基于RC移相电路的电阻测量方法探究

程欣妍 周坤 徐亚东 孙宝印

苏州大学物理科学与技术学院 江苏苏州 215006

电阻是电学中最基本的物理量之一，电阻大小与导体的尺寸、材料和温度等有关。物理课堂中电阻的测量通常采用伏安法，并拓展延伸出等效替代法、比例法和半偏法等一系列以欧姆定律为基础的实验方案。这些方案能有效促进学生对物理概念的理解和一些重要物理思想的把握，但在电阻测量实验设计中一般都采用直流电源，电路中只需分析直流信号。然而实际生活中城市用电都是交流电，绝大多数家用电器输入的也都是交流信号，学生实验只考虑用直流电路测电阻将容易导致学生物理学习脱离生活，不利于形成正确的物理观念。基于此，我们介绍了一种用RC移相电路测量交流电路中定值电阻的方法，以加深学生对交流电路特性的认识，促进学生物理核心素养的发展。

1 实验原理及方法

1.1 RC移相电路

相位是交流信号的一个重要参量，以正弦交流电压Ui=Uimsin(ωt+θ)为例，Ui是交流电压的瞬时值，Uim是交流电压的最大值，ω是交流电的频率，t是时间，θ是初始相位，(ωt+θ)称为相位，相位大小决定信号在该时刻的幅值大小。在交流电路的研究与设计当中，通过由电器元件电阻、电感和电容组成的不同组合电路，改变输出正弦波信号与输入正弦信号的相位关系，可构成移相电路。RC移相电路是其中一种典型电路，在通信、仪器仪表、导弹、雷达技术等众多技术领域中应用广泛[1]。

图1(a)为0°到90°的相位偏移电路，其中输入端和输出端分别为Ui和UR，Ui为正弦交流信号。根据电路的特点，输入端Ui可用三角函数表示为：

(1)

则输出电压UR为：

(2)

式中URm为正弦信号，UR为峰值，θ为图1(b)向量图所示夹角，0°<θ<90°。由向量图得出，A点可在以Ui为直径的半圆弧上任意滑动，从而输出电压(UR)始终比输入电压(Ui)相位超前一个角度θ，这种电路称为RC超前型移相电路。如将输出端改为电容C，那将得到RC滞后型移相电路。

(a)

1.2 RC移相电路测电阻的方法

对于RC超前型移相电路，θ的大小取决于Ui的频率、电容和电阻三个值的大小，关系如下：

(3)

通过(3)式，只要设法测得移相角θ，就可以通过频率f和电容C的值得到电阻R的值。

基于RC移相电路的这种特性，通过找到相应的物理参数，反过来可以求测出电阻R的值。如图2所示为双踪示波器显示的输出电压UR和输入电压Ui的波形示意图，利用上式(3)，由波形图得出电阻R(简称电压法)计算公式：

(4)

由式子(3)(4)联立可得:

(5)

同时，图2中给出了波形偏移时间Δt，其中Δt

(6)

(7)

图2 双踪示波器显示UR和Ui波形

基于以上分析，只需通过示波器得出图2所示Δt、Uim、URm，即可用电压法和时间差法分别得出电阻R的值。

2 Multisim仿真模拟

Multisim是由美国国家仪器公司推出的一款专门用于电子线路仿真和设计的仿真软件，其在教学和电子电气工程领域应用十分广泛[2-3]。这里我们借助Multisim12仿真模拟RC移相电路，仿真实验中，各参数如下：Uim=V1-peak=2V，f=500Hz，C1=0.5μF，R1=910Ω。

图3为RC移相电路设计图，图4为其输入端和输出端波形图，输出端波形UR相位明显提前于输入端Ui，且UR峰值略小于Ui峰值，这与图1(b)所示情况一致，根据图中给出的数据，分别用式(4)和式(6)计算，得到相位角θ分别为34.9761°和35.0103°；同时，图5所示为RC移相电路的Bode图，图中可读取460.00～540.00Hz频率间任意频率下输入端Ui与输出端UR间相位角θ，图中所示500.00Hz时，相位角θ为34.9783°，这也从反面验证了式(4)和式(6)计算出的相位角θ的准确性，从而验证实验的可行性和准确性。基于以上仿真模拟实验，式(5)和式(7)均可用于测量计算待测电阻Rx。

图3 RC移相电路图

图4 RC移相电路输入端和输出端波形图

图5 RC移相电路的Bode图

3 实验测量

3.1 实验仪器

信号发生器(SIGLENT SDG1050，f=500Hz，Uim=2V)、示波器(IWATSU SS-7802A)、电容(C=0.5μF)、待测电阻(Rx=910.00Ω)。

3.2 实验结果与误差分析

实验时，先将RC移相电路输入、输出端电压Ui和UR分别连上示波器CH1、CH2，将双踪波形振幅显示约占屏幕50%，横向显示1～2个完整波形。测试中使用频率为500Hz，输入电压幅度为2V的正弦交流信号，水平扫描时间因数设置为200μs/div，垂直偏转系数设置为1V/div，调节触发电平，使波形稳定显示。利用示波器“幅度”和“宽度”测量功能，分别对幅度(即UR波峰波谷间电压差)和宽度Δt进行5次测量，获取数据如表1所示。

表1 实验测量数据

实验中示波器测量幅值和宽度值误差主要来源于以下三方面：测量重复性引入的不确定度σa、测量幅度/宽度的读数分辨率引入的不确定度σb[4-6]。进而得到时间差法电阻Rx的不确定度传递公式:

(8)

以及电压法电阻Rx的不确定度传递公式：

(9)

由表格1数据，根据式(5)、式(7)计算得到待测电阻值。同时由式(8)、式(9)，计算得到时间差法和电压法的不确定度和百分误差，如表2所示。

表2 两种方法的不确定度及百分误差

由表2计算结果可知：电压法的测量结果914.22Ω更接近真实值，其百分误差仅为0.46%，明显优于时间差法的2.44%。相较于时间差法，电压法测电阻更具优势。事实上，在时间差法实验中，由于波形的轻微移位，获得准确的时间差Δt是相对困难的。对于Rx的不确定度，表2显示，读数分辨率是造成其绝对数值较大的主要原因。

RC移相电路测电阻解决了传统测电阻方法局限于直流电路中的问题，将测量电阻的实验拓展到交流电路中。该方法有利于加深学生对RC移相电路的认识，传统教学中，常通过电阻和电容控制相位。本实验利用RC移相电路的特点测量电阻，有利于学生加深对知识点的认识。本实验方法简单，数据方便易读，测量结果准确。然而，由于受读数分辨率和示波器测量精度的限制，Rx的不确定度绝对数值较大。其次，对于时间差法，其时间差的测量容易受波形移位的影响。

4 总结

本文介绍了基于RC移相电路测量电阻的两种方法：时间差法和电压法。实验表明，时间差法因时间差难以精确测量，造成测量结果误差较大；而电压法兼具方法简单和测量结果准确的特点，其百分误差仅为0.46%。然而，受限于读数分辨率和示波器测量精度，不确定度绝对数值均较大，还需要进一步研究其改进方案，但仍不失为一种较优的电阻测量方法。