“教”“学”平衡的工程数学课程混合式教学探索与实践

艾小川，戴明强，冯 杭

(海军工程大学 基础部，武汉 430033)

工程数学是大学理工科专业的一门重要公共理论基础课程，包含线性代数、概率论与数理统计、复变函数与积分变换、数理方程等多门课程，是很多后续专业课程的基础，其地位和重要性不言而喻。目前大多数高等院校，工程数学课程采取的仍然是传统的教学方法——线下教学，然而随着信息化技术和手段的普及，各种网络教学平台应运而生，线上线下混合式教学模式正在逐步走向各大高校、各类课程，成为一种极具生命力和发展潜力的教学模式。

一 工程数学课程混合式教学的必要性

（一）教育教学改革的趋势要求

国务院办公厅发布的《关于深化高等学校创新创业教育改革的实施意见》和教育部发布的《关于中央部门所属高校深化教育教学改革的指导意见》都强调“深入推进高校创新创业教育改革。坚持把深入推进创新创业教育改革作为中央高校教育教学改革的突破口和重中之重。”因此，必须开展课程教学改革实践、改革教学方式方法。开展线上线下混合式教学，能够充分发挥线上线下的各自优势，更好地适应时代发展要求。

（二）创新人才培养的现实需要

随着时代的发展，国家对创新人才提出了更高的培养要求，各高校也依据创新人才的培养要求更新课程教学计划。学习工程数学不仅要培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、实际应用能力，还可以为其他专业课程的学习提供数学基础、数学工具和数学方法[1]。工程数学课程具有概念繁多、内容抽象、逻辑性强等特点，这些都是学生觉得工程数学难学的主要因素。目前大多高校工程数学教学的主要目标是对思维能力和探索精神的培养，采用的是传统的线下教学模式，该模式在整个“教”与“学”的过程中，特别是课堂授课中，强调教师的主导作用——“教”，讲授完成教学大纲、教学计划和教学目标指定的内容，利用各种方法和手段指导学生完成学习任务、学习要求，理解、掌握、消化和吸收教师所讲授的内容，不自觉地按照教师给出的思维方式进行思考。在传统的线下教学模式中，教师充当了各个教学环节的主体，是知识的传授者，而学生则已习惯于被动地接受教师讲授与灌输知识这一方式。这种教学模式极大地忽视了学生“学”的主体作用，未能充分发挥学生的主观能动性，未能激发学生学习的积极性和创造性，不利于培养学生的创新思维、创新精神和创新能力，因此，有必要进行教学模式的改革与实践。

（三）特殊时期正常开展教学的急迫需求

疫情期间，很多高校都在未有充分准备的情况下开展了线上教学，就海军工程大学(以下简称“我校”)工程数学课程来讲，可以说是混合式教学的一次初步实践。而这次实践是在教学资源比较缺乏、教学手段不全、教学工具不足的情况下一次仓促的“应战”。整个教学过程中，课程组人员一直在摸索前进，积极利用现有资源和平台，充分调动学生的自主学习积极性。但在实践过程中，也存在“点”和“面”无法兼顾、“教”与“学”不相匹配、“教学工具”和“教学手段”不相适应等突出的矛盾和问题。也就是学生水平不一，如何照顾全面和鼓励拔尖的问题；学习自律性、主动性不强，讨论互动不够热烈等问题；教学资源丰富和获取手段不顺畅的问题，这些问题，有的是一直存在的，有的是经过这次在线教学凸显出来的，这些都需要通过后续的教学改革实践，逐步完善和解决。

二 “教”“学”平衡的混合式教学构思

（一）BOPPPS 教学结构和“对分课堂”理念

长久以来，广大一线教师和教育研究者一直致力于在“教”和“学”两个方面，双管齐下，相互平衡。路漫漫其修远兮，经过漫长的探索，各式各样的教学模型、教学方法被总结和创造出来。BOPPPS 教学结构的出现和“对分课堂”理念的引入，成为了目前解决这一问题的一种比较有效的方法和手段。

BOPPPS 模型[2]是一种有效的教学结构，它将课堂教学分成了六个阶段，即导言、教学目标、前期测试、参与式学习、后期测试以及总结，对应的英文词语为Bridge in，Objective，Pre-assessment，Participatory Learning，Post-assessment and Summary，它们的首字母合起来即为“BOPPPS”。

