数学新课标中的几个“细节”问题

摘要：《义务教育数学课程标准（2022年版）》有三个应当重视的“细节”问题：“课程目标”的论述应当讲究逻辑，从而避免理解上的困难；核心素养的“三会”阐释以及与教学目标撰写相关的“行为动词分类”应当淡化词语概念，注重实质意义，从而避免束缚一线教师的思想；“实例”的编写应当发挥更大的作用，从而帮助大家更好地理解新课标的基本理念，并为实际的数学教学提供必要的范例。

关键词：数学新课标；课程目标；“三会”；行为动词；实例

在“数学教育杂谈”系列的前一篇文章［1］中，笔者从宏观的角度谈了对《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“数学新课标”）的一些思考。本文则从相对微观的角度进一步谈谈数学新课标中的几个“细节”问题，从而帮助大家更好地学课标、用课标。

一、从逻辑的角度看“课程目标”的论述

胡适先生说过：“内行的教育家，因为专做这一项事业，眼光总注射在他的‘本行，跳不出习惯法的范围。他们筹划的改革，总不免被成见拘束住，很不容易有根本的改革。”数学新课标中“课程目标”部分的论述便未能跳出原有的概念框架，包括局限于从数学学科的视角进行分析思考，更不恰当地将“新旧”指导思想做了简单组合。这是笔者在本系列的前一篇文章中表达过的观点。除此以外，笔者以为，相关论述从逻辑的角度看，容易导致理解上的困难，包括直接的误读。

数学新课标中“课程目标”部分的开头是：“课程目标的确定，立足学生核心素养发展，集中体现数学课程育人价值。”［2］这句话其实是从一般（而非数学）课程的角度表明了我们应当如何理解“课程目标”。也就是说，无论哪一门课程的教育，都应该很好地落实“育人”这一教育的整体目标，特别是应该“立足学生核心素养发展”。

从逻辑的角度看，接下来先论述“核心素养内涵”，应当说是十分合理的。因为，如果我们认定课程目标应该“立足学生核心素养发展”，那么从数学教育的角度对如何理解所说的“学生核心素养”，也即什么是“（数学课程要培养的）学生核心素养”作出清楚的说明，就为我们理解数学教育的基本目标提供了具体解答。

然而，令人费解的是，尽管相关论述已清楚地表明了这样一个观点，即我们应将“三会”看成“数学课程要培养的学生核心素养”的主要含义，数学新课标却将这部分内容用小标题概括为“核心素养的构成”，并在这部分内容后面并列地加上了小标题为“在小学与初中阶段的主要表现”的内容。既然已经对“核心素养的构成”做了具体说明，为什么还要加上“核心素养的主要表现”这样一项内容？当然，如果从词义上进行分析，“构成”与“主要表现”确实存在一定的差异。但是，究竟为什么要对此作出特别的强调呢？笔者猜测，采取这样一种“递进”的论述方式的主要原因，可能是为了表明对“核心素养内涵”，没有停留于一般性的论述，而密切联系数学学科作出了进一步的分析思考。但如果真是这样的话，为什么没有直接使用“数学核心素养”这样一个词语？另外，采取这样一种“递进”的论述方式是否意味着所说的“三会”不能被看成“核心素养”在数学领域的主要含义？如果是，则显然与前面的论述形成了直接的矛盾。

进而，如果将注意力集中到“（核心素养）在小学与初中阶段的主要表现”这一部分的具体内容上，还可以发现有更多问题需要深入地分析思考。

第一，将核心素养在小学与初中阶段的主要表现概括地表述为“小学阶段侧重对经验的感悟，初中阶段侧重对概念的理解”［3］是否恰当？只需稍做思考就可发现，这一结论不仅需要进一步说明（比如：何谓“经验的感悟”？它與“经验的积累”有什么不同？），也有明显的局限性（比如：除去“概念的理解”，我们显然也应十分重视“提出与解决问题的能力”）。

