居高才能临下深入方可浅出

【摘要】随着课程改革的全面实施，近几年高考真题更倾向于对学生能力的考查，出现了许多命题背景新颖、考查能力的“高观点”试题，合理分析这些试题的来源，探寻试题背后隐含的高等数学知识，可为高中数学教学提供一些新的生长点. 本文就以2022年新高考Ⅰ卷第4题和第5题为例，浅谈此类问题背后隐含的“高观点”和“高观点”下的教学对策.

【关键词】数学高考；辛普森体积公式；欧拉乘积公式

1引言

“高观点”是“高观点下的初等数学”的简称. 关于“高观点”思想，19世纪末20世纪初，德国著名数学家克莱因在其《高观点下的初等数学》中阐述了“高观点”下的中学数学的思想.“高观点”是指站在高等数学的角度去分析和解决初等数学问题，避免现实中高等数学与高中数学的脱节，以实现数学教育“现代化”［1］. 它包含在高等数学知识的系统高度下教授高中数学的理念；用高等数学的思想和方法指导高中数学的行为；在高等数学的视角下分析解决高中数学某些困难问题的能力［2］.

初等数学是高等数学的基础，高等数学是初等数学的延伸和拓展，这两个领域联系紧密而且有交叉和融合，这就说明用“高观点”的数学的思想和方法指导高中数学教学具有可行性［3］.

2“高观点”下的典例

真题展示1

注《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出，数学学科核心素养的考查重要载体就是问题情景. 但正如何小亚教授所说，目前数学教学中存在着多真实世界的情境少数学世界的情境、為创设情境而创设情境的误区. 2022年新高考Ⅰ卷第5题以数论中质数分布为情景，以欧拉乘积公式这个高等数学结论为载体，把最前沿的数学问题设置为更简化的初等数学问题，知识点落实为古典概型的应用. 此题与数学前沿知识的初步联结，为学生进一步学习做知识上的准备工作.

3 “高观点”下教学的对策

作为一名高中数学教师，仅仅具备高中数学教材中的知识，那是远远不够的. 即便是在现行高中数学教材中的知识内容范围内，有些问题也需要“高观点”的知识背景下来解释，否则可能造成学生模糊不清，疑问重重. 在高中数学教学中，我们的根本目的在于发展学生的数学核心素养，目前高考数学已从“解题”转向“解决问题”，“知识考查立意”转向“能力考查立意”，“高观点”试题为其实施扮演着举足轻重的角色. 高等数学知识和初等数学如何相结合，“高观点”下教学如何居高临下地指导高中数学教学，有四条建议：

①用高等数学的知识去统一建立初等数学的结构体系. 掌握高等数学与初等数学的内在联系，构建数学知识网络，尝试着用高等数学知识命制不脱离高中教学实际的“高观点”试题.

②用高等数学的思想方法去总结初等数学的解题规律. 改变复习中的“题海战术”，不过分追求解题的模式化、程式化和技巧化，不沉迷于题型、公式记忆，发展学生的解题能力，夯实学生的核心素养，实现以不变应万变.

③用高等数学的理论对初等数学作新的推广和发展. 在不脱离课程标准和教材的前提下，教师可以对重要的概念和知识的联系上做必要的拓展. 教师站在高等数学的角度去教授，将会更有利于学生的领悟.

④“高观点”的试题设计来源于高等数学的知识，但通性通法仍是高中所学的初等数学知识，不能误导将高等数学引进高考，忽视对学生数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（简称“四基”）的培养［4］.

从“高观点”去解决初等数学的问题，不仅能够更好地帮我们理解命题的意图，同时也能够更深刻地理解高等数学与初等数学知识间的关系，更有利于提升我们的思想高度以及切实解题的能力，真正实现“居高等数学之高”去临“中学数学之下”［5］.

参考文献

［1］张劲松.论高观点下的初等数学及其在新课标中的体现［J］. 数学教学研究，2008（04）：2-5.

［2］胡炳生.现代数学观点下的中学数学［M］. 北京：高等教育出版社，1981.

［3］周玛莉，张劲松.高观点的数学思想对中学数学教学的启示［J］.中学数学月刊， 2014（03）：7-10.

［4］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020．

［5］李三平.高等数学观点下的中学教学［M］. 上海：科学出版社，2019.

作者简介李云鹏（1987—），男，山东济宁人，硕士，中学一级教师；先后荣获潍坊市教学成果一等奖、济南市优秀班主任、济南市优质课一等奖；研究方向为高中数学教育教学.