师根据学生的回答进行板书）

师：这节课我们通过摆小棒的方式，共同探究一些图形中三角形个数与小棒之间的变化规律。

揭題：图形中的规律。

其次，组织探究，发现规律。

师：现在只给你5根小棒，你能摆出两个三角形吗？那么还是二倍关系吗？

师：如果是这样摆3个、4个……n个三角形，各需要几根小棒呢？请你依据老师的板书提示思考，怎样能把你的操作过程完整记录下来？请继续思考和归纳，看看它们之间有没有什么共性的东西？现在请小组内精心讨论并设计统计方式，再进行摆图形操作，一个人摆，一个人记录，其他同学观察思考如何找规律。

这样改完之后，学生就在研究数量关系的指导下，开启数学学习的探究。当然，本课是五年级的课程，教师应从一年级就开始引导学生进行这样的学习，把研究数量关系这一学习目标，逐渐地浸润到学生的脑海中，使之形成本能的思维习惯。

二、以“三会”培养学生的数学素养

新课标提出，数学课程要培养的核心素养包括“三会”：会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。“三会”培养目标的达成，需要教师立足数学概念中的思想、理念、方法，通过在课堂中的逐渐渗透，像春雨一样慢慢滋养学生的心田。这就要求教师要扎扎实实地把教材所蕴含的思想、理念、方法都学透、悟透，抓住数学概念本质，确定教学重难点。

下面以北师大版数学教材五年级上册“图形中的规律”交流反馈阶段的教学设计为例，通过对比分析，探究数学概念指导下进行教学设计的策略。有一位教师进行了如下设计。

首先，校对答案是否正确，展示不同学生的列式计算方法。

其次，通过总结学生的摆、画、算过程，提问：你有什么发现 （每多一个三角形，小棒就增加2根）？

师：说一说通过观察，你发现三角形个数与小棒的根数之间有什么关系？

教师课件同步演示规律一。第一个三角形3根小棒，后面每多一个三角形，小棒就增加2根，从而总结出一般性规律：3+（三角形的个数-1）×2=小棒根数。

演示规律二。第一个三角形的第一根小棒先不看，每个三角形都可以看成2根小棒，这样就可以总结出一般性规律：1+三角形的个数×2=小棒根数。

演示规律三。两个三角形有1根小棒重复，3个三角形有2根小棒重复，总结出一般性规律：三角形的个数×3-重复的根数=小棒根数。

师：如果这样继续摆30个三角形，需要几根小棒？如果摆n个三角形，需要几根小棒？你能用含有字母的式子来表示吗？哪种更好理解？

再次，规律应用。

师：找到了规律，就要学会应用，你能马上告诉我这样摆37个三角形需要几根小棒吗？笑笑用了37根小棒，你知道她摆了几个三角形吗？

最后，迁移运用。

师：如果像这样摆一排正方形，它的个数与小棒根数之间又会有什么规律呢？如果摆20个正方形，需要多少根小棒？

之所以说这篇案例具有一定的共性，就是因为它把分析所谓的找规律作为重点、难点来处理了，而本课实质是借助“数学好玩”单元，在数学好玩的情境中，从感悟数量到分析数量关系，再到会用数学的眼光观察世界、会用数学的思维分析世界、会用数学的语言描述世界，把一个完整的数学学习过程展现给学生。

如果把操作中的摆、画、算的过程，改为列表、摆图形、记录、算法研究、概括，就可以把新课标所提倡的“三会”观点完整地呈现出来。

首先，教师根据各组学生设计表格项目的情况，组织他们进行交流汇报，互相评论，把各组的优点讨论清楚之后再设计完整的统计表格。在汇报、评论、讨论的过程中，“数量关系”应是整个学习过程的核心。

其次，摆图形。这个步骤与前面的教学过程相比看似简单了，但是由于前面提到了3个、4个……n个的设问，所以学生一定会从3个三角形摆起，而教师在这里不妨给他们先“挖个坑”，不做提示，让他们继续摆下去。

再次，记录。数据的记载是最基础的教学方法，也是最重要的教学方法，是教学重点、难点的突破口，更是大有学问。最初级的数数阶段，即5根、7根、9根……虽然也呈现出有规律的变化，但远远不够；教师应引导学生把数据变化的过程都一一记录下来，即3+2=5、3+2+2=7……这是重中之重的学习环节。

再次，算法研究。这是整个教学过程的难点，这个难点的突破，取决于前面记录的方法，如果前面记录得科学，那么整个数据结构化呈现就会清晰明了，规律就会十分自然地显现，下面学生的学习就会水到渠成，课程内容的展现和学习目标的达成就会一致了。

最后，概括过程。概括既是抽象的过程，又是推理的过程，同时还是建模的过程和点睛的过程。这一环节的重点在于教师引导学生把所看到的规律用符号表述出来，使学生体会数学语言的多样性。

如何把整个过程科学完整地展开？这就需要教师把前面设置的“坑”填好。在交流反馈的环节中，根据学生的实际，无外乎出现两种情况：完整的情况，即学生摆的三角形个数是1、2、3、4……；不完整的情况，即学生摆的三角形个数是3、4、5……这时，教师要引导学生讨论——你所找到的规律包含了一个、两个三角形的情况吗？教师通过及时的问题引导，让学生明白——要想寻找事物变化规律，就要从初始状态开始。这样就可以达成培养学生观察思考的严密性的目标，其中在学生学习遇到普遍性问题时，教师的主导作用必须要及时体现。

