乌鸦喝水

黑黑

一只乌鸦口渴了，它到处找水喝。这时，乌鸦看见一个瓶子，瓶子里面有水。可是，瓶子里面的水并不多，瓶口又小，乌鸦喝不着水，急得团团转。过了一会儿，乌鸦想到了一个好办法，它把旁边的石子一颗一颗地放进瓶子里，想用这样的方法喝到瓶子里的水。

那么问题来了，乌鸦真的可以喝到瓶子里的水吗？往瓶子里放石子的方法在什么情况下都能奏效吗？

被“挤”上去的水

在放石子的过程中，乌鸦发现每放入1颗石子，水面就会上升一点儿，投入石子的体积越大，水面上升得越高。这是因为投入的石子有体积，它们会占据一定的空间。于是，石子就把与它们体积相等的水“挤”了上去。也就是说，被“挤”上去的水的体积恰好等于投入的石子的体积。

为了方便计算投入石子后的水面上升高度，我们可以假设瓶子为细口圆柱瓶，瓶底半径R为2.5 cm，瓶身高度为20 cm，初始水面高度为12 cm。而投入的所有石子都是大小相同的小石球，其半径r为1 cm。假设所有投入瓶子里的小石球都会紧密地排在一起，没有缝隙，并且球心都在同一条直线上。

当投入40颗小石球的时候，40颗小石球的体积为V=（πr3）×40=（cm3），水面上升的高度H=40颗小石球的体积÷瓶子底面积=（）÷πR2=（）÷π（2.5）2≈8.5（cm）。由此可知，乌鸦投入40颗小石球后，瓶子里的水面高度为12+8.5=20.5（cm），上升的水面高度足以让乌鸦喝到瓶子里的水。

上述情况只是理想情况，当乌鸦把各种形状的石子投入瓶子里后，石子间不可能没有空隙。同时，乌鸦能否喝到水，还跟瓶子里的初始水量有关。如果石子间的空隙过大而瓶子里的水又很少，那么即使乌鸦用石子把瓶子填满，它也无法喝到水。

空隙的影响可不小

当水的体积大于石子间空隙的体积时，乌鸦才能喝到水。因此，我们可以从体积的角度，重新认识乌鸦喝水问题。

为了方便理解，我们假设瓶子的形状为正方体，且不考虑瓶口的大小。乌鸦投入的石子是大小相同的球体，且瓶子边长是石球直径的n倍。石球在瓶子中的摆放位置如图所示。

这样的话，乌鸦喝水问题可以转化为一个数学问题：在一个边长为na的正方体中，放入n3个直径为a的石球，求其空隙部分的体积占总体积的比例。

石球的半径为，根据体积计算公式，可以计算出石球所占空间体积与瓶子的体积比为

·π·（）3·n3÷（na）3=≈52%

即空隙部分体积占瓶子总体积的百分比约为1-52%=48%。这表明，当瓶中的水不足瓶子体积的48%时，乌鸦将难以喝到水。假设乌鸦非常聪明，能使石子彼此之间挨得更加紧密，那空隙部分也得占瓶子体积的。而且生活中的瓶子一般是中下部较大，瓶口较细，这样的结构也会影响水面上升的高度。所以，当瓶子里的初始水量不到瓶子体积的一半时，乌鸦是很难喝到水的。

没想到吧，耳熟能详的乌鸦喝水的故事还能引出这样的数学思考。看来，咱们可不能小看了数学。想要验证乌鴉能否喝到水，快点儿找来石子和瓶子做实验吧！做完实验，赶紧扫描二维码，关注“数学大王”，和我们一起分享吧！