初中三角形常见问题与解答策略分析

凌云

［摘 要］初中数学中，三角形作为几何知识的基本元素，对学生“图形与几何”领域的学习具有十分重要的意义。文章结合教学实际，总结了三角形基本性质相关问题、翻折问题、全等三角形问题、相似三角形问题、直角三角形问题及综合类问题等几类问题，旨在为学生的学习提出指导，以期提高学生的解题能力。

［关键词］三角形；常见问题；解答策略

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2023）35-0027-04

三角形是初中阶段学生接触最多的几何图形之一，由此衍生出各类考点，相关问题也成为学生的学习难点。中考中，三角形相关问题的分值占比较大，且三角形的题型多样，不利于学生掌握。因此，本文结合教学实际，总结初中三角形常见问题，以促进学生对相关知识的掌握。

一、基本性质相关问题

三角形具有多种性质，如三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半；特殊三角形如等腰三角形、等边三角形、直角三角形等，则有着更多、更特殊的性质，如等边三角形具有角平分线、边上中线、边上高重合的“三线合一”性质；等腰三角形顶角平分线、底边上中线、底边上高重合；等等。这些都是三角形的基本性质，也是常见的考点。因此，学生只有坚实掌握，才能在解题中灵活运用。

［例1］如图1，在[△ABC]中，[AD]为[BC]边上的中线，点[F]为[AC]边上一点，[AF=13AC]，连接[BF]交[AD]于点[E]，[EF=5 cm]，求[BF]的长。

解析：如图2，取[CF]的中点[M]，连接[DM]，

因为点[D]为[BC]的中点，

所以[DM]是[△BCF]的中位线，

所以[DM]∥[BF]，[DM=12BF]，即[2DM=BF]。

因为[AF=13AC]，

所以[AF=12FC]，

又因为[FM=12FC]，

所以[AF=FM]，即点[F]为[AM]的中点，

又因为[EF]∥[DM]，

所以点[E]为[AD]的中点，

所以[EF]是[△ADM]的中位线，

所以[EF=12DM]，

所以[BF=2DM=2×2EF=4EF]，

因为[EF=5 cm]，

所以[BF=20 cm]。

本题是对三角形中位线相关性质的考查，如三角形的中位线与第三边互相平行且长度为其一半。基于此，取[CF]的中點[M]，连接[DM]，得到[△BCF]的中位线；而后证明[EF]是[△ADM]的中位线，进而根据其中的关系，得到[BF]的长。

二、翻折问题

翻折问题也是三角形中的一个常见问题，在解答这类问题时，学生一定要厘清翻折前后的对应边、对应角相等的关系，而后借助翻折前后的对称性及三角形的三边关系解答相关问题。

［例2］如图3，矩形[ABCD]中，[AB=3]，[AD=4]，[E]、[F]分别为边[BC]、[CD]上一点，[EF⊥AE]，将[△ECF]沿[EF]翻折得[△EC'F]，连接[AC']，当[BE=]        时，[△AEC']是以[AE]为腰的等腰三角形。

解析：①当[AE=EC']时，设[BE=x]，则[EC=4-x]。

因为[△ECF]沿[EF]翻折得[△EC'F]，

所以[EC'=EC=4-x]。

在[Rt△ABE]中，由勾股定理得[AE2=BE2+AB2]，

即[（4-x）2=x2+32]，

解得[x=78]。

②当[AE=AC']时，如图4，过点[A]作[AH⊥EC']于点[H]。

因为[AH⊥EC']，[AE=AC']，

所以[HE=HC']。

因为[EF⊥AE]，

所以[∠C'EF+∠AEC'=90°]，[∠BEA+∠FEC=90°]，

因为[△ECF]沿[EF]翻折得[△EC'F]，

所以[∠C'EF=∠FEC]，

所以[∠AEB=∠AEH]。

在[△ABE]和[△AHE]中，

[∠B=∠AHE∠AEB=∠AEHAE=AE]

所以[△ABE ]≌[△AHE]（AAS），

所以[BE=HE=HC']，

所以[BE=12EC']，

因为[EC'=EC]，

所以[BE=12EC]，

所以[BE=13BC=43]。

综上所述，[BE=78]或[43]。

在本题中，需要对等腰三角形[AEC']以[AE]为腰的情况进行分类讨论，当[AE=EC']时，根据翻折前后对应边相等，并结合三边的几何关系进行列式计算，便可得到结果；当[AE=AC']时，则首先要根据翻折特点，证明[△ABE ]≌[△AHE]，得到[BE=HE]，最后根据相应关系得到[BE=13BC=43]。