数据记录的呈现是丰富多彩的，教师要根据实际情况，组织学生充分进行比对分析，看看哪种方法能更好地呈现出有规律的变化（如表1所示）。

表1 数据记录呈现

[三角形个数 小棒根数 三角形个数 小棒根数 三角形个数 小棒根数 1 3 1 3 1 1+2 2 5 2 3+2 2 1+2+2 3 7 3 3+2+2 3 1+2+2+2 ]

教师要引导学生依据数据的结构性呈现，概括出解决问题的一般算法，形成具有普遍意义的模型，再利用这种方法去解决更广泛的问题。

通过以上设计，就可把单纯的算转變成丰富多彩的、富有挑战的数学学习，使学生在知识、能力、思想、经验等方面得到全面发展。

三、以“情境+问题串”促进学生的数学理解

北师大版数学教材的一个显著特色就是“情境+问题串”，教师要把这一特点在教学设计中凸显出来，要紧扣分析数量关系这一根本，把“三会”的思想无声地渗透在每一个环节中。实际上，教材已经把这个问题处理得非常到位了，但是由于相当多的教师在认知中并没有“三会”思想这一知识储备，再加上对教材研读不到位，所以在很多教学设计中并没有显示出来。

同时，北师大版数学教材“情境+问题串”的设计，也把“四个过程一致”这个特点展现得淋漓尽致，教师把“四个过程一致”理解到位了，备课就轻松了。因为它既是教案又是学案，随着课程内容的展开，教与学有机地交融到一起，随着课程结束，教学目标达成。所以，教师备课时不需要再设计框架、环节、问题、练习……要考虑的应是如何把思想、理念、方法融入教学中。

例如，在教学北师大版数学教材三年级上册“搭配问题”一课时，有一位教师对本节课“情境”这一环节认识不到位，还只是停留在例子、导入的认知水平，所以处理起来基本就是：看看能提出什么数学问题，并以此导入新课。

师：同学们，你们早上起床第一件要做的事是什么呢？洗漱完之后，你又会做什么呢？

师：吃完早饭，我们就高高兴兴地去哪里？在平时的穿衣、吃饭、走路中，有没有我们要研究的数学问题呢？这节课我们就一起走进“搭配中的学问”，解决穿衣、吃饭、走路中的数学问题。

而教材创设的情境是马戏团小丑服装的搭配，之所以选择马戏团，编者的意图就是借助小丑这一特定角色，激发学生的兴趣，看看怎么搭配小丑的服装才更有喜剧效果。在备课时，教师绝不能把学生引导到喜剧过程中去，而是应适时地引导到“上衣的数量与裤子的数量，决定了演出服饰穿法的数量”的分析上来。教师要紧扣“数量分析”这一核心，同时还要淡化马戏小丑这一情境，实现“去情境”。由情境的导入到“去情境”，是实现“会用数学的眼光观察世界”的学习过程，即在欢快的学习环境中完成一次抽象的学习过程。而在这位教师的教学中，则是把“问题串”简化成一问一答的平铺直叙，把 “问题串”中的逻辑关系弱化了，把蕴藏其中的“三会”的数学思想弱化了，把学生应该得到的思维发展的体验弱化了。

实际上，北师大版数学教材中“问题串”的设计，基本都体现了“发现和提出问题、分析和解决问题”的全过程。而且教材中的“问题串”都紧扣了数量关系的分析，把“三会”思想渗透和培养贯穿其中。

以北师大版数学教材四年级下册“优化”一课的“问题串”设计来做分析，教师要引导学生体会新课标中“从与课程内容有内在联系的特定情境出发，展开一组问题，学生在教师的引导下理解情境、解决问题的过程就是学习数学、发展数学、实现数学课程目标的过程”的设计编排。

问题一：为妈妈沏杯茶，怎样安排可以节省时间？这个问题中，要使沏茶时间最短可以分成几个步骤？每个步骤要用多长时间？每个步骤之间的内在关系是什么？这些问题既渗透了“做事情要心中有数”的教育，同时又渗透了“有序”“包含”思想的教学处理。

问题二：在沏茶的过程中什么事情可以同时做？这一问题引导学生围绕可以同时做的事情进行深入探讨，其本质就是把“有序”“包容”的思想转化为学习行动。一是讨论事物之间内在的、必然的、有序的联系；二是对可包含的事物之间时间大小不同的分析。通过两个维度来优化程序可以节省大量教学时间。同时，教材又通过一个流程图渗透了思维可视化的设计方案，使学生懂得陈述语言的多样性。

问题三：需要多长时间？这个问题通过计算不同程序所需时间，引导学生进一步体会优化思想。此外，还引导学生从“做事情从心中有数”开始，通过分析事物之间的内在联系，回归到利用对数的计算，得出最优化的解决方案。

通过三个紧密关联的问题，形成了一整套解决问题的一般方法，完成了“三会”思想指导下的完整的学习过程，使学生的学习成为一个可持续发展的过程。

总之，教师可以借助对案例的分析来深入探讨新课标要求，充分利用教学用书、挖掘教材所富含的教育思想和方法。备课时，教师要深入理解数学概念本质，以数学概念为指导，优化教学设计，培养学生的核心素养。

（责任编辑：杨强）