“对分课堂”[3]是为了突破灌输色彩浓厚的传统讲授法而专门提出的，指的是将原本全部由教师讲授的课堂时间分成两部分，一部分继续留给教师进行讲授，发挥教师“教”的作用，而另一部分则留给学生进行讨论，激发学生“学”的动力，在教师讲授和学生讨论之间引入一个心理学的内化环节，让学生对讲授的内容进行理解、领悟和吸收之后，再参与课堂讨论，通过对讲授与讨论的有机整合，实现了“教”与“学”的相辅相成、对立统一。从“教”的角度上看，BOPPPS 模型是一种能促进学生积极参与课堂学习的有效教学模式。所谓有效教学就是遵循教学活动的客观规律，投入尽量少的时间、精力和物力，取得尽可能多的教学效果。简单说，就是一种多快好省的，低投入多产出的教学结构。教师使用BOPPPS 模型，可以大幅度提高课堂教学的有效性。

而“对分课堂”则从“学”的方面入手，以新的方式定义了课堂“教”与“学”，更加突出教学中学生的主体地位，通过精讲与多练、分组与合作、演讲与汇报、任务驱动和案例教学、自主课堂与翻转课堂、基于问题的学习(PBL)和挑战性学习等多种教学法的优势与特点，构建了一种全新的教学模式。

（二）“雨课堂”教学平台

上述课堂组织模式，都要基于学生在线上获取大量的学习资源，自主地完成学习，而目前提的比较多的“雨课堂”[4]，教师通过创建自己的虚拟课堂，可以随时将各类学习资源(课件、视频、测试题和MOOC 等)推送至学生手机，方便学生在线学习。具有课前学习灵活、课上测验快捷、师生互动新颖、作业题型完善和数据驱动全面等优势，极大地提高了学生的参与度，构建了优良的学习环境。“雨课堂”在实现线上互动、资源获取方面有巨大的优势。但是各高校的情况并不相同，比如我校目前尚不具备随时互动的基础条件，但是仍然可以利用其部分功能，让学生通过“雨课堂”获取丰富的教学资源。

（三）工程数学混合式教学模式的构建

通过“雨课堂”让学生获取线上教学资源，结合BOPPPS 模式和“对分课堂”的优点，探索和开展工程数学混合式教学模式的创新实践[5-6]，既能解决教师讲授过程中的“有效教学结构”问题，又能激发学生在参与式学习环节的学习兴趣，提高学生的参与程度，使学生的学习由单一的“被动接受知识”的过程变为“被动接受知识”+“主动答疑解惑”的过程。努力改变以教师为中心的教学模式，打造以学生为中心的教育，较好地激发学生的学习积极性，增强学生的学习自主性，提升学习效率和教学质量，逐步实现“教”和“学”两个方面相互平衡。

三 工程数学课程混合式教学实践

（一）前期准备

“教”“学”平衡的教学模式对我校教师和学生来讲是一个新鲜事物，因此在开展教学实践之前，我们做了多方面的准备工作。

1 重新进行教学设计，优化教学过程

新的教学模式需要新的与之相适应的教学设计和教学流程。BOPPPS 教学结构在组织课堂教学时，首先要突出本次课的学习目标，教学内容导入、学习情况前测、学员的参与式互动教学、学习情况后测以及教学内容总结五个部分都必须紧紧围绕学习目标达成这一核心进行，因此教师每次备课都必须针对学情和学习目标开展有效的、针对性强的教学方案设计。

在BOPPPS 教学结构中，将学习目标分成了三个维度：认知目标、技能目标与情感目标。知识目标主要体现在知识性层面上，技能目标则关注技能上的获得，而情感目标强调情感体验。同时对每个维度的学习目标又进一步细分，划分成了多个层次，并针对每个层次的目标列出了用于描述目标的参考词条。例如，在数理方程的教学中，对于“用分离变量法求解波动方程、扩散方程、拉普拉斯方程等三类典型方程”这一知识点，教学计划中的描述是“熟练掌握分离变量法及解三类典型方程的步骤”，实际上“熟练掌握”并不好衡量，不可测，在BOPPPS 模式下，在教学设计过程中，一定要深入分析每次课的学习目标[7]，并用具体、明确、可测的词语表述出来，使学生能够快速抓住学习目标。