三、全等三角形问题

全等三角形的证明，是一个中考必考的问题，不仅会出现单独的考题，还会作为中间过程出现在其他证明问题中。因此，学生需要准确掌握证明三角形全等的几种方法及常见的三角形全等模型。如常见的全等三角形模型有角平分线模型和三垂直模型，角平分线模型即过角平分线上 一点向角的两边作垂线段，所构成的三角形全等；或过角的一边作角平分线的垂线段的延长线，交角的另一边，所构成的三角形全等。在实际解题中，所给出的条件可能较为隐蔽，需要学生结合实际问题进行思考。

［例3］如图5，已知[AB⊥BD]，[ED⊥BD]，[AB=CD]，[BC=DE]。

（1）求证：[AC⊥CE]。

（2）若将[△CDE]沿[CB]方向平移得到图6的情景，并且[AB=C1D]，试判断[AC⊥C1E]是否恒成立。

         

图6

解析：（1）因为[AB⊥BD，ED⊥BD]，

所以[∠B=∠D=90°]，

在[△ABC]和[△CDE]中，[AB=CD，∠B=∠D，BC=DE，]

所以[△ABC ]≌[△CDE]（SAS），

所以[∠1=∠E]，

所以[∠1+∠2=∠E+∠2=90°]，

所以[∠ACE=90°]，

即[AC⊥CE]。

（2）[AC⊥C1E]恒成立，证明如下：

因为[AB⊥BD，ED⊥BD]，

所以[∠ABC=∠C1DE=90°]，

在[△ABC]和[△C1DE]中，[AB=C1D，∠ABC=∠C1DEBC=DE，]，

所以[△ABC ]≌[△C1DE]（SAS），

所以[∠ACB=∠C1ED]，

因为[∠C1ED+∠DC1E=90°]，

所以[∠ACB+∠DC1E=90°]，

所以[AC⊥C1E]。

本题较为简单，属于常见的三垂直模型，题（1）中由[AB⊥BD，ED⊥BD]，以及相应的线段关系，可得[△ABC ]≌[△CDE]，进而得出[AC⊥CE]；题（2）中由[△ABC ]≌[△C1DE]，可得[AC⊥C1E]。

四、相似三角形问题

相似三角形是数学中考中出现频率非常高的一类问题。在解答这类问题时，需要学生熟练掌握相似三角形的常见证明方法，而后结合实际问题去分析可用的证明方法，进而得到证明结果。相似三角形有诸多常见的模型，如平行“A”字模型、“反射”模型和“沙漏”模型。学生应当熟练掌握以上各种模型，以便在解题中遇到相关模型时，能够快速想到解题思路，进而提高解题效率。

［例4］如图7，在矩形[ABCD]上，有一小球[P]的运动路径为P→Q→R→S→P，已知反射角与入射角相等，[AB=9]，[BC=12]，[BR=4]，求小球的运动路径长度。

解析：由题意可知，[∠PQA=∠BQR]，[∠QRB=∠SRC]，

因为四边形[ABCD]为矩形，

所以[∠A=∠B=∠C=90°]，

因为[∠QRB=∠SRC]，[∠B=∠C=90°]，

所以[△SRC ]∽[△QRB]，

因为[BC=12]，[BR=4]，

所以[CR=BC-BR=8]，

所以[BRCR=BQCS=QRSR=12]，

易知[∠QRS+∠RSP=180°]，[∠SPQ+∠RSP=180°]，

所以[RQ]∥[SP]，[RS]∥[QP]，所以四边形[SPQR]是平行四边形，[RS=QP]，

可得[△PQA ]≌[△RSC]（SSA），

所以[BRAP=BQAQ=QRQP=12]，

因为[AB=9]，所以[BQ=3]，

在Rt[△RBQ]中，[QR=BQ2+BR2=5]，

则[SR=PQ=2QR=10]，

所以[PQ+QR+RS+SP=30]，

故小球的运动路径长度为[30]。

在解答本题时，主要运用到了相似三角形的相关定理，由[△SRC ]∽[△QRB]，得到[BRAP=BQAQ=QRQP=12]，[BQ=3]，由勾股定理得[QR=5]，进而得到小球的运动路径长度。