第二，具体阐述的核心素养在小学与初中阶段的15个主要表现，基本上是与《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“数学旧课标”）阐述的10个“数学核心概念”一致的（只是在小学增加了“量感”，在初中增加了“抽象能力”，并且将“推理能力”划分为“推理意识”和“推理能力”，将“数据分析观念”划分为“数据意识”和“数据观念”，将“模型思想”划分为“模型意识”与“模型观念”）。那么，它们与“三会”之间有什么关系？数学新课标中的相关论述，将它们分别归属于“数学的眼光”“数学的思维”和“数学的语言”。但这显然进一步强化了将“三会”绝对地分割开来的做法，更是与数学新课标强调的核心素养的“整体性、一致性和阶段性”直接相冲突。对此，笔者将在下文做进一步分析。

论述了“核心素养内涵”之后，数学新课标又论述了“总目标”。但是，根据“课程目标”开头的那句话，关

于“核心素养内涵”的分析已经为我们认识数学教育的“总目标”提供了具体解答，为什么又要专门论述“总目标”呢？“总目标”的第一句话“通过义务教育阶段的数学学习，学生逐步会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”符合上述逻辑，很好理解。但是，之后为什么要加上“学生能：（1）获得适应未来生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。（2）体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，在探索真实情境所蕴含的关系中，发现问题和提出问题，运用数学和其他学科的知识与方法分析问题和解决问题。（3）对数学具有好奇心和求知欲，了解数学的价值，欣赏数学美，提高学习数学的兴趣，建立学好数学的信心，养成良好的学习习惯，形成质疑问难、自我反思和勇于探索的科学精神”［4］这样几句话呢？

不难发现，这几句话是对数学旧课标强调的“四基”“四能”与“情感态度与价值观”的概述。因此，加上这几句话，可能是出于“继承”的需要。但是，我们究竟应该如何理解过去强调的目标与现今强调的“核心素养”之间的关系？

当然，“总目标”又可被看成是相对于“学段目标”而言的，而“学段目标”正是“课程目标”的第三项内容。但是，在此我们仍然面临一个重要的问题：在论述各个“学段目标”时，究竟应当围绕“三会”，还是15个“主要表现”，或是“四基”“四能”和“情感态度与价值观”进行分析？

在此还应特别提及一个密切相关的观点，即“四基”“四能”“数学核心概念”与“三会”等构建了关于数学课程目标的一个层层递进的完整体系：“首先，‘三会是这个目标体系的顶层目标或终极目标……其次，为达成‘三会，设置了通往‘三会或为‘三会提供支撑的中间目标或过渡性目标，称为核心素养的主要表现……最后，第三层目标是达成核心素养主要表现的支撑目标或过渡性目标，也就是大家熟悉的‘四基、四能目标。”［5］从形式上看，这一论述似乎有一定的道理，并且为我们很好地解决上述矛盾提供了现实的可能性，但事实上反映了对“结构性认识”的一种误解。因为，一个真正的层次结构，在各个层次之间应当存在密切的联系，特别是，较低层次的概念应是较高层次概念的具体体现，并且为其实现提供必要的保证和具体的途径，反之，较高层次的概念应对较低层次的概念进行渗透与提供指导。而从上述解释中，却只能看到一种“层层加码”的现象，即概念“简单堆砌”，相互之间缺乏内在的联系，因而不能形成一个真正的体系。由以下对照比较，读者便可对此有更好的认识：

按照数学新课标中“课程目标”这一部分的论述方式，可对所提及的各个主要概念之间的关系，包括论述的次序，作出如图1所示的梳理。

从逻辑的角度看，关于“数学教育目标（课程目标）”的论述则应是如下页图2所示的层层推进的体系。

进而，如果认定“核心素养导向”是这方面最重要的指导思想，那么，我们显然就應当按照这一思想对上述体系做进一步的诠释，即采取如图3所示的论述方式。

总之，“课程目标”这一部分的具体论述不应满足于概念的简单堆砌，更不应定位于“新旧思想”的简单组合。相反，为取得真正的进步，我们必须跳出已有的概念框架，从更高的层面进行深入的分析研究。对此，笔者引用李可染先生的以下论述：“以最大的功力打进去，以最大的勇气打出来。”这句话尽管是就艺术创造而言的，但仍清楚地表明了什么是我们在课标修订方面的真正需要。

