例析求分式值的几种常用方法

甘肃省白银市白银区武川新村学校

王花香

分式的计算是“认识分式”这一章中的重点，而求分式的值是分式的计算中的重点.由此可见，掌握求分式的值的方法，对提高学生本章知识点的掌握程度和应用能力具有积极意义.所以，本文中在举例分析的基础上，利用举一反三或变式等方法，呈现求分式的值的几种常用方法，以期帮助一线教师不断提高课堂教学效率.

通过对近几年各地中考数学试卷的分类整理发现，求分式的值多以解答题形式出现，在某些省市区的试卷中也会以选择、填空题的形式出现.下面，笔者采用例题分析的方式展现求分式的值的几种方法.

1 参数法

参数法是解决求分式的值这类问题时最常用的方法，掌握这种方法，也就能解决大部分求分式的值的问题[1].

分析：这道题中的条件以等比的形式出现，那么可以假设该比的比值为k，把待求式转化为关于k的代数式的值.

x=3k，y=4k，z=6k.

方法总结：参数法指的是在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量(参数)，以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题[2].此外，运用参数法需注意两个问题：

第一，所设参数应保证不为零；

第二，不要受到引入的参数的干扰，因为最终该参数会消去.

在例1中，通过引入参数k，将x，y，z均用含k的代数式表示出来，最后消去参数k,求得结果.

y+z=kx，

①

x+z=ky，

②

x+y=kz.

③

于是，由①+②+③，可得

y+z+x+z+x+y=kx+ky+kz，

2(x+y+z)=k(x+y+z).

因为x+y+z≠0，所以k=2.

2 两头凑法

所谓两头凑法，其实就是观察条件的特点思考所求分式需要怎样的信息，或观察所求分式的特点思考需要怎样的条件[3].

④

将x=3y代入④,得

解法2：由于xy≠0，则根据分式的基本性质，将分式的分子、分母同时除以xy，得

所以，由⑤得

方法总结：解决分式的求值问题，最有效的方法是将题目已知条件和所求问题一同考虑.根据这一思路，首先要考虑条件能为所求问题提供什么有价值的信息，然后考虑所求问题需要条件能提供什么有效信息，这就是两头凑法[4].

需注意的是，在变形已知条件时，应该使变形所得到的式子在所求的式子中可用，如解法1；或者，变形所求的式子时，应该与已知条件有明显的、直接的联系，如解法2.

3 整体法

整体法和“认识分式”这一章中蕴含的整体思想有关联.

x+y=5xy.

⑥

所以将⑥代入⑦中，得

解法3：由题意可知x≠0，y≠0，所以xy≠0.

将分式的分子、分母同时除以xy，可得

总而言之，求分式的值的方法非常多.本文中所例举的参数法、两头凑法和整体法是几种比较常用的方法.这几种方法灵活性较强，一线数学教师应抓住机会构建高效课堂，让学生在这样的课堂中得到较充分的训练.