因此我们将原有的教学目标细分为如下三个目标：第一，能够按照分离变量法的四个步骤(分离变量、固有值问题、常微分方程、叠加确定系数)正确推导一维波动方程的求解过程；第二，对于不同边界条件的固有值问题，计算并分析出相应的固有值和固有函数；第三，运用分离变量法和典型固有值问题的结论推导一维热传导及圆域内二维拉普拉斯方程的定解问题。这三个目标属于技能类目标中的三个层面，用于描述目标的动词为推导、分析与运用。

2 梳理课程教学内容，搭建教学内容框架

在对分课堂这种教学模式下，由于课堂的时间要分一部分给学生进行讨论和汇报，此时就不能再按照过去由教师单纯讲授时的内容安排进行授课，不然课堂时间就不能完成既定的教学任务。因此，在该模式下，授课内容怎么讲授是一个值得探讨和研究的问题，一般来说，教师应重点讲授教学内容的框架结构、重点与难点，要能做到“精讲留白”“限时导学”，要挑选出适合开展此种模式的教学内容和章节。将工程数学课程内容重新进行梳理和适当调整，依据教学内容的体系性、连续性和逻辑性等划分成不同的模块，每个模块由一些小的知识点组成，便于学生进行自主学习。模块之间具有关联性或者相对独立，将各模块连接起来就可以构成完整的系统。由于需要把一半的课堂时间分配给学生以讨论(分组讨论、组间讨论、汇报展示)的形式进行交互学习，因此内容不宜过难，要让学生能够通过课后的自学基本理解，也不宜过于简单，不能因为内容过于简单而让学生失去挑战学习任务的兴趣和成就感。

3 充分利用“雨课堂”平台及网络资源

根据我校网络资源的特点以及学生手机使用管理的规定，不具备全面开展“雨课堂”的教学环境，“雨课堂”作为一种教学辅助手段，我们将“雨课堂”作为教学资源获取的平台，根据教学知识点的需求去收集、制作了工程数学的多种教学电子资源，将经过整合和优化后的资源发布在“雨课堂”平台上，推送至学生手机，供学生方便灵活的学习。教学资源的形式丰富多样，包括教学课件、教学视频、微课、MOOC、练习题、测试题和程序演示等。教学视频既可以由本课程的主讲教师亲自录制，也可以使用网络上共享的优质资源。收集历届学生的优秀作业，置于教学平台中对学生进行展览，发挥引领、示范和促进的作用。

这种多种方式相结合的“教”“学”平衡混合式课堂，既为教师提供了一个涵盖课堂教学各个环节的完整框架和理论支撑，同时又可以在参与式学习环节充分发挥学生学习的主动性，提高学生的课堂学习效率，使课堂学习进入良性循环状态。

（二）教学实践

1 课前预习环节

教师按照课程教学计划在课前将教学内容相关的资源推送至雨课堂，主要包括教学目标、内容结构图、教学重点与难点、教学课件、教学视频、微课与MOOC 和预习作业等，并布置作业与思考题。学生按照指导与要求自主学习，完成预留的作业，有余力则可尝试解决思考题。在课前预习的过程中，教师和学生可以通过雨课堂或者其他方式进行沟通与互动，一方面可以帮助学生及时解决遇到的问题，另一方面可以帮助教师掌握学生对各知识点的学习情况，以便于教师上课能够把握讲解的重点，控制好节奏，实现高效课堂。

2 课堂讲授环节

在课前预习的基础之上，课堂上，教师主要讲解内容体系结构、基本概念、重点与难点，做好“课堂留白”，发挥教师的引导作用。通过讲授教学内容框架，让学生对授课内容从总体上有个把握，尽快理清教学内容的脉络；通过讲授基本概念，让学生打牢基础，明确基础内容；通过讲授重、难点，让学生知道重点要掌握什么，应该在什么地方多下功夫。课堂所讲授内容的取舍，讲什么内容，留什么内容让学生课后自己去思考、理解、消化、内化，这些都不是一成不变的，需要在教学实践中根据学生的反馈不断地调整、修改和优化，是一个长期摸索和积累的过程。此外，课堂上还可设置测试环节，以了解学生对知识的理解和领悟程度。