二、从“词语和意义”的角度看核心素养的阐释与教学目标的撰写

以上分析已经使我们感觉到，将作为数学教育“终极目标”的核心素养界定为“三会”既无必要，也不合适。实际上，就内容而言，“三会”重复了苏联著名数学家亚历山大洛夫对数学主要特征的分析，即所谓的“抽象性、严密性与应用的广泛性”。而且，“三会”也未能很好地体现“核心素养导向”——跳出狭隘的专业视角，从更大的范围去认识数学教育的价值。

在此，我们还应清楚地看到将“数学的眼光”“数学的思维”“数学的语言”人为地割裂开来的另一个局限性：容易造成理解上的困难。

具体地，数学新课标中关于“三会”的论述包括：［6］

会用数学的眼光观察现实世界：数学为人们提供了一种认识与探究现实世界的观察方式……

会用数学的思维思考现实世界：数学为人们提供了一种理解与解释现实世界的思考方式……

会用数学的语言表达现实世界：数学为人们提供了一种描述与交流现实世界的表达方式……

按照这样的论述，所谓的“三会”主要涉及三个关键词：“观察”“思考”和“表达”。对此，分别借助“认识与探究”“理解与解释”和“描述与交流”作出进一步的说明。又由于这三者都可被归属于“人类对现实世界的认识”，因而，我们可以作出如图4所示的进一步概括。

显然，即使单纯地从词语的角度进行分析，我们也可清楚地看出这一做法的局限性，即词语应用上的“捉襟见肘”与“交叉重叠”。例如，既然这三者都可被归属于“人类对现实世界的认识”，那么，作为进一步的具体说明，显然就不应在较低的层次再次使用“认识”这个词语。再则，如果不借助其他概念，我们显然也无法对“探究”这一概念的准确含义作出具体的说明。

当然，相对于单纯的词语分析而言，我们又应更加重视这一做法是否有利于人们在这一方面认识的发展和深化，包括是否应对“观察”“思考”和“表达”作出绝对的区分。

具体地，绝对地区分开这一做法显然是与认识活动的整体性直接相冲突的，并且不利于人们清楚地认识思维在认识活动中的核心地位。为了更清楚地说明这一点，以下从整体的视角指明人类认识活动的一些重要特点：

第一，任何认识活动都同时涉及“主体”与“对象”这两个方面。对这两者，我们又都应当做广义的理解：首先，“人”不仅指单独的“个体”，也包括“群体”；其次，“现实世界”也不局限于自然界，还包括波普尔所谓的“世界三”（或者说“客观知识”）。显然，依据后一事实，我们也可更好地认识“反思”与“再认识”对于认识活动的特殊重要性。

第二，人类对现实世界的认识并非镜面式的反射，相反，主体在这一过程中也发挥了十分重要的作用。用建构主义的话来说就是，认识是主体的主动建构，是一种意义赋予。从这一角度，我们也可更好地认识数学学习对于提升认识能力的重要性。因为，除了主要着眼于事物和现象的量性特征以外，数学学习也十分有益于抽象能力的提升，包括逐步养成这样一种认识方式：借助于概念和理论去认识，从而获得更深刻的认知，而不是局限于单纯的“经验积累”。

由此，我们也可清楚地认识到“观察”“思考”与“表达”之间存在的重要联系：人们总是通过“有色眼镜”去观察世界，也即离不开一定的概念体系或语言；进而，人们其实不是用眼睛在看，而是用头脑在“看”。这就是认识活动建构性质的集中体现，更清楚地表明了思维在认识活动中的核心地位。实际上，通过认知的信息加工理论，也可很好地认识这一点：信息的输入（观察）和输出（表达）都离不开包括现实、语言在内的媒介，同步还伴随着加工（思考），并以此为核心。

综上可见，就作为数学教育“终极目标”的核心素养这一论题而言，不应将论述重点放在单纯的“词语创新”上，而应更加重视对问题本身（也即如何认识数学教育的价值）的分析。对此，笔者引用著名数学家、教育家陈重穆先生在20世纪90年代提出的一个主张：“淡化形式，注重实质。”这一主张告诉我们，要适度地“淡化概念”，即“不要单纯在概念本身上下功夫”，不要把概念看成是“百分之百的不可变动、神圣不可侵犯”，而应把重点放在对实质的领悟之上。［7］

