理解概念本质 重构知识认知*——从“圆周角”不同教学设计谈几何定理教学

无锡市东绛实验学校

薛 莺

《义务教育数学课程标准(2022版)》指出：“在教学中，应当引导学生在学好几何概念、定理的基础上掌握图形规律，并着重培养学生的用图能力.”由此可见，几何定理不仅是获取图形信息的工具，而且是彰显数学思想方法的重要载体，更是培养学生思维能力的良好素材．因此，几何定理的教学是初中数学教学中的一个重要课型．基于此，无锡市陈锋数学名师工作室对苏科版九年级上册“圆周角”一课展开了同堂异构活动，两位成员对几何定理的教学进行了一次有益的尝试和深入的研讨．

1 “圆周角”教学内容的说明

苏科版教材中本节课的教学内容包括了圆周角的概念、圆周角的性质定理及其推论．对于初三学生来说，圆周角的概念直观且易于理解，故本节课的重点放在圆周角的性质定理及其推论的探究和证明上．因此，本节课重点是几何定理的教学；而性质定理中对圆周角的分类是学生的难点．

2 “圆周角”同堂异构的设计展示

2.1 第一位教师的教学设计

(1)情境创设，引出概念(略)

(2)动手操作，探索定理

①操作并探索：

(ⅰ)画60°的圆心角∠BOC；

(ⅱ)作出弧BC所对的圆周角∠BAC．

②观察并思考：

(ⅰ)弧BC所对的圆周角∠BAC唯一吗？

(ⅱ)这样的圆周角∠BAC可以作多少个？

(ⅲ)这些圆周角有什么共同的特点？

(ⅳ)这些圆周角和它所对的圆心角有怎样的关系？

③演示并归纳：

(ⅰ)教师利用几何画板对学生的观察结果分三种情况(圆心O在∠BAC的一边上、圆心O在∠BAC的内部、圆心O在∠BAC的外部)进行验证．

(ⅱ)归纳：同弧所对的圆周角有无数个且都相等，都等于它所对弧上的圆心角度数的一半．

设计意图：先让学生亲自动手画图、观察思考、实验探究、发现结论，教师再利用几何画板从动态的角度进行演示、验证，目的是引导学生用运动变化的观点来研究问题，初步体会两种数量关系：①同弧所对的圆周角和圆心角的关系；②同弧所对的圆周角的关系．

(3)训练提高，拓展能力(略)

(4)交流体会，课堂总结

①学生归纳：谈课堂学习收获和体会．

②教师总结：本课知识点的梳理和探究过程中用到的数学思想方法归纳．

设计意图：通过课堂总结帮助学生归纳、梳理本节的知识、技能、方法,培养学生的归纳、概括能力，使学生养成良好的学习习惯．

2.2 第二位教师的教学设计

(1)建构圆周角概念

①复习圆心角概念：展示图片，回顾圆心角概念．

②迁移圆周角概念：移动圆心角顶点的位置至与⊙O相交，概括圆周角概念．

(2)探究圆周角定理

活动1:操作.

①看——观察圆周角图片．

②画——在⊙O中画出劣弧BC所对的圆心角和圆周角∠BAC．

③量——让学生使用量角器测量圆周角、圆心角的度数．

活动2:猜想.猜想劣弧BC所对的圆心角和圆周角的关系.

活动3:验证.引导学生根据下列问题分类画图，再通过证明验证猜想．

①在平面内，可以画出几种圆心角与圆周角的位置关系，请尝试．

②在圆中任意确定一条弧，作出这条弧所对的圆心角和三个不同位置的圆周角.

③你能证明这三种情况下猜想都成立吗?

活动4:总结.圆周角定理——一条弧所对的圆周角等于它所对弧上的圆心角度数的一半；同弧或等弧所对的圆周角相等．

活动5:拓展延伸.将圆心角的顶点继续移动，移到⊙O内或⊙O外，让学生观察并度量，有学生会进一步发现角的度数和顶点的位置有关，让学生思考，并作出一般化的猜想．

设计意图：引导学生经历操作观察、动手度量、归纳猜想等基本数学活动，探索圆周角的性质，感知基本几何事实；再通过细致的分析、完整的分类讨论进行验证，培养学生思维的深刻性和严密性．把直观操作与逻辑推理有机结合，使将要进行的推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的延续．

(3)运用圆周角定理(略)

(4)反思圆周角的学习

反思①：你是怎样发现圆周角的?它与圆心的位置关系又是怎样发现的?对此有何启发?

