圆中图形繁琐多 化繁为简是条路

摘 要：对于圆的计算题与证明题，要充分挖掘其几何性质，利用相似、旋转、割补等方法求解，这样可以将问题简化，达到快速解题的目的.

关键词：圆；直线；切线；面积；证明

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2023）35-0029-03

中考中对圆的考查大多都是以圆与直线形（线段、射线、直线、三角形、四边形、多边形称为直线形）图形组合成复杂图形为背景，以运动为载体，集代数与几何知识于一体，渗透分类讨论、转化化归、数形结合、函数与方程等数学思想.常涉及垂径定理、弦、弧，圆心角的关系、圆周角定理、切線性质与判定、切线长定理、勾股定理，相似三角形的判定和性质，特殊四边形性质以及锐角三角函数定义与特殊角的三角函数值等相关知识.

下面结合中考真题，谈谈如何在圆的计算题与证明题中分析条件、化繁为简、快速解题.

1 连半径，证垂直

例1 （2020年铜仁市中考题）如图1，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE=∠BCD.

（1）求证：CD是⊙O的切线;

（2）若AD=8，BECE=12，求CD的长.

分析 （1）如图2，此问属于“连半径，证垂直”，即连接OC，利用题设中的直角或垂直条件推导出半径与直线垂直，得出∠OCD=90°即可，抓住△CBE与△ABC这对“共边相似三角形”是关键.

（2）如图2，设BC=k，AC=2k，抓住△DCB与△DAC这对“共边相似三角形”，根据相似三角形的性质即可得到结论.

解 （1）如图2，连接OC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°.

∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，

又∠ECB+∠ABC=∠ABC+∠A=90°，∴∠A=∠ECB.

∵∠BCE=∠BCD，∴∠A=∠BCD.

∵OC=OA，∴∠A=∠ACO，∴∠ACO=∠BCD，

∴∠ACO+∠BCO=∠BCO+∠BCD=90°，

∴∠DCO=90°，∴CD是⊙O的切线.

（2）∵∠A=∠BCE，

∴tanA=BCAC=tan∠BCE=BECE=12，

设BC=k，则AC=2k.

∵∠D=∠D，∠A=∠BCD，∴△ACD～△CBD，

∴BCAC=CDAD=12，∴CD=12AD=12×8=4.

2 阴影部分面积

例2 （2020年黔西南州中考题）如图3，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=2，D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为_______.

分析 将下方的阴影部分旋转到最上方，转化为计算规则图形弓形的面积.

解法1 如图4，连接CD，作DG⊥AC于点G，DH⊥BC于点H.

∵CA=CB，∠ACB=90°，D为AB的中点，

∴CD平分∠BCA，∴DG=DH.

∵∠NDM=∠HDG=90°，

∴∠NDH=∠MDG，∴△DMG△DNH.

∵DC=1，AB=2，四边形DGCH是正方形，DH=22，

∴扇形FDE的面积是90π×12360=π4，S DMCN=S DGCH=12，

∴阴影部分的面积是π4-12.

解法2 如图4，∵∠EDF=∠CDB=90°，∴∠EDC=∠FDB=90°-∠CDF，

∴扇形EDC与扇形FDB面积相等.

∵DN=DM，DB=DC，∴△DCM△DBN，

∴阴影部分EMC与阴影部分FNB面积相等，

∴所求阴影部分面积为弓形CFB面积.

∴扇形DCB的面积是90π×12360=π4，S△BDC=12，

∴阴影部分的面积等于S弓形BFC=π4-12.

点评 求阴影部分面积常有以下方法：

①公式法：如果阴影部分是扇形、平行四边形、圆等，直接用公式计算；

②和差法：将不规则阴影部分转化为规则图形求面积的和差，有时需要作辅助线进行分割；

③等积转化法：将图形平移、轴对称、旋转等转化为公式法或和差法，注意利用平行线中的等底（同底）等高（同高）转化；

④容斥原理法：阴影部分是两个基本图形互相重叠得到的，“组合图形面积”=“两个基本图形面积之和”-“重叠图形面积”.

3 线圆相切求半径

例3 （2020年遵义市中考题）如图5，抛物线y=ax2+94x+c经过点A（-1，0）和点C（0，3）与x轴的另一交点为点B，M是直线BC上一动点，过点M作MP//y轴，交抛物线于点P.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在一点Q，使得△QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标; 若不存在，请说明理由；

（3）以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出⊙M的半径［1］.

分析 （1）把点A（-1，0）和点C（0，3）代入y=ax2+94x+c，求出a与c的值即可得出抛物线的解析式；

（2）先假设存在△QCO为等边三角形，再通过等边三角形性质进行说理；

（3）用变量表示出半径PM的长，再根据圆心M到x轴（圆心到直线距离）或y轴的距离等于PM（半径）列方程求解.

解 （1） ∵抛物线y=ax2+94x+c经过C（0，3），∴y=ax2+94x+3.

将A（-1，0）代人得a-94+3=0，解得a=-34，

∴该抛物线的解析式为y=-34x2+94x+3；

（2）如图6，取CO中点D，过点D作x轴的平行线，交抛物线于点E，N.若抛物线上存在点Q，使得△QCO是等边三角形，则直线QD必然垂直平分CO，即E或N为所求.

若△CEO为等边三角形，则ED=323>1=AO，故假设不成立.

若△CNO为等边三角形，则DN=323，

∵yN=32=-34x2+94x+3，解得x=3+172或x=3-172（舍去），

∴DN=3+172≠332，故假设不成立.

综上，抛物线上不存在点Q，使得△QCO为等边三角形.

（3）令y=0，即-34x2+94x+3=0，解得x1=-1，x2=4，∴点B（4，0）.

设过B（4，0），C（0，3）两点的直线的函数关系式为y=kx+3，则4k+3=0，解得k=-34，∴直线BC的函数关系式为y=-34x+3.

设Mm，-34m+3，则点Pm，-34m2+94m+3，

∴MP=-34m+3--34m2+94m+3=34m2-3m.

如图7，当⊙M与x轴相切时，

若点M在点P的上方，则有34m2-3m=-34m+3，解得m=-1 或m=4（舍去），

∴⊙M的半径为154.

如图8，若点M在点P的下方，则有-34m2+3m=-34m+3， 解得m=1或m=4（舍去），

∴⊙M的半径为94.

如图9，当⊙M与y轴相切时，若点P在点M的上方，则有-34m2+3m=m， 解得m=0（舍去）或m=83，

∴⊙M的半径为83.

如图10，若点P在点M的下方，则有34m2-3m=m，解得m=0（舍去）或m=163，

∴⊙M的半径为163.

综上所述， 当⊙M与坐标轴相切时，⊙M的半径为154，或94，或83，或163.

对于圆这类综合性较强的题目，多采用由因索果以及执果索因相结合的方法进行分析，以便达到条件与结论的有效沟通.同时又要善于挖掘题目中的隐含条件，将问题转化到基本图形之中，再用相关的知识与方法进行解决，这样可以达到化繁為简、快速解题的效果.

参考文献：

［1］ 沈钰斌.“线圆”相融成题，解析反思探究：以一道抛物线综合题为例［J］.数学教学通讯，2021（35）：85-86.

［责任编辑：李 璟］

收稿日期：2023-09-15

作者简介：刘琦（1995.8-），女，云南省昆明人，本科，中学二级教师，从事初中数学教学研究.