排列组合二项式定理单元模拟卷(A 卷)

■河南省漯河高级中学 秦晓燕

一、选择题(本题共12 小题,每小题5分,共计60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。)

1.下列问题是组合问题的是( )。

A.2023年暑假,小明和他的4位同学分别到5 所大学去参观研学,不同的参观方案有多少种?

B.2022年卡塔尔足球运动会期间,5 名志愿者被分别分到5个不同的时间段进行服务,有多少种情况?

C.集合{1,2,3,4,5,6,7}的含有3个元素的子集有多少个?

D.从高二(6)班的45名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目,有多少种选法?

2.已知n,m为正整数,且n≥m,则下列选项中错误的是( )。

A.该二项展开式中含x的项是第二项

B.该二项展开式中含x的项系数是2 023×2 022

C.该二项展开式中二项式系数和与各项系数和相等

D.该二项展开式中不含有理项

4.北京冬奥会之后,5 位体育爱好者报名参加自由式滑雪,速度滑冰,单板滑雪3个项目的培训,每人只报其中一个项目,则有( )种不同的报名方案。

5.将4位新老师安排到A,B,C三所学校去任教,每所学校至少1人,则不同的安排方案的种数是( )。

A.72 B.36 C.24 D.18

6.设n为正整数,的展开式中存在常数项,则n的最小值为( )。

A.3

B.4

C.5

D.6

7.“天宫空间站”是我国自主建设的大型空间站,其基本结构包括天和核心舱、实验舱Ⅰ和实验舱Ⅱ三个部分。假设有5名航天员(3男2 女)在天宫空间站开展实验,其中天和核心舱安排3人,实验舱Ⅰ与实验舱Ⅱ各安排1人,且两名女航天员不在一个舱内,则不同的安排方案种数为( )。

A.10 B.14 C.30 D.36

8.五世纪,数学家祖冲之估计圆周率π的范围是:3.141 592 6<π<3.141 592 7,为纪念祖冲之在圆周率方面的成就,把3.141 592 6称为“祖率”,这是中国数学的伟大成就。某数学爱好者在设置手机的数字密码时,打算将“祖率”的8位数字3,1,4,1,5,9,2,6进行某种排列得到密码。如果排列时要求两个1之间必须隔2个不同的数字,且2个1不能放到首末两个位置,那么该数学爱好者可以设置的不同密码有( )个。

A.240 B.360

C.3 600 D.2 160

9.从7个人中选5人负责元旦三天假期的值班工作,其中第一天和第三天均安排2人,第二天安排1 人,且人员不重复,则不同安排方式的种数可表示为( )。

10.给如图1所示的5 块区域A,B,C,D,E涂色,要求同一区域用同一种颜色,有公共边的区域使用不同的颜色,现从红、黄、蓝、绿、橙5种颜色中选4种颜色去涂色,选出的4种颜色要用完,则不同的涂色方法有( )。

图1

A.120种 B.840种

C.720种 D.600种

11.已知(x-1)4+2x5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a5(x+1)5,则a3=( )。

A.-2 B.2 C.4 D.12

二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共计20分。)

14.甲、乙、丙三人参加社区义工活动,每人从编号为1到6的社区中任选一个,所选社区编号数各不相同且不相邻,则不同的选择方案的种数为____。

15.152023除以8的余数为____种。

16.某赛季足球比赛的计分规则是:胜一场,得3分;平一场,得1分;负一场,得0分。一球队打完15 场,积33 分,若不考虑顺序,该队胜、平、负的情况共有____种。

三、解答题(本大题共6小题,第17题10分,其他题每题12分,共计70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。)

17.(本小题10分)荷兰数学家弗赖登塔尔说过“数学是冰冷的美丽,而其背后有火热的思考”。自然数的随意排列就是一种美,如:“渐升数”、“伞数”“凹数”“波浪数”等,其中“渐升数”是指除最高数位上的数字外,其余每一个数字均比其左边的数字大的正整数(如13 456和35 678都是五位“渐升数”)。

(1)求三位“渐升数”的个数;

(2)如果把所有的五位“渐升数”按照从小到大的顺序排列,求第110个五位“渐升数”。

18.(本小题12分)已知(1+mx)n(m∈R,n∈N)的展开式满足____。

①二项式系数之和为32;

②含x3项的系数为80;

③第三项与第四项二项式系数相等。

从这三个条件中选择两个合适的条件补充到横线处,求解下列问题。

(1)求m,n的值;

(2)求(1+mx)n(1-x)3展开式中含x3的系数。

19.(本小题12 分)将10 个完全相同的球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中。

(1)若要求每个盒子至少放一个球,则一共有多少种放法?

(2)若每个盒子可放任意个球(含0个),则一共有多少种放法?

(3)4号盒子不放球,要求其他3个盒子放的球的个数都不小于其编号数,则一共有多少种放法?

20.(本小题12分)2022年11月疫情封控期间,某高中高二年级线上学习,每个班的家长都积极配合,参与到班级管理当中,若某班某一天共有8位家长报名参与到当天的早读、上午课堂、下午课堂、晚修的管理,其中1位家长被安排管理早读,其余7位家长被安排到上午课堂、下午课堂、晚修三个时段管理。

(1)将剩下的7 位家长被安排到上午课堂、下午课堂、晚修三个时段管理,要求每个时段至少有1人,共有多少种不同安排方法?

(2)线上学习结束后,班主任为了感谢这8位家长,召开线上会议对家长表示感谢,若8位家长先后进入会议,A、B两位家长相邻进入会议,且都不是第一个,也不是最后一个进入会议,问这8 位家长进入会议时间的不同排序方式有多少种。

(3)若n=15,求系数最大时的项数。

(2)利用组合及组合数的定义解释(1)中公式的实际意义;