例谈一元一次方程应用题中的几种等量关系

陈一凡

找准等量关系是列方程解应用题的关键 环节，那么一元一次方程应用题中有哪些常 见的等量关系呢？对此，笔者归纳了应用题 中三类常见的等量关系，并结合例题加以分 析，希望能够帮助同学们掌握解答应用题的 关键点.

一、配套问题中的等量关系

解答配套问题最基本的等量关系就是加 工（或生产）的各种零配件的总数量比等于一 套组合件中各种零配件的数量比.若一件产品 需要 A、B 两种配件配成，A、B 两种配件的数 量比是 m：n，那么配件全部配套时，则有 A 种 配件总数量 ×n = B 种配件总数量 × m.解答物 品配套问题的关键是从物件的比例角度建立 等量关系，根据比例设未知数，列出方程求解.

例1 某服装厂要生产一批学生校服，已 知每3m的布料可做上衣2件或裤子3条，因 裤子旧得快，要求一件上衣和两条裤子配一 套，现计划用1218m的布料加工成学生校服， 应如何安排布料加工上衣和裤子才能刚好配 套？能加工多少套校服？

分析：本题是一道关于一元一次方程的 配套问题.由已知条件可以得出如下信息： ①每1m的布料可以做 2 3 件上衣和1条裤子； ②完工后，裤子和上衣的数量比是2：1，即裤 子的数量是上衣数量的 2 倍时刚好配套； ③生产上衣和裤子总共用了 1218m 布料，从 中可以得出的相等关系是：裤子的数量=上衣 的数量 × 2.

解：

答：用522m布料加工上衣，用696m布料 加工裤子才能刚好配套，能加工348套校服.

评注：列一元一次方程解答产品配套问 题时，要弄清配套产品中哪种数量多，哪种数 量少，以及它们是几比几的配套比例关系. 只有这样才能正确找出题设中的等量关系 解题.

二、工程问题中的等量关系

工程问题是研究工作总量、工作效率和 工作时间三者之间关系的数学问题.工程问 题中我们一般把工作总量看成单位“1”，即完 成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1， 用单位时间内完成工作总量的几分之一表 示工作效率.工程问题中的主要等量关系有： ①工作总量=工作效率 × 工作时间；②工作效 率= 工作总量 工作时间 ；③工作时间= 工作总量 工作效率 .明确 了这些关系后，就能顺利列出相应的方程进 行解题.

例2 某市准备对某道路进行改造，若甲 工程队单独做此工程需要 9 个月完成，乙工 程队单独做此工程时需要12个月完成.现甲、 乙两工程队先合作 3 个月，然后甲工程队到 期撤离，乙工程队单独完成剩余工程，则乙工 程队单独完成剩余工程需要几个月？

分析：本题是一道关于一元一次方程的 工程问题.由题意可以得到如下等量关系： ①乙剩余的工作量=乙的工作效率 × 乙单独 完成剩余工程的时间；②甲、乙两队合作的工 作量=甲、乙两队的工作效率之和 × 工作时 间；③乙剩余的工作量+甲、乙两队合作的工 作量=总工作量“1”.

解

答：

评注：在工程问题中，还要注意有些问题 中工作量给出了明确的数量，这时不能看作 整体1，此时工作效率也即工作速度.

三、球赛积分问题中的等量关系

球赛积分问题中的相等关系主要包括： ①比赛总场数=胜场数+平场数+负场数；②比 赛总得分=胜场总得分+平场总得分+负场总 得分.③一个队的总积分=胜 1 场得分×胜场 数+负1场得分×负场数.当题目中的信息量较 大时，可以从总积分与胜、负场积分的横向关 系去比较分析，也可以从不同球队的胜负场 次、积分等的纵向关系去寻找信息，获取等量 关系来解题.

例3 某校初二年级举行班级篮球联赛， 每班均需要赛10场，比赛规定胜一场得3分， 平一場得 1 分，负一场得 0 分.在这次班级篮 球联赛中，初二（3）班平的场数是负的场数的 2倍，共得16分，试问该班胜了多少场比赛？

分析：本题是一道关于一元一次方程的 球赛积分问题.根据题意可以得出如下等量 关系：①胜场数+负场数+平场数=10；②平场 数=2 × 负场数；③胜场积分+平场积分+负场 积分=16.若设负场数为x，则平场数为2x，胜场 数为（10-x-2x），再结合积分关系，即可列出 方程解题.

解：

答：该班胜了4场比赛.

评注：在解答球赛积分类问题时，同学们 要注意“比赛总场数”“比赛总积分”这两个关 键量.一般比赛场次与胜场、负场的数量关系明 显，而积分与胜场、负场的数量关系比较隐蔽.

总之，一元一次方程应用题中的等量关 系是多种多样的，我们在解题时要认真审题， 仔细分析，找出问题中的等量关系，灵活运用 解题策略.这样在解题时才能做到心中有数， 游刃有余.