进而，笔者想特别提及这样一点：词语使用上的“随意性”还可能对人们的积极思维造成一定的消极影响。下面就以数学新课标的附录2“有关行为动词的分类”与相关的解读为例，做简要说明。

数学新课标在附录2中，将与每堂课或者每个具体教学内容的教学目标有关的行为动词分为“描述结果目标的”与“描述过程目标的”两类，并将前者分为“了解”（或“知道”“初步认识”）、“理解”（或“认识”“会”）、“掌握”（或“能”）、“运用”（或“证明”“应用”）四个层次，将后者分为“经历”（或“感受”“尝试”）、“体验”（或“体会”）、“感悟”、“探索”四个层次。［8］

对此，相关人士给出如下建议：“当我们确定好一节课各个维度目标的具体内容后，接下来就要根据目标内容的属性，从结果目标行为动词和过程目标行为动词中，选择相应的目标行为动词进行匹配，这样就可以写出规范的教学目标。”这就要求我们在撰写教学目标时，采取“行为动词+目标内容”的形式，并且让行为动词与目标内容相匹配。在此基础上，进一步给出六个方面的匹配建议（要求）：“一是基础知识目标内容与行为动词的匹配；二是基本技能目标内容与行为动词的匹配；三是基本思想目标内容与行为动词的匹配；四是基本活动经验方面：我们习惯上使用‘积累；五是数学‘四能方面：我们习惯上使用‘经历；六是核心素养方面：我们习惯上使用‘发展。”［9］

笔者的看法是：强调认识的发展性与阶段性当然是对的，但是，我们显然也应该看到“过程”与“结果”以及不同水平之间的辩证关系；作为指导性文件，重视词语的准确性显然也没有错，但是，我们如果希望相关文件确能对广大数学教育工作者，特别是一线教师发挥切实的指导作用，就应该在这一方面采取十分慎重的态度。因为，不仅上述动词的分类很难把握，而且匹配的要求也很难实现——有兴趣的读者不妨具体尝试一下，即就某个具体的教学内容，按上述要求去撰写一个“合格的”教学目标，看看你能否很好地完成这个任务，这又会占用你多少的时间和精力。如果将此当成一线教师必须理解、执行的硬性规范，那么，即使在最好的情况下，也只会造成一种“新八股”。对此，笔者想特别借用小学数学特级教师俞正强老师的经历和感受来说明：［10］

我是1986年参加工作的……当时的教学目标称为“双基”，即基本知识、基本技能……

到了2000年左右，新课程改革了……改革的显著之处在于将“双基目标”改为“三维目标”……于是，我努力将自己的教学目标调整为“三维目标”。可是，从此我发现，写教案的时候，我已经不会写教学目标了。因为我发现每节课都有特定的基本知识、基本技能，却很难区分出每节课的思想方法。当思想方法成為教学目标的时候，发现上节课也这样，下节课也这样。更痛苦的是，实在不知道这节课的情感态度价值观与上节课有何不同……就这样迷茫了，在迷茫中努力地教学……

到2010年，好像又修改了，三维目标还是不对。作为一个一线数学教师，很认真地接受新的“四基目标”……让我抓狂的是基本经验，不知道如何去落实……教师们看我一脸困惑的样子，告诉我：教书啊，别想那么多……

……从2016年开始，“四基目标”好像又不大重要了，代之以“数学核心素养”。因此，讨论环节有位专家问我：“你这节课，培养了什么核心素养？”我当时就被问蒙了……尽管课上成功了，大家也认为上得挺成功的，但面对这个问题，我真的不知从何说起。

这个实例表明，现实中更可能出现的一个情况是，所说的规范只会束缚一线教师的思想，即给一线教师带上一个沉重的文字枷锁。

三、从指导性的角度看“实例”的编写

案例的重要性现已获得越来越广泛的认同。这也可由以下事实得到进一步的证实：数学新课标的附录1“课程内容中的实例”一共包括93个实例，其篇幅远远超出正文中关于任一论题的论述。