3 内化吸收环节

在课堂讲授之后，学生需要一定的时间进行消化与吸收[8]，这是一个很重要的学习环节，是知识内化的过程。根据教师推送的学习资源，学生需要进一步思考课堂上讲授的知识，特别是对“留白”的部分，要将相关知识点展开、细化、理顺并深入思索，完成消化、吸收与巩固的过程，还需按照教师的要求修改前期作业，完成新布置的作业。

4 课堂讨论环节

经过内化吸收，学生对教学内容有了深入理解。在讨论课上，学生需要带上已完成的作业，进行小组讨论和学习汇报，教师倾听各小组的讨论并适当引导。在讨论的过程中，学生通过听取与交换他人的观点、理解与汇报，会对自己独立思考所获得的理解有进一步的认知，会对原有的不全面、有偏差的理解和认识做修改和完善。在不同观点的碰撞中，学生增强了思辨能力，提升了创新思维能力。与以往讨论式课堂不同的是，“对分课堂”的讨论环节是安排在教师课堂讲授环节及学生内化吸收环节这两个过程之后，因此学生的讨论效率更高，针对性则更强。

5 课后反思环节

在课堂讨论之后，学生需要对讨论课的结果做进一步思考，这是教学全过程中一个非常重要的环节。学生修改完成作业，写出心得体会，自己设计练习题、给出参考答案和评分标准，这些供教师评分反馈。课后反思是对已学知识的重新整合与再认识，从而对知识体系与结构有更深刻的领悟与理解。

6 增加“挑战性”内容环节

以上的模式，可调动学生自主学习的积极性，但每个学生学习能力不一致，有的对学习有更高的要求，对这部分学生，可适当增加“挑战性”内容，可以通过“案例式”学习，结合工程数学在实际生活中、在军事上的应用，让他们自己挖掘知识点、内容体系等，以获得更大的能力提升。

（三）总结评价

针对课堂教学模式的转变，需要开展一套新的课程评价模式，优化过程性考核成绩的评定。课程组已经对本课程最终成绩的评定做出了调整和改革，在原来的两部分(平时成绩+期末成绩)构成的基础上加入了过程性考核成绩，即学生最后的成绩由平时成绩、过程性考核成绩以及期末考试成绩这三部分按一定比例计算得到。除了章节测试成绩外，加入雨课堂学习全数据、课堂小组讨论表现、个性化作业展示、网络或课堂交流和个人讲解汇报等内容，以汇报的条理性、准确性和活跃度等作为评估准则，则可以对学生做出一个尽可能客观、正确的评价。

四 结束语

“教学平衡”是教学过程中一个非常重要的要求，“教”的时间要合理，不再是教师从头到尾的讲，学生应该是教学的主体，学生应该有更多的展示自我、表达自我的机会；“教”的内容要适度，不是“填鸭式”“满堂灌”的模式，要主次分明，难易清晰；学生要能在分组模式、汇报模式中充分地“学”。“教”的方法要得当，要有先进的教学理念和教学方法的指引，加上信息化技术和手段的支持。可以说，“教”和“学”达不到平衡的教学过程，则不是一个成功的教学过程，只有成功激发出学生学习的内在动力和积极性，并敢于展示自我、勇于表现自己的教学模式才是成功的。

为弥补传统工程数学教学模式的不足，从教学实际出发，以建构主义为理论依据，根据“雨课堂”、BOPPPS和“对分课堂”的特点，在使用“雨课堂”作为学生资源获取平台的基础上，提出了基于BOPPPS 和“对分课堂”的混合教学模式，并在教学实践中进行调整、修改和优化。在形式上，为学生创设利于学习的课内外学习环境。在方法上，注重发挥教师的引导作用和学生的主体作用，通过自主学习和讨论交流完成学习目标，达到“教”与“学”的平衡。这种方式，注重学生思辨能力的培养，在一定程度上弥补了工程数学线下传统教学模式的不足，为今后工程数学教学实践提供新的方向和思路。