揭示概念本质 突出概念理解 深化概念内涵——以“对数的概念”教学为例

陈 芳

(山东省桓台第二中学，山东 淄博 256400)

1 问题缘起

在对课题《基于核心素养的高中数学学生讲题的实践与研究》开展的过程中，我们发现学生讲题存在很多问题，其中对概念的理解不透彻，掌握不牢固，没有理解概念的外延和内涵的本质，造成以偏概全、似懂非懂的后果.基于此思考，我们对概念起始课借助学生讲题的方法进行了深入的分析和思考，下面以对数的概念为例谈谈我们的具体做法.

2 教材分析

本节课是数学必修第一册第四章第三节的第一课时的内容，对数函数是一类最基本、应用最广泛的函数，是进一步学习数学的基础.本节课的学习是指数函数的自然延续，为进一步研究对数运算提供了条件，也为今后学习对数函数提供有利的工具.所以，学生正确地理解和掌握对数的概念尤为重要.

3 学生学情分析

从知识储备上，首先学生已经学习了函数的概念、表示方法与一般性质，对函数有了初步的认识；其次学生学习了分数指数幂与指数函数，了解了研究函数的一般方法，积累了从具体到抽象、从特殊到一般的研究经验，这为本节课的学习打下了坚实的基础.

从学生思维能力上，高一学生正经历从形象思维到抽象思维的过渡阶段，学生具备了一定的逻辑思维能力，但整体思维维度还比较低，本节课是提高学生思维水平的良好题材.

4 教学目标分析

理解对数的概念,了解对数与指数的关系.通过举例进一步加深“对数即指数”“指对是一家”的理解.感受化归与转化、特殊到一般的数学思想.

5 教学重难点

教学重点：对数的概念；对数式与指数式的相互转化.

教学难点：对数概念的深刻理解.

6 教学过程

6.1 复习旧知，引入新课

(1)23=____ 24=____ 210=____

(2)x2=4，则x=____x3=8，则x=____

(3)2x=8，则x=____ 2x=16，则x=____ 若2x=11，则x=？

学生完成三组运算，为引出对数概念做好铺垫.

观看一段视频，简单介绍纳皮尔及其对数.

设计意图：通过复习初中所学的乘方运算和开方运算，自然引入本节课，让学生进一步理解通过底数、指数、幂三者之间的内在联系可以产生三种运算，从而认识到对数可以看成一种运算，同加减号、乘除号一样，可看做一个运算符号，同时让学生感受对数符号的产生同根号的出现一样是必要的.

通过观看视频，让学生了解对数产生的背景及深远的历史影响，同时感受纳皮尔坚持不懈的科学精神.

6.2 合作探究，开始新课

合作探究：2x=11

思考1： 有没有这样的指数x？有的话，是不是唯一的？说说你的理由.

思考2： 你预测x的大小会和哪些数有关？

思考3： 既然x是唯一的，那么该如何表示这个数呢？

设计意图：通过引导学生利用指数和指数函数的相关知识，让学生认识到引入对数符号log211的必要性，通过学生亲自操作确认，让学生更加充分地认识到对数实际上就是一个数，表示的恰好就是指数式中的指数.

随堂即练：将下列指数式中的指数用对数表示出来.

6.3 揭示联系，建立概念

6.3.1 板书定义：

一般地，如果ax=N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为N底的对数，记作：x=logaN其中a叫作对数的底数，N叫作真数.

logaN=x⟺ax=N；对数式⟺指数式

6.3.2 两个重要对数

(1)常用对数：以10为底的对数lgN；

(2)自然对数：以无理数e=2.71828…为底的对数的对数lnN．

思考4 (1)为什么对数的定义中要求底数a>0，且a≠1？

(2)为什么对数logaN(a>0且a≠1)中的N>0？

总结：零和负数没有对数.

随堂即练：求logx-7(x+2)中x的取值范围.

6.4 小组活动，研究概念

探究活动2：请写出几个等于0,1的对数.

探究活动3：结合前面你举的例子说说对数logaN能表示所有的实数吗?

探究活动4：我们知道方程的根一定是满足方程的.从方程的角度看ax=N的根是x=logaN，你会有什么新发现？

根据课上小组的研究情况及时给与引导和点评，通过让学生自己尝试着总结对数的性质，课前预设主要是以下四个性质，并进行结论汇总.通过总结口诀“对数即指数，指对是一家”，体现转化思想，深化对对数与指数关系的深刻理解.

板书预设的四个结论：

(1)1的对数是零：loga1=0；(2)底数的对数是1：logaa=1；

(3)对数恒等式：alogaN=N；(4)logaan=n．

板书口诀：对数即指数，指对是一家.

(3)elnN____

设计意图：通过探究活动1至探究活动3让学生认识到对数作为一个数，可以表示任何一个实数.通过活动4和活动5让学生认识到对数作为一种运算，和指数是互逆运算.

6.5 典型例题，内化概念

例1 指数化对数

例2对数化指数

例3求值

设计意图：通过这几个典型例题，让学生对对数表示的就是指数式中的指数有更好的理解.

6.6 课堂小结，升华反思

6.6.1 学生总结，教师补充.

设计意图：让学生说说本节课的收获，可以总结本节课的知识点和数学思想，互相补充，让学生在自我总结和反思中慢慢体会概念的本质.

6.6.2 当堂检测，巩固所学

指数化对数：

(1)102=100;

对数化指数：

(1)log232=5;

(2)ln10=2.303.

求值：

(1)lgx=2;

(2)logx7=3;

(3)lne3.

设计意图：检测学生本节课对知识的掌握情况.

7 教学反思

本节课的学习是指数函数的自然延续，上述教学活动是基于核心素养的主题教学活动，笔者采用步步设问的教学方式，注重引导学生发现知识的形成过程，让学生认识到“对数即指数，指对是一家”，充分体现了数学中非常重要的转化思想.通过合作探究、分组讨论，为学生设立充分的探究空间，学生在交流成果的过程中，高效地完成了教学任务.

数学概念是学习数学和理解数学的基础，所以，教学中我们可以通过选取贴近学生的素材，借助恰当的问题引导来呈现概念的背景与本质，留给学生一定的思考探究空间，让学生在概念的讲解过程中，更深刻地理解概念的内涵和外延.概念起始课教学中如何揭示概念本质、突出概念理解、深化概念内涵是一个值得深入研究的问题，我们课题组将对此作进一步的思考与实践.