但在这一方面，我们也可看到一些简单化的认识与不恰当的做法，特别是，将“案子”简单等同于“案例”，即满足于各种实例的收集，却忽视了还应对此作出深入分析，包括从整体上认真研究应当如何从事案例研究，以及如何更好地发挥实例的作用。下面对此作出具体分析。

首先，有关实例是编写在数学新课标的附录中的，因此，总体而言，这些实例就应起到帮助人们更好地理解数学新课标基本理念或主要思想的作用。而义务教育课程的基本定位是“规定了教育目标、教育内容和教学基本要求，体现国家意志，在立德树人中发挥着关键作用”［11］，因此，这些实例的作用就应集中于这样三个方面：（1）如何通过各个内容的教学很好地落实数学教育的基本目标，包括更好地理解基本目标？（2）教育内容的组织如何很好地体现相应的“课程理念”，特别是课程内容的“整体性、一致性与阶段性”？（3）如何按照数学新课标在教学方面的基本要求从事各个内容的教学，特别是“重视单元整体教学设计”“强化情境设计与问题提出”以及“进一步加强综合与实践（跨学科学习）”等要求。［12］

正是基于这样的认识，笔者以为，数学新课标中实例（及其说明）的编写就有较大的改进余地，特别是，应当通过实例帮助大家更好地理解数学新课标的基本理念，并为实际的数学教学（包括教材编写——实际上是一种教学设计）提供必要的范例。

其次，在本系列的前一篇文章［13］中，笔者提及，强调“课程”的视角容易造成对各种与教学有关的问题不够重视的后果。从这一角度进行分析，数学新课标中实例的编写也有不少需要改进的地方。以下结合三个实例做具体分析。

一是数学新课标附录1中的例4“用不同符号表示变化规律”及其说明：［14］

在下列横线上填上合适的数字、字母或图形，并说明理由。

【说明】启发学生在解决问题的过程中探索规律。引导学生感悟对具有规律性的事物，无论是用数字还是用字母或图形都可以反映相同的规律，只是表达形式不同。

首先应当提及，对“找规律”（数学新课标的附录1中，这方面的实例还有例14“寻找规律进行推断”［15］）的强调正是新一轮课程改革实施以来数学教学领域十分普遍的一种现象。但由于相关实践有不少明显的问题或不足之处，就引发了不少专业人士的批评。这些批评集中于这样几个方面：很多所谓的“规律”事实上不能被看成真正的规律，所说的“找规律”在某些方面更是与科学的认识直接相违背。特别是，我们显然不应依据几个简单的例子，在没有经过进一步检验和证明的情况下，随意地去认定所谓的“规律”。也正因此，相关实例中所说的“找规律”，事实上就只是一种素朴的认识。对此，我们应该通过系统的学习进行必要的提升。下面通过张奠宙先生对人教版小学数学教材中的一个“找规律”内容的分析来具体说明：［16］

针对人教版小学数学一年级下册（指的是在2012年之前的一版教材，相关问题在2012年之后的新版教材中已做了较大的变动）“找规律”内容中所呈现的小旗排列方式（红、黄、红、黄、红、黄、红、黄、红）以及相关的问题“后面一个应是什么？”，张奠宙先生指出：“这里的一个‘应字，是不妥当的。它意味着找的规律只有一种（黄红旗两个一组间隔出现），第一排的第10面旗只能是黄色……事实上，我们可以找到许多其他的规律，使得第10面旗是‘红。例如，“9个一组，周期重复”，于是第9、第10以及第18、第19，连续两面都是红旗……实际上，找规律问题是一个开放的问题。任何一个有限序列，都可以生成无限多种的规律。认为只有一个规律，推断出‘必须是什么和‘应该是什么，把开放题封闭成一个唯一答案的题目，在数学上是不对的。”

