基于Timoshenko梁理论的枪口振动灵敏度分析及优化

伍代强，徐 诚，杨宇召

(南京理工大学 机械工程学院， 南京 210094)

1 引言

射击精度是枪械研制的重要指标，改善枪管振动特性，减小枪口振动一直是设计人员所关心的问题。枪械的固有频率、射击时枪口的振动是影响枪械射击精度的重要因素，通过计算各参数的灵敏度值，就可以针对性地对影响较大的参数进行优化，从而减小射击时枪口对弹丸的扰动，提升射击精度。

方宇等[1]基于Euler-Bernoulli梁理论，建立了一般性的移动质量-悬臂梁耦合振动模型。龚云轩等[2]基于Timoshenko梁理论建立了阶梯梁振动微分方程。刘宁等[3]将弹炮发射系统简化为移动质量下的轴向运动悬臂梁系统，并对其进行了求解。史跃东等[4]针对移动质量载荷激励下的身管振动问题，建立了弹丸膛内运动下的身管横向振动方程。过去的研究文献中大多将弹炮系统简化为移动质量作用下的梁模型，弹枪系统类似于弹炮系统，利用梁理论简化弹枪发射系统，建立弹枪耦合振动模型是可行的，但是将弹丸简单地简化为移动质量，不能很好地模拟真实弹丸与身管的相互作用，本文在以往研究基础上将弹丸随膛线的旋转、弹丸偏心质量以及弹丸挤进过程等对身管振动的影响考虑进去，可以更好地模拟真实发射过程中枪管的振动。

目前文献中针对火炮系统结构参数灵敏度的研究相对比较成熟，但是很少有对弹枪发射系统参数进行定量分析的研究。曹岩枫等[5]进行了某自行火炮总体结构参数对火炮射角的灵敏度分析研究。徐志远等[6]对火炮系统的总体结构参数优化进行了研究，选取了8个对炮口扰动贡献较大的参数，并用小生境遗传算法进行优化。郭锡福[7]进行了身管结构参数对弹丸在炮口初速的灵敏度分析研究。刘恒沙等[8]建立了某车载火炮发射过程中参数化动力学模型，通过灵敏度分析得到28个参数的灵敏度。景银萍等[9]从弹药和武器的角度，分析影响轻武器射击精度的诸主要因素，并针对诸主要因素提出相应的改进建议，为提高武器系统精度研究提供了参考。借鉴诸多学者大量的研究，对弹枪发射过程进行参数识别以及关键参数的选取，进行灵敏度分析并对目标函数进行优化研究，可以实现对枪械射击过程中枪口振动的优化。

本文基于Timoshenko梁理论建立发射过程中枪管振动模型，计算枪管的固有频率以及枪管振动响应，并进行参数灵敏度分析，找出对枪械动力学特性影响较大的参数，然后利用逐层优化方法[10]进行优化研究。

2 基于Timoshenko梁理论的枪管振动模型建立

枪管长度较短、壁厚较薄、受剪力影响较大，本文采用Timoshenko梁理论建立枪管振动模型，可以更好地考虑到枪管射击过程中的弯剪振动，较于欧拉梁的计算结果更准确。由于枪管并不是等截面的圆管，为了使计算结果更加准确，采用连续传递矩阵法[11]将枪管简化为多段阶梯梁[12]，分段越多计算结果越准确。然后考虑弹丸惯性作用、弹丸自重、弹丸质量偏心以及弹丸挤进过程对身管的作用，建立受迫振动方程，利用Newmark-法[13-14]计算可得到枪管的振动响应。

2.1 枪管模型

对枪管模型作如下假设：① 枪管关于其中心轴线对称，发射过程弹丸与枪管不发生碰撞；② 枪管所受的各种载荷均作用在身管中心轴的纵向平面内；③ 弹体运动规律受制于内弹道方程和弹体转速方程。弹丸与线膛身管作用原理图如图1所示。

图1 弹丸与线膛身管作用原理图

由连续体振动理论，可以得到基于Timoshenko梁的自由振动方程为：

(1)

式(1)中：ρ为枪管的密度；A为横截面积；G为剪切弹性模量；k为考虑截面上剪切应变分布不均的修正系数；E为弹性模量；I为微元截面惯性矩；y为梁的横向位移；φ为枪管弯曲引起的截面转角。

