钟摆里的科学

棉线、羊角钉、重物、木棍、剪刀、尺子

1用尺子量一段长60厘米左右的棉线，对折后，一端固定在重物上，一端固定在羊角钉上，使棉线的有效长度为24厘米。再用尺子量一段长30厘米左右的棉线，同样的操作，使棉线的有效长度为12厘米。

2将系有24厘米棉线的羊角钉拧紧在木棍里。

3这时，需要另一名小伙伴帮忙，用手按住木棒，使它固定在桌子上，并让重物悬空。

4向右拉起重物，到一定角度（小于30度），保持绳子绷紧，放手后让它左右摆动。用手机倒计时，计算重物在1分钟内摆动的次数（一左一右为1次）。将重物拉到不同的角度，多尝试几次，计算重物在1分钟内摆动的次数是否相同。

5棉线长度不变（24厘米）的前提下，增加重物的质量后，如步骤4所述，再多尝试几次。

6换上刚刚准备好的系有12厘米棉线的重物，重复步骤4。

通过实验我们可以发现，只要棉线长度不变，即使改变重物的质量和初始位置，重物在相同时间（1分钟内）摆动的次数都是相同的。棉线长度越短，摆动的次数越多。

这是一个常见的结构，被称为单摆。单摆在摆动幅度不大的情况下，具有非常良好的等时性。早在17世纪，人们便开始利用单摆的等时性制造钟表。那么，单摆为何具有等时性呢？

为了弄清楚这个原因，我們需要补充一点数学知识。在角度不大的情况下，圆的一小段弧长与跨过这段弧长的直线（割线）数值是极为接近的，而且此时圆弧上的半径可以近似看作与割线垂直（α=2180-θ／２≈90度）。

我们将重力分解为两个方向的力，一个是沿着绳子的力，一个是在摆锤运动方向上的力，其中沿着绳子的力将与绳子的拉力相抗衡，而摆锤运动方向上的力将促使重物运动。

根据前面所提到的割线与弧长的关系，我们使用一条直线x的长度近似表示重物偏离原本位置的弧长长度。由以上讲述可知，三角形1与2均为直角三角形，角大小相等，则两三角形相似，所以运动方向的力与重力的比值和偏离平衡位置的距离与绳子长度的比值有着相似的比例关系。

由此可知，随着重物偏离中心位置的距离，垂直方向的分力将对应比例地增大。这就意味着重物越是偏离平衡位置，重力产生的返回平衡位置的力就越大。这和弹簧的周期运动是极为相似的。

重力在运动方向上的分力（供图/史金阳）

那么，我们与弹簧震动的周期作对比，得到单摆的周期（T）可以写为：

这个公式指出，单摆的周期与单摆的线长和当地的重力加速度有关。地球上的重力加速度仅与在地球上的纬度位置有关，当我们在距离相差不远的地方进行实验时，可以认为重力加速度对于摆锤的影响是非常接近的，那么单摆的周期仅与摆线的长度有关，所以无论更换怎样的重物，或者更改初始角度，单摆的周期都是一致的。

正如我们上面所提到的，我们使用了割线代替弧长，这种近似效果是有限的，在角度很大的情况下，会产生一定的周期差异。大家可以尝试将单摆的角度拉大，观察周期是否会发生变化。