当然，就数学新课标中的实例而言，教学的重点已经有所转移：集中到了“规律”的表述。但是，在笔者看来，这恰好十分清楚地表明了“数学的眼光”“数学的思维”“数学的语言”之间所存在的重要联系。具体地，如果说面对所给的三组符号或图形注意分析它们的共同点与不同点，可被看成是“数学的眼光”的具体体现，那么，除去异同点以外，更加重视由特殊上升到一般，由具体过渡到抽象，即从数学的角度揭示它们的共同本质，就可被看成是“数学的思维”的重要体现。再者，为了对共同本质作出清楚的表述，又必须用到“数学的语言”，特别是应引入“模式”这样一个概念，因为与“规律”相比，它应当说是更加合适的一个词语。［17］

进而，从同一角度进行分析，笔者以为，相对于直接列出三组符号或图形，更加恰当的一个做法是，以日常生活中的一些常见情境（如花盆的摆设、彩旗的悬挂）为背景去引出相关的问题。因为，数字或字母符号以及几何图形都已达到一定的抽象层面；而且，具体情境的使用可以起到“去情境”的作用，这是帮助学生学会“三会”，特别是“数学的表达”十分重要的一个方面。

二是数学新课标附录1中的例10“生活中的数”及其说明：［18］

某学校为学生编号，设定末尾用1表示男生，用2表示女生。例如，202103321表示“2021年入学的（3）班的第32号同学，该同学是男生”，那么202104302表示什么？

【说明】这个例子启发学生思考，编号提供给我们一些什么信息。例如，一个年级最多有多少个班，一个班最多有多少名学生。同时，可以引导学生设计本校的学生编号方案。

正如以上“说明”中所提及的，這一实例所涉及的事实上是“编码问题”，从而采用“生活中的数”这样一个标题就不是很合适，更容易导致这样一个错误的认识：此例的教学仍然应当以所谓的“数感”作为主要的指导思想。我们在此所关注的显然已经不是“对于数与数量、数量关系及运算结果的直接感悟”［19］，而是如何能够发现各种编码中包含的信息。

进而，除去“学生的编号”以外，在各类观摩教学中经常可以看到的“身份证的认识”显然也具有同样的性质。但是，我们在此又应清楚地认识到这样一个事实：无论是“学生编号”还是“身份证的认识”，主要都应被看成一种生活常识，而不是真正的数学知识。［20］

当然，通过数学教学帮助学生掌握一定的生活常识也应得到肯定，但在实现这一目标的同时，我们显然又应进一步去思考：如何通过同一内容的学习让学生有更大的收获。

具体地，笔者以为，在相关内容的教学中应当明确提及的一个问题是：每个学生都有名字，要想了解学校中有多少班级以及班上有多少学生也非难事，为什么要对学生进行编号？更一般地说，这一方面的教学工作应当很好地突出两个核心问题：（1）什么是编码？生活中为什么要进行编码？（2）我们应如何进行编码？相对于引导学生刻意地去捉摸从“学生编号”中可以引出哪些信息，上述问题对提升学生的思维水平显然有更大的帮助，包括如何才能更有效、简洁地进行表征。当然，对上述问题的具体研究，不应脱离学生的实际水平。例如，就“我们应如何进行编码”这一问题而言，应满足于这样一个认识：编码既不应遗漏，也不应重复。对此，在教学中应借助更多实例作出分析和说明。

三是数学新课标附录1中的例67“一元二次方程的根与系数的关系”及其说明：［21］

知道一元二次方程的根与系数的关系，能通过系数表示方程的根，能用方程的根表示系数。

【说明】引导学生了解一元二次方程一般表达式ax2+bx+c=0（a≠0）的关键是用字母表示方程的系数，可以写出方程根的一般表达式；知道这样的表达是算术转变为代数的“分水岭”。

……

这就是韦达定理。

学生在这样的过程中，感悟符号表达对于数学发展的作用，积累用数学符号进行一般性推理的经验。

上面的“说明”有一定道理，并清楚地表明了这样一点：对同一课例可以从不同的角度进行分析，这主要取决于我们如何看待学习相关内容的作用或价值。但是，如果我们认定“一元二次的根与系数的关系”的教学主要是为了帮助学生“感悟符号表达对于数学发展的作用，积累用数学符号进行一般性推理的经验”，则显然没有很好地体现整体的视角。因为，“一元二次方程”是在初三学习的，而学生早在两年前就已接触到“符号表达”，包括依据明确的法则对字母表达式进行变形。再则，将求解公式的得出看成“算术转变为代数的‘分水岭”应当说也不是很恰当，包括在此显然又应对“分水岭”的准确含义作出清楚说明。