设y(x,t)=y(x)sinωt，φ(x,t)=φ(x)sinωt，y(x)=C(expSx)，φ(x)=C(expSx)，其中ω是枪管的自由振动圆频率。将y(x,t),φ(x,t)代入到式(1)中，解得：

(2)

式(2)中的系数为：

(3)

(4)

(5)

(6)

D1=-αB1；D2=αB2；D3=βB3；D4=βB4

(7)

(8)

(9)

由材料力学知识可知，弯曲与剪切和变形之间的关系为：

(10)

(11)

将式(2)代入式(10)、式(11)中，然后代入左端边界条件，有：

(12)

即可得到B1—B4的表达式为：

(13)

令右端的边界为：

(14)

联立首尾两端的边界条件，可以得到基于Timoshenko梁的枪管横向振动传递矩阵为：

(15)

将单个枪管段的传递矩阵连乘，即可得到多段枪管的传递矩阵为：

(16)

代入边界条件即可求得枪管的固有频率以及振型函数。

2.2 枪管振动响应计算

考虑到弹丸在枪管内运动时，弹丸质量、弹丸旋转时偏心质量造成的扰动，以及弹丸与膛线之间的挤进压力[15]，弹丸作用在枪管上的载荷为：

(17)

式(17)中：my为弹丸的质量；e为弹丸质量偏心距；f为弹丸挤进过程中，由于挤进时弹丸轴线与枪管轴线存在一定夹角，导致弹丸在线膛内对枪管的横向作用力，f的方向垂直于枪管轴线；ωd为弹丸角速度；v为弹丸的瞬时速度；s(t)为弹丸在截面轴向运动时的位移；δ(x-s(t))为狄拉克函数。

应用模态叠加法求解Timoshenko梁的振动方程，取枪管第i阶固有频率，对应的模态函数为yi和φi,将枪管的扰度y(x,t)和转角φ(x,t)在模态空间中展开，有：

(18)

将式(18)代入式(17)，利用模态正交性，对整个枪管进行积分，可得：

(19)

式(19)中：M为质量矩阵；C为阻尼矩阵；K为刚度矩阵；P为载荷向量。各系数矩阵表达式为：

(20)

式(20)中，Y(s)为弹丸位移为s时所处枪管段的振型函数。

对于这种时变系数微分方程组，采用直接积分方法如Newmark-β法，可求解得到Timoshenko梁模型下的广义坐标q(t),从而可得到枪管任意截面随时间变化的扰度、转角、速度、角速度等信息。

以某5.8 mm步枪为研究对象，建立了有限元模型，对身管进行模态分析，为验证本文模型固有频率计算的正确性，设置与上述对象相同的参数，输出前4阶固有频率值，与有限元模型计算值(FEM)进行对比，如表1所示，对比结果相对误差在5%以内，说明了本文模型固有频率计算方法的正确性和可行性。

表1 前4阶模态计算结果Table 1 Calculation results of the first 4 modes

根据某5.8 mm口径步枪枪管参数以及弹丸参数建立枪管和弹丸模型，提取计算所需参数以及内弹道数据(弹丸在膛内运动的位移/时间数据、速度/时间数据、加速度/时间数据、角速度/时间数据)，代入发射过程中枪管振动模型中进行计算，弹丸在膛内运动计算流程如图2所示。

图2 计算流程图

输出枪口垂直方向振动响应，如图3所示，弹丸出膛瞬间枪口位移为0.077 5 mm，文献[16]基于3D-DIC数据采集系统得到了内弹道时期枪管的动态响应，实验采集到的弹丸出膛瞬间枪口位移为0.08 mm，本文结果与之相差3.125%，由此验证了本文建立的发射过程中枪管振动模型的正确性和有效性。

图3 枪口垂直方向振动响应

3 灵敏度计算及分析

灵敏度分析是一种度量和评价由设计变量或参数变化而引起的结构响应特性变化率的方法。枪管在射击过程中振动响应受到的影响因素十分复杂，通过对众多的设计参数进行分析研究，利用灵敏度分析方法对枪管以及弹丸的部分参数进行分析，根据参数对目标函数的影响情况，可以确定对射击稳定性影响较大的设计参数，从而可以进一步对枪/弹的结构参数进行优化设计。