设计意图：引导学生用运动变化的观点来研究图形之间的位置关系．

反思②：证明圆周角定理时,为何会想到圆心角?对此有何联想?

设计意图：启发学生善于联想,注意化归思想的应用．

反思③：圆周角定理的证明过程是怎样的?对此有何启发?

设计意图：强化特殊到一般的化归思想及分类思想．

反思④：师生共同从知识、方法、数学思想等方面小结本节课所学内容．

设计意图：“回头看”和“回头想”，使课堂教学前后呼应，让学生真正体会到数学无处不在．

3 对几何定理教学的维度思考

3.1 维度一：联系与拓展结合，理解定理本质

几何定理教学，不仅是几何图形显性表征的探究和几何图形特征的理解，也是几何定理的运用和拓展，或是几何定理的发展和演变的教学．这样可以将几何定理的显性特征和隐形本质更好地凸显出来[1]．本节课中第一位教师是通过让学生自己画出同一条弧所对的圆周角(圆周角定理的基本模型)，再通过问题串引领学生利用几何直观，观察概括这些模型的共同特点，从中抽象概括出这一几何(圆周角)定理的本质；第二位教师的设计很巧妙，通过角的顶点位置的移动完成了一系列探究过程，更突出了几何定理的联系与拓展，不仅为学生提供了直观的感性模型，帮助学生从实例中去理解抽象的圆周角定理的本质，而且从变化的角度对圆周角定理进行了有益的拓展和延伸，引导学生去发现和揭示其中蕴涵的数学原理，这样的设计就更胜一筹．从定理拓展的角度来看，第二位教师甚至可以提出：在优弧BC上再取一些点，将该点与B，C连接，然后进行观察、猜想和验证，学生的思维由此拓展开来，更容易理解圆周角性质定理的本质．因此，在几何定理探索过程中，教师应该多关注以下两个方面：①几何定理的基本性，即构成该几何定理的基本元素和基本特征之间的联系；②几何定理的拓展性，即该定理在整个几何体系中处在前后有发展、辐射、贯穿效能的节点.结合这两个方面给出一些几何定理的例证、变式和拓展等探索实践活动，这样，不仅能为学生搭建一个感性认识的平台，而且还可引发学生对几何定理的一些本质属性和内涵规律更深层次的思考．

3.2 维度二：直观与思考结合，深化定理内涵

数学家克莱因曾说：“数学的直观就是对概念、定理、证明的直接把握.”直观即借助经验、观察、联想，对事物关系产生的直接感知；而几何直观是借助见到或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知，即通过直观能建立起对自身体验和外物体验的对应关系.从这个意义上说，几何直观可以帮助学生直观地理解几何定理．仅靠几何直观，确实可以让学生对几何定理有一个感性的认知，但是要进一步地深化几何定理的内涵，真正让学生建立几何定理的感知、理解、掌握、体悟和观念，还必须辅以理性的思考，让学生对几何定理的认识，真正实现从感性认识到理性认知的升华[2]．本节课对圆周角定理的探究中，第一位教师先通过动手画指定弧所对的圆周角，再通过图形直观得到圆周角的特点，最后用几何画板验证，这一设计不仅带着明显让学生易于得到圆周角定理而设计的痕迹，而且看似严谨的认知过程还只是停留在直观的感性认识层面，没能促成学生对圆周角定理深层次的思考．因此，这一设计，从理性思维的角度来看是有所欠缺的．第二位教师的设计则是先通过操作(画和量)、猜想，再利用分类画图，最后利用完整的推理证明验证了猜想．这一系列手脑并用的过程，不仅让学生的几何直观能力有了一定的提升，而且让学生的理性思维得到了加强，让学生的逻辑思维更为严密，从而帮助学生实现对几何定理从形象思维认知向抽象逻辑思维认知的跨越．

