抛物线中平行四边形存在性问题探究

毛丽丽

抛物线背景下的平行四边形存在性问题是中考的热点，常见的考查类型有两种：一是已知平行四边形的三个顶点，求解第四个顶点，即“三定一动”型；二是已知平行四边形的两个顶点，求解其余两个顶点，即“两定两动”型.下面与同学们探究此类问题的解题策略.

考点提炼

考点1：“三定一动”型

例1 平面直角坐标系中，点A，B，C是不在同一直线上的三点，点D是坐标平面内一点，若以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请求出点D的坐标.

解题思路：分类—画图—计算

易错点：不会画图，或者画图不全面，或者计算复杂，导致漏解错解.

解题要点：（1）分类：①以AB，BC为边（或以AC为对角线）；②以AC，BC为边（或以AB为对角线）；③以AB，AC为边（或以BC为对角线）.

（2）画图：

方法1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，据此作平行线即可得平行四边形.

如图1，连接AB，BC，AC，分别过点A，B，C作其对边的平行线，三条直线的交点为D1，D2，D3，则四边形ABCD1，ACBD2，ABD3C均为平行四边形．

方法2：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，据此倍长中线即可得平行四边形.

如图2，延长AC，AB，BC边上的中线，使延长部分与中线相等，得到点D1，D2，D3，连接D1D2，D1D3，D2D3. 则四边形ABCD1，ACBD2，ABD3C均为平行四边形．

（2）计算：以求解D1为例，设A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），D1（xD1，yD1）.

方法1：如图3，过点A，D1分别作y轴的平行线，过点B，C分别作x轴的平行线，交点分别为E，F. 由AB[⫽]CD1，AB = CD1得△ABE ≌ △D1CF，∴CF = BE，D1F = AE，即xD1 - xC = xA - xB，yD1 - yC = yA - yB.由此可求得D1的坐标为（xA + xC - xB，yA + yC - yB）.

方法2：如图4，设点M为AC，BD1中点，由中点坐标公式得，[xA+xC2=xM=xB+xD12]，[yA+yC2=yM=yB+yD12]（若对中点坐标公式不熟悉，可结合图5理解），由此可求得D1的坐标为（xA + xC - xB，yA + yC - yB）.

综上，无论利用平行四边形何种判断方法画图，都可得到平行四边形四个顶点坐标之间的关系，从而求得第四个頂点的坐标.

其实，在“三定一动”型题目中，我们还常见到一种简单情况，如已知A，B，C三个定点，在坐标平面内寻找点D，使得四边形ABCD为平行四边形，此种题目为确定问题，无须再分类，为上述考点分类中的一种情况.

考点2：“两定两动”型

例2 如图6，平面直角坐标系中，点A，B是两个定点，点C为某直线上一个动点，点D是某抛物线上一个动点，若以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请求出点C，D的坐标.

解题思路：分类—画图—计算.

易错点：不会画图，画图不全面，或者计算复杂，导致漏解错解.

解题要点：（1）分类：①以AB为边；②以AB为对角线.

（2）画图：可先将直线上点C位置确定，再寻找满足条件的点D.当以AB为边时，利用与AB平行且相等画CD，得到以A，B，C，D为顶点的平行四边形；当以AB为对角线时，取AB中点M，利用DM = CM，画出点D，得到以A，B，C，D为顶点的平行四边形.

（3）计算：从上述画图过程可知，将“两定两动”型转化为“三定一动”型，进而借助考点1的计算方法即可求点D的坐标.

真题精讲

例3 （2022·辽宁·阜新）已知二次函数[y=-x2+bx+c]的图象交x轴于点A（ - 1，0），B（5，0），交y轴于点C．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）已知P是抛物线上一点，在直线BC上是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．

解析：（1）用待定系数法求得二次函数表达式为[y=-x2+4x+5].

（2）由（1）得点C的坐标为（0，5），直线BC的表达式为：[y=-x+5].借助考点2的解题思路和要点分析问题.

根据两动点所满足的函数关系，设点P的坐标为（[m]，[-m2+4m+5]），点Q的坐标为（[n]，[-n+5]）.

如图7，以AC为边，探究点Q在线段BC上，画图得平行四边形AQ1P1C.

则有[-1+m=0+n，0+（-m2+4m+5）=5+（-n+5） ，]解得[m1=2，n1=1，][m2=3，n2=2.]

如图8，以AC为边，探究点Q在线段CB的延长线上，画图得平行四边形AP2Q2C.

则有[-1+n=0+m，0+（-n+5）=5+（-m2+4m+5） ，]

解得[m1=6，n1=7，][m2=-1，n2=0.]（不符合题意，舍去）

如图9，以AC为对角线，探究点Q在直线BC上，最终当点Q在线段BC的延长线上时画图得平行四边形AP3CQ3.

则有[-1+0=m+n，0+5=（-m2+4m+5）+（-n+5） ，]解得[m1=6，n1=-7，] [m2=-1，n2=0.]（不符合题意，舍去）

综上所述，点Q的坐标为（1，4），（2，3），（7， - 2），（ - 7，12）.

点评：本题中对平行四边形的探究开放性强，有一定难度，解题第一个关键步骤是在明确分类的情况下画图探究，第二个关键步骤是用含字母的代数式表达动点坐标，借助平行四边形四个顶点坐标之间的关系解决问题.

总结提升

抛物线背景下平行四边形存在性问题，从“几何角度”切入问题，以边、对角线构造平行四边形画出图形，然后再利用相对顶点（可简称对点）坐标间关系列出方程组求解，这种数形结合解决问题是一种常用方法.随着解题经验越来越丰富，我们可以将数形结合的方法简化为盲解盲算的代数方法，可以简称为“对点法”. 无论是“三定一动”型，还是“两定两动”型，甚至是“四动”，都可以用对点法直接计算.

具体做法如下：对于以A，B，C，D为顶点的平行四边形，设A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），D（xD，yD），当点A和点B相对时，可得[xA+xB=xC+xD，yA+yB=yC+yD;]当点A和点C相对时，可得[xA+xC=xB+xD，yA+yC=yB+yD;]当点B和点C相对时，可得[xB+xC=xA+xD，yB+yC=yA+yD.]利用以上方程组即可得到所求动点坐标.这种从“代数角度”思考解决问题的方法，不易漏解，而且动点越多优越性越明显. 同时应该注意题目中顶点位置的特殊性，若其中一边与y轴平行，除用上述通法解决问题，还可利用特殊解法求解.

专题精练

如图10，已知二次函数[y=-38x2+bx+c]的图象与x轴交于点A，C，与y轴交于点B，直线[y=34x+3]经过A，B两点，点D为线段AB中点.

（1）求抛物线的表达式.

（2）在坐标平面内是否存在一点E，使得以C，B，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）点Q是抛物线对称轴上的一动点，在抛物线上是否存在点F，使得以C，D，Q，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

答案：（1）[b=-34]，[c=3]；

（2）存在，点E的坐标为[4，32] ，[0，-32]， [-4， 92]；

（3）存在，点F的坐标为[1，158]， [3，-218]， [-5，-218].

（作者单位：沈阳市于洪区教育研究中心）