以枪管固有频率以及枪口振动位移为分析对象，用目标对象f(x)的一阶均差大小来反映其灵敏度大小。对y=f(x)在区间[xi,xj]，函数f(x)在[xi,xj]的一阶均差为：

(21)

选取枪管横截面积、枪管材料密度、枪管弹性模量、坡膛锥角、弹丸质量、弹丸质量偏心、膛线缠角以及膛线深度的不同数值进行灵敏度分析，同时在求解时对参数进行无量纲化处理，各参数分别用P1,P2，…，P8表示各参数的初值及改变值如表2所示。

分别以基阶固有频率(ω1)、枪口垂直方向-位移(Y)、枪口垂直方向速度(V)为目标函数进行灵敏度分析，灵敏度结果如表3所示。

由表3可知，枪管横截面积、弹性模量以及密度对枪管基阶固有频率的影响均较为显著，在设计时应尽量提高枪管的固有频率，避免发生共振影响射击稳定性，故对基阶固有频率的敏感度分析有一定的借鉴作用。弹丸结构参数虽然对枪口扰动有一定影响，但是枪管结构和材料参数对枪口扰动的影响远大于弹丸结构参数的影响，因此在设计时应着重考虑对枪管结构以及材料性能的优化，同时弹丸结构的优化也不可忽视。对枪管振动影响程度依次为枪管横截面积、枪管密度、枪管弹性模量、膛线深度、膛线缠角、弹丸质量、坡膛锥角和弹丸质量偏心。

表3 灵敏度计算结果Table 3 Calculation results of sensitivity

4 枪管振动优化研究

通过枪管以及弹丸参数对枪管振动的灵敏度分析，选取有重要影响的参数：① 枪管横截面积；② 枪管密度；③ 枪管弹性模量；④ 膛线深度；⑤ 膛线缠角；⑥ 弹丸质量。提高射击稳定性主要对以上6个参数进行优化。以枪口竖直方向最大位移为目标函数，采用子空间逐层优化的方法进行优化研究。

子空间逐层优化法就是把每个参数的优化均构成一个子空间，在第1子空间优化时将其他参数值固定进行寻优，取得优化值后将优化值代入第2子空间，在第2子空间仅对第2个参数进行优化，依次对各子空间进行优化后，最后获得一组优化参数使目标函数达到最优。对上述选取的6个参数进行优化，构成6个优化子空间，根据灵敏度降序的方式进行优化研究，优化结果如表4所示。

表4 枪管振动优化Table 4 Optimization of barrel vibration

将对目标函数优化后得到的这一组参数代回模型中并重新计算，得到优化后的枪口垂直方向位移值为0.073 1 mm，比初始值0.077 5 mm降低了5.8%，效果较为明显，优化后的曲线变化如图4所示。优化后的枪口垂直方向速度由412.68 mm/s 降低至386.97 mm/s，降低了6.23%，优化后的曲线变如图5所示。

图4 枪口垂直方向位移优化前后对比

图5 枪口垂直方向速度优化前后对比

5 结论

本文基于Timoshenko梁理论，建立了发射过程中枪管振动模型，模型考虑了弹丸惯性力、弹丸偏心质量、弹丸挤进过程以及弹丸膛内运动对枪管振动的影响，尽可能模拟真实射击中存在的影响因素。较全面地对各参数进行了灵敏度分析，并选取了枪管横截面积、枪管密度、枪管弹性模量、膛线深度、膛线缠角和弹丸质量等6个关键参数，用子空间逐层优化方法对枪口垂直方向扰动进行了优化。得到结论如下：

1) 本文建立的发射过程中枪管振动模型，可以定量分析枪管以及弹丸各参数变化对枪管振动特性的影响，对评估、优化枪械射击过程中的枪口扰动有一定的参考作用。

2) 对枪管和弹丸结构参数进行灵敏度分析，计算表明枪管横截面积、枪管密度、枪管弹性模量、膛线深度、膛线缠角、弹丸质量是对枪口振动影响较大的参数。

3) 对比优化前后弹丸出膛时的枪口垂直方向位移值以及枪口垂直方向速度值，结果表明优化后的枪口垂直方向位移值为0.073 1 mm，比初始值0.077 5 mm降低了5.8%，枪口速度值为386.97 mm/s，比初始值412.68 mm/s降低了6.23%，说明了本文所提方法的可行性。