五、直角三角形问题

直角三角形作为一类特殊的三角形，会出现在各类几何知识的考查中，主要考查直角三角形的基本性质。解题时，则需要找到直角三角形与所求问题之间的联系，而后借助勾股定理进行解答。

［例5］如图8，民房后有一个山坡[AB]，为防止山体滑坡，需对坡面进行改造。经过勘测得[AB=26 m]，[BC]∥[AD]，[BE⊥AD]，斜面[AB]的坡比为12∶5，当坡角不超过[50°]时，不易发生滑坡，若坡角[A]不动，則坡顶[B]至少向左移多少米？（[tan50°=1.2]）

解析：设[B]沿[BC]向左移动至点[H]时，

恰好坡角[∠HAE=50°]，

过点[H]作[HF⊥AD]于点[F]，因为斜坡[AB]的坡比为12∶5，

设[BE=12a m（a>0）]，[AE=5a] m，

在Rt[△AEB]中，[AE2+BE2=AB2]，

即[（5a）2+（12a）2=262]，

解得[a=2]，

所以[BE=24] m，[AE=10] m，[HF=BE=24] m，

所以，在[Rt△AFH]中，

[tan∠HAF=tan50°=HFAF=24AF=1.2]，

解得[AF=20] m，[BH=EF=AF-AE=20-10=10] m，

故坡顶[B]至少向左移[10]米，才能保证山体不易发生滑坡。

本题为直角三角形的实际运用问题，解题的关键为找到[Rt△AFH]和[Rt△ABE]的联系，即[HF=BE]，结合这一关系，而后根据不同三角形的表达式进行计算，进而便可得到最终结果。

六、综合类问题

这类问题是对三角形相关知识的综合考查，不仅涉及三角形的基本性质，还涉及全等三角形、相似三角形的证明。因此，在解答这类问题时，学生要先明确解答目标，而后厘清题目信息，挖掘隐藏信息，进而搭建已知条件与解答目标之间的桥梁，厘清解题思路，最后进行求解。

［例6］如图9，已知等边[△ABC]的边长为[10]，点[D]为[AC]边上一点，[CD=6]，延长底边[BC]至点[E]，使得[CE]的长也为[6]，现有点[F]、[G]分别为[AB]、[DE]的中点，求[FG]的长。

解析：如图10所示，连接[DB]，取线段[DB]的中点[H]，连接[FH]，[GH]，再过点[F]作[FP⊥GH]于点[P]，

由题意知，[BE=BC+CE=16]，[AD=AC-CD=4]，

因为在[△BDE]中，[GH]为边[BE]的中位线，

所以[GH=12BE=8]，

又因为在[△ABD]中，[FH]为边[AD]的中位线，

所以[FH=12AD=2]，

因为[GH]∥[BE]，

所以[∠DHG=∠DBC]，

又[FH]∥[AD]，

所以[∠FHD=∠BDC]，

因为[△ABC]为等边三角形，即[∠DCB=60°]，

所以[∠DHG+∠FHD=∠BDC+∠DBC=120°]，

即[∠FHP=60°]，

因为[FH=2]，

根据勾股定理有[PH=1]，[PF=3]，

所以[PG=GH+PH=9]，

在Rt[△FPG]中，[FG=PG2+PF2=81+3=221]。

在解答本题时，需要添加辅助线，运用中位线定理、勾股定理等相关知识。首先根据题意做合适的辅助线，即连接[DB]，取线段[DB]的中点[H]，连接[FH]、[GH]，再过点[F]作[FP⊥GH]于点[P]，根据中位线定理得[FH=12AD=2]，而后进一步由[∠DCB=60°]计算出[∠FHP=60°]，最后借助勾股定理完成解答。

综上所述，本文总结了初中阶段关于三角形的常见问题，包括基本性质相关问题、翻折问题、全等三角形问题、相似三角形问题、直角三角形问题及综合类问题。因此，在日常的学习中，学生要重视对各类问题解答思路的总结与归纳，从而提升自身的综合素养。

［   参   考   文   献   ］

［1］  金木紅.初中数学相似三角形模型分析及应用［J］.数理天地（初中版），2023（15）：12-14.

［2］  张涛.全等三角形的基本模型与辅助线构造［J］.数理天地（初中版），2023（13）：6-7.

［3］  颜妮.中位线定理在解三角形问题中的应用［J］.数理天地（初中版），2023（13）：8-9.

［4］  陈燕.旋转特殊角度，构造特殊三角形［J］.现代中学生（初中版），2023（12）：17-18.

（责任编辑 罗 艳）