3.3 维度三：思想与方法结合，拓展定理外延

数学学科的特点决定了数学教学要重视数学思想方法的渗透，通过数学思想方法引导学生如何去思考，从而培养学生的思维能力．对几何图形思想方法的理解有利于学生在几何教学中对几何对象的学习产生积极的正迁移.如在本节课学习前，学生已经积累了研究角、三角形、圆、弧、弦、圆心角等几何图形的经验，理解了构成这些几何图形的基本元素，掌握了研究几何图形的基本问题、基本思路和基本方法.因此，本节课的教学中，教师要充分将学生已有的学习几何图形的思想和方法贯穿本节课的教学，并引导学生进一步强化这些思想方法．如在这节课的设计中，两位教师都是从图形的位置关系探索图形的数量关系，是数形结合思想的应用，运用了实验和验证相结合的方式，即让学生通过作图、观察、测量、猜想，再利用几何画板验证或逻辑推理进行证明．又如在探究和推导圆周角定理时，第一位教师利用几何画板的动画演示功能，设计了圆周角的顶点在圆周上运动的动画，直观地展示了圆心与圆周角的三种位置关系，为圆周角定理的证明创设了条件，较好地体现了分类讨论的数学思想．第二位教师则是引导学生从圆心在圆周角一边上这种最简单、最特殊情况出发，再通过体会一般情况，为后续两种情况下的证明提供了思路，体现了从特殊到一般的思想，同时也渗透了转化、分类、化归等数学思想．再如，在课堂总结时，两位教师都通过学生反思、交流、归纳等方式，让学生体会几何定理中蕴含的思想方法，进而提高学生的数学素养．

4 对几何定理教学的几点建议

4.1 注重学生的自主探究活动

一些教师认为教学时间紧，训练任务重，因而选择一种快餐式的几何定理教学，简单说明定理的来由，然后让学生记住几何定理的结论，不花时间让学生去经历几何定理形成的探索过程．而《义务教育数学课程标准(2011版)》提出:“数学学习内容应该是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、试验、猜想、验证、推理与交流等数学活动.”但对于学生而言，事非经过终觉浅，动手操作和自主探究对他们理解几何概念、运用几何定理都具有积极的意义．本节课的教学重点就是圆周角定理的探究过程．因此，在几何定理的教学中，教师要引导学生采用动手实践、自主探究方法进行学习，使学生在观察、实践、问题转化等数学活动中体验探索的快乐，从而使知识和能力得到内化，体现几何能力的提升．

4.2 注重学生的逻辑推理能力

在研究几何图形的过程中，虽然大多数几何定理和结论是通过几何直观“看”出来的，而不是“求证”出来的，但不能止步于此，在几何教学中，课标对学生逻辑推理能力的培养是有要求的．几何教学要求培养学生“言之有据”的推理习惯，要求学生具有一定的书写证明格式的能力，要求从具体的几何定理证明中掌握推理论证的一般步骤、常规方法和常用技巧．因此在实际教学中，教师要结合教学内容，提供相关推理论证的训练机会，切实提高学生的逻辑推理能力．如，本节课中对圆周角定理猜想的验证，不仅需要借助量角器的度量和几何画板的动画演示验证，更需要理性、严谨的推理论证．通过细致的分析和完整的证明，可以进一步培养学生推理论证的能力，培养学生严谨求实的学习态度，有利于学生的健康成长．

4.3 注重多媒体技术的恰当运用

多媒体技术的恰当运用，能为学生学习几何定理提供丰富多彩的教学情境和强大的学习平台．在几何教学中，运用多媒体技术可以灵活地制作图形，动态地展示图形和方便地测量图形，这样有利于学生在图形的运动变化过程中去发现图形中特殊的位置关系和不变的数量关系，从而有利于学生发现图形的本质属性，这样可以使得许多传统几何教学做不到或做不好的事件变得更容易[3]．如本节课中，教师利用几何画板的测量功能测出同弧所对的圆周角和圆心角的大小，通过观察变化过程中角的大小变化，去发现圆心角和圆周角的数量关系，这样就比学生用量角器的度量来得更精确，更有说服力，这正是多媒体技术的优势所在.但是多媒体技术只是一种辅助手段，有时过度使用多媒体技术反而限制了学生的思考方向，对学生思维能力的培养不利．