函数奇偶性在积分计算中的应用初探

◇乐山师范学院数理学院 刘艳芳

函数的奇偶性是一个非常特殊的性质，并在很多实际问题中有着非常广泛的应用.本文主要通过具体例子介绍函数奇偶的这一特性在函数的定积分、曲线积分、重积分计算当中的应用.

在高等院校中，高等数学作为各理工科本科生必修的基础课程，在各个领域都有着广泛的应用.而积分计算作为高等数学中的重难点，其重要性是不言而喻的.而函数是高等数学中尤其是微积分的主要研究对象，在学习高等数学的过程中我们不难发现函数具有很多特性，比如单调性、奇偶性、有界性、周期性等，这些特性充分体现了函数的几何美.其中函数奇偶性将数学美体现的淋漓尽致，如心形函数不失为数学专业学子委婉表达自己内心爱慕之情的方法.并且利用函数的特性可以解决和简化很多计算和应用中的问题，其中将函数奇偶性运用在积分求解的方法中就是一个非常有代表性的举措，也是非常重要且便利的工具.因此，探究函数奇偶性在积分计算中的运用就相当有必要.在某些较为麻烦的积分计算和证明的问题中，使用常规的方法去处理可能会力不从心，且其中有些积分计算方法灵活，不易直观求解，甚至会经过比较巧思的方法才能解决，这也就暴露出常规解决问题方法的弊端，令积分计算很是头疼.因此我们就可以采用针对性的解法，尝试去寻找这个问题的特殊之处，比如积分区间的对称性、被积函数奇偶性等，使积分计算的难度可能会得到大幅度的降低.再利用奇偶性的相关定理、结论来求解，更能达到简化计算过程的目的，使计算过程得到相应的简化，从另一个角度来说也就提升了求解问题的速度，更加靠近解决问题的最佳方案.

1 函数的奇偶性

2 函数奇偶性在积分计算中的应用

2.1 函数奇偶性在定积分中的应用

这种计算方法必须要满足被积函数在对称区间上可积，然后再利用函数的奇偶性求解积分问题.甚至在有些定积分的计算中看似复杂或无从下手，此时却可以通过考虑被积函数的奇偶性或把被积函数分解出具有奇偶性的函数来达到简化积分计算的目的.

通过以上例题，一些看似无从下手的题，通过利用被积函数奇偶这一特性，很简单的就能算出结果，且减小了繁琐计算量.

2.2 函数奇偶性在曲线积分中的应用

3 结束语

通过上面具体的实例阐述，我们看到了函数的奇偶性可以很巧妙的简化积分中的计算.不仅如此，函数的奇偶性在重积分、曲线积分、曲面积分以及其他的很多问题中都有着不容小觑的作用.由此我们由函数的奇偶性联想到对称性，发现了数学中的很多美好，从而激起了我们学好高等数学的兴趣和热情.也更能把数学中抽象难懂的知识生动形象地阐述出来，带来很多的直观感受.在解决问题的时候，尽量避免复杂的推导，观察问题本身，可能会比一味硬算节约更多的时间，这在生活中也会是一门深究的学问.