与此相对照，笔者以为，从整体的角度进行分析，在教学中就应特别重视将一元二次方程的学习与学生已掌握的一元一次方程联系起来，并清楚地指明这是数学发展的一个基本路径，即由简单到复杂，同时引导学生具体分析：它不仅是指由一次上升到二次，也包括由一元过渡到二（多）元，还包括由方程过渡到方程组，乃至由等式过渡到不等式。当然，强调发展的同时，也应注意分析不同方面之间的联系。例如，对已在如何求解方程（组）这一方面具备了一定知识和经验的初三学生来说，一个毋庸特别强调的事实是，相关研究应当集中于如何求解新遇到的一元二次方程，而实现这一目标的关键就在于通过适当的变化“化未知为已知”，即将二次方程转化成一次方程来求解。当然，帮助学生很好地认识求解公式的作用，特别是“算法化的思想”，也应成为相关教学的又一重点。

此外，将一元二次方程求解公式的得出与韦达定理的发现混在一起进行分析，应当说也不是一个很好的做法。因为，后者可被看成幫助学生学习“逆向思维”的一个很好契机：既然能由系数顺利地求得一元二次方程的根（如果确实存在），自然也应反过来思考是否也能由根求得一元二次方程的系数。当然，在教学中，应为学生提供从多个方面进行尝试和探索的机会，而不应将结果直接告诉学生，包括所谓的“假探究，真提示”（详可见笔者所著《小学数学概念与思维教学》一书第五章的例9）。

最后要指出的是，对上述三个实例，笔者在先前的文章中都已有所涉及；在这方面，我们更可看到不少相关的文章。这也就清楚地表明了加强学习的重要性。当然，我们不应简单地搬用各种现成的结论，而应更加重视如何以此为背景，密切联系教学实践，更深入地开展研究，包括认真地总结与反思。因为，只有这样，我们才能取得切实的进步，而不至于永远处于原地徘徊的状态，乃至不断重复过去的错误。

参考文献：

［1］［13］郑毓信.关于数学新课标的几点思考——“数学教育杂谈”之八［J］.教育研究与评论，2022（12）：412，412.

［2］［3］［4］［6］［8］［11］［12］［14］［15］［18］［19］［21］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022：5，7，11，56，181182，前言1，8688，101，105106，104，7，145146.

［5］孙晓天，邢佳立.中国义务教育：基于核心素养的数学课程目标体系——孙晓天教授

访谈录（三）［J］.教学月刊·小学版（数学），2022（3）：910.

［7］陈重穆，宋乃庆.淡化形式，注重实质——兼论《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲》［J］.数学教育学报，1993（2）：49.

［9］苏明强.《义务教育数学课程标准（2022年版）》行为动词解读及教学启示［J］.小学教学（数学版），2022（7/8）：36.

［10］俞正强.比小学数学课堂教学目标更重要的是什么［J］.人民教育，2017（10）：5558.

［16］张奠宙.张奠宙数学教育随想集［M］.上海：华东师范大学出版社，2013：3839.

［17］郑毓信.数学教学中的“找规律”风应当降降温［J］.小学教学（数学版），2014（10）：79.

［20］郑毓信.数学教学中的“问题引领”与“问题驱动”——“中国数学教学‘问题特色”系列研究（2）［J］.小学数学教师，2018（3）：48.

（郑毓信，南京大学哲学系，教授，博士生导师。享受国务院特殊津贴专家，江苏省文史研究馆馆员。从事学术研究与各类教学工作50多年，包括中学、大学、研究生教育与各类教师培训工作，多次赴英、美等国以及我国港台地区做长期学术访问或合作研究，赴意大利、荷兰、德国等国多所著名大学做专题学术讲演。出版专著30余部，在国内外学术刊物上发表论文近500篇，学术成果获省部级奖7次。在数学哲学、数学教育、科学哲学与科学教育领域有较大影响。）