初中数学非标准题型解题思路研究——以“换元法”为例

福建省南安市侨光中学

郑海萍

学生在日常解题中，一旦遇到非标准、非典型的题目，如果按照传统解题思路和模式进行解题，就会处处碰壁，出现甚至解题错误等情况.教师应指导学生另辟蹊径，引入一个或若干个新元素替代问题中的“元”，借助变量代换的方式，通过化繁为简、化难为易，逐渐降低解题难度.同时，鉴于换元法的特点，学生在学习和应用中，也逐渐拓展了自身的解题思路，培养了创新意识，促进了数学核心素养的发展.

1 换元法概述

换元法又称为“辅助元素法”“变量代换法”，主要是运用一个新的变量，代替原本题目中的某一个元素，即运用一个新的元素，代替问题中原来的“元素”，进而使得原本非标准、非典型的数学问题变得更加标准、典型，有效降低学生的解题难度.从本质内涵上来说，换元法就是变量代换、转化，其关键就在于合理选择出“新元”，并将其代入到数学问题中，进行适当的代换，促进数学问题的转化，以便于快速找到解题思路，顺利解决数学问题.

纵观初中数学解题现状，在实施“换元法”时，基本上都是遵循“换元—求解—检验”步骤进行的.常用的换元方法主要包括局部换元、三角换元、均值换元三种.其中，局部换元就是指在数学解题中，某一个代数式反复出现了几次，可采用一个字母进行代替，促使繁杂问题简单化.通常，这一换元方式应用于不等式问题的求解中；三角换元则是在解决去根号、变换为三角形的问题中，运用已知代数式和三角知识间的内在连接点进行换元，常常将函数问题转化为学生熟悉的三角函数进行解答；均值换元则常常应用于“两个未知量的和是已知”的情况，借助均值换元的模式，运用新的变量将两个未知量表示出来，进而完成数学问题的解答[1].

2 换元法在初中数学非标准题型解题中的具体运用

2.1 运用换元法解决方程问题

在初中数学解题中，换元是一种常用的解题方法.尤其是解决一些复杂的方程问题时，如果按照常规的解题方式，问题就会变得非常复杂，甚至超出学生的能力范围，致使学生难以解答.其实，这些题目中常常蕴含着换元的条件，如果对其仔细分析，找出可替换的“元”，并运用新的未知数进行代替，那么，原本复杂的方程问题会变得简单，以便于学生快速解出正确答案.

例1解方程(x2+5x+4)(x2+5x+6)=1.

如此一来，例1通过换元法的应用，避免了高次方程的出现，排除了学生无法解决问题的困扰，真正提升了学生的解题效率.学生经过一段时间训练之后，也能从换元解题中，感受到换元法的内涵，唤醒学生的数学解题动机[2].

2.2 运用换元法解决方程组问题

在初中数学解题中，如果方程组求解的难度相对比较高，学生无法按照常规的方式解决时，就可引导学生借助换元法，将原本复杂的方程组进行转化，比如将高次方程组转化为低次方程组.另外，在解方程组的过程中，有的方程组虽然可运用传统的方式解答，但计算量比较大，学生在繁琐的计算中，常常会出现各种各样的错误.鉴于此，也可借助换元法解题，减少计算量，避免解题错误.

分析：如果按照传统的方法解方程组，学生就会面临着复杂的计算，进而在繁杂的计算中，出现各种各样的错误，严重制约了学生的解题效率.鉴于此，例2可借助单参数换元的方法，设2(x+1)=3(y-1)=6k，对其进行化简，得出x=3k-1，y=2k+1，并将其代入到第二个方程中，得到5(3k-2)=3(2k+2)-7，解出k=1.所以x=3k-1=2，y=2k+1=3.

例2借助了换元法，将原来方程中比较复杂的代数式，运用一个简单的字母进行代替，使得原本的方程变得简单.需要说明的是，在借助这一方法解方程组时，应按照“设元—换元—求新元—回代—求解—验根”的步骤进行，真正提升数学问题解决的效率[3].

2.3 运用换元法解决因式分解问题

在初中数学学习中，多项式的因式分解是考查的重点，也是学生学习的难点.学生在因式分解时，需明确因式分解和整式乘法的关系，并在新旧知识对比中，掌握因式分解的方法.在诸多的因式分解方法中，换元法尤为常用，并以其独特的优势，深受教师和学生的青睐.

例3分解因式(x2+3x+2)(x2+7x+12)-120.

分析：在解答这一问题时，如果按照常规的解题思路，先利用乘法公式展开再分解，问题就会变得非常困难，而直接运用换元法似乎也不太可能.此时，学生必须要认真分析题目的结构，将其初步变形，得到(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120，之后对其重新组合，变形成为[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]-120，并化简为(x2+5x+4)(x2+5x+6)-120；之后，就可借助换元法，设x2+5x+4=y，则原式就等于y(y+2)-120=y2+2y-120=(y+12)(y-10)，之后再代回原来的表达式，得(x2+5x+4+12)·(x2+5x+4-10)，经过化简得出最终结果，即(x+6)(x-1)(x2+5x+16).

在例3的解答中，如何找到替换的“元”是关键.学生在解答该题之前，应对原式进行仔细观察和分析，将其适当变形，通过分解和重新组合，找到替换的“元”.之后，再借助换元法完成问题的解答.

2.4 运用换元法加强整式运算

在初中数学学习中，一些非标准型的整式运算相对比较复杂，学生在解决问题时，常常面临着无法下手、不知道如何解决的现象.鉴于此，可借助换元法，将整式中相同的部分视为一个整体，并借助新元进行代换，进而将复杂的整式运算转化为简单的数学问题.

例4计算：

(1-2-3-……-998)(2+3+4……+999)-(1-2-3-……-999)(2+3+4+……+998).

分析：在计算这一整式时，常规方法根本无法解决，唯有借助换元法的思想内涵，比如将(2+3+4+……+999)设为a，将(2+3+4+……+998)设为b，则原来的整式就可变为(1-b)a-(1-a)b，并据此进行求解.如此，通过换元法的应用，使得原本复杂的整式计算变得非常简单，真正提升了学生的解题效率[4].

综上所述，在初中数学解题中，学生常常会遇到非标准、非典型的问题，无法按照传统的方式进行解题，甚至在解题中频频出现错误.鉴于此，可基于换元法的特点，采用新“元”替换的方式，将原本复杂的数学问题简单化，以便于学生顺利解决这些问题.