命题设计应体现教、学、评的一致性

文|章 莉（特级教师）

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”）指明了“素养立意”的课程育人方向，强调“教—学—评”一致性，指出：“评价不仅要关注学生数学学习结果，还要关注学生数学学习过程，激励学生学习，改进教师教学。”教学调研时，笔者发现很多教师的课堂教学仍存在重知识轻能力、重方法轻思维、重结果轻过程等问题。许多一线教师的数学命题过于注重对知识技能的机械考查，表现在目标单一化、内容浅表化、问题套路化，不仅没有发挥评价的育人导向作用，甚至还对教学产生误导。

下面，笔者结合在教学调研中发现的问题，依托苏教版教材内容，尝试提出数学命题设计的几点应对之策，以评促教，以评促学，助推日常教学的良性循环发展，让学生能在深度学习的场域中经历有意义的数学学习体验，帮助学生学会思考、学会学习，促进学生核心素养的有效提升。

一、“评”学习过程，让“教”有目标，促进学生深度参与

“深度学习是培养核心素养的重要途径”，深度学习的前提是深度参与，学生在挑战性问题驱动下，经历数学“再发现”的过程，在有意义的数学学习过程中，逐步产生对数学的好奇心、求知欲，以及对数学学习的兴趣和自信心。指向深度参与的命题重视对学习过程的评价，体现思考问题的路径及知识形成的过程，激发学生兴趣、认知、思维、情感的“高投入”，促进学生对知识的深度理解，培养学生主动探索的精神及数学发现的能力，实现显性教学目标与隐性教学目标的同步达成。

【教学问题】——“不考的内容不愿费时教”

苏教版四年级下册第96、97 页“多边形的内角和”这一课时内容，在历年测试中很少考查，即便有涉及本课内容的试题，也是以判断题的形式出现，比如：判断五边形的内角和为540°是否正确。这样，很多教师教学时便缩减过程，以教代学，学生只是获得了一个可以机械套用的数学结论。

【命题1】

基础性命题：

1.下面图1 中是三位同学探索五边形内角和时的分法，你最喜欢哪种？请你任意选择一种或几种分法，计算出五边形的内角和。（每种方法2 分）

图1

2.你能像图1 中A 的方法：从图2 中六边形的一个顶点出发，有序地分一分，做到不重复不遗漏，求出六边形的内角和吗？请写出计算过程。

图2

拓展性命题：

你们通过自己的研究，已经知道多边形的内角和的求法。你认识多边形的外角吗？多边形的边与它的邻边的延长线组成的角是多边形的外角。如下图，∠1、∠2、∠3 是三角形的三个外角，∠4、∠5、∠6、∠7 是四边形的四个外角。

（1）已知三角形的内角和是180°，根据图中内角与外角的关系，三角形的三个外角的和=180°×3－180°=360°。

（2）你能读懂上面三角形外角和的推导过程吗？请试着推导出四边形、五边形的外角和，写出你的思考过程：（）

（3）通过上面的研究，你能提出什么猜想？（）

（4）你能尝试验证你的猜想吗？请开动脑筋试试吧，可以画一画、算一算，写出你的主要思考过程。相信你会完成得很好！

【思考：命题1 变机械的“结果运用”为充满挑战的“问题探究”，激发学生再学习、再反思，强调在知识形成过程中应放慢教与学的脚步，体现参与式学习、理解性学习，对后续教学起到积极的导向作用。其中基础性命题依托教材内容，突出“多边形的内角和”探究过程的核心环节，让学生在多种转化方法的观察、比较中深刻体验化归思想、数形结合思想，并体现对不同方法的优化，让学生由学会到会学、学好。拓展性命题渗透“向相反方向”提出数学问题的方法，为日常课堂教学的延伸提供示范，以“多边形的内角和”为基础让知识自然生长，引导学生经历观察、计算、分析、猜想、验证、推理等数学活动，探索多边形的外角和，让学生再次感受从特殊到一般的探索数学规律、发现数学结论的方法，积累探索和发现数学规律的经验，发展学生数学探究能力及合情推理的能力。】

二、“评”数学思维，让“教”留空间，促进学生深度思考

深度思考是深度学习的核心，深度思考最重要的表现是具有反省性的思维活动。指向深度思考的命题设计要“注重考查学生的思维过程，避免死记硬背、机械刷题”。命题时创设问题情境，让学生对研究对象进行观察、比较、分析、判断、推理等，力求呈现不同学生的思维状态，让学生在思辨中实现思维由低阶向高阶发展。

【教学问题】——“考查已有定论的问题答案”

某小学五年级下册期末测试中有这样一道试题：

在正方形内画一个最大的圆，在圆内画一个最大的正六边形，如图所示，下列描述中最合理的是（）。

A.圆周长比直径的4 倍少一些

B.圆周长比直径的3 倍多一些

C.综合A 和B

D.无法确定

教师在批阅试卷时，对这道题的答案产生争议。有的教师认为这题的答案是B，理由：从数据大小来看，圆周率比3 多一些，而比4 少得多，所以不能选A；有的教师则认为这题的答案是C，理由：圆周率在3 和4 之间，故应综合A 和B 的说法。最终，由命题者一锤定音选C，争论方才停止。

这道题的设计源自苏教版小学数学五年级下册《圆的周长》一课的例5，教材的设计意图旨在让学生经历推理过程，认识正方形和内切圆、圆和内接正六边形的关系，发现圆的周长在直径的3 倍和4 倍之间，帮助学生积累数学活动经验，培养学生的推理意识。上述案例中，命题者存在两个问题：一是机械搬用教材内容，仅关注数学活动的外在形态，而忽视其内在意蕴；二是将原本丰富的数学思维活动过程窄化为对结果的关注、结论的机械记忆。这样的命题形式将导致教师在后续的教学中忽视过程性目标的达成，阻碍学生思维发展，加剧教学功利性。如果改变一下命题的问题情境并设计评价标准，就能更好地发挥数学命题的育人导向作用。

【命题2】

在正方形内画一个最大的圆，圆的直径用d 表示，再在圆内画一个最大的正六边形（如下图所示）。

评价标准：

水平一：仅判断华华和玲玲的说法是正确的，没有说明理由。（1 分）

水平二：仅判断其中一人的说法是正确的，并且理由充分，表述有条理。（3 分）

水平三：能综合两人的说法作出正确判断，并且理由充分，表述有条理。（5 分）

【思考：命题2 对教材例题进行改编，创设具有真实性的问题情境，指向学生思维的过程，不仅能引发学生积极参与的热情，还能激活学生的理性思考，促使不同思维层次的学生运用数学的思维方法去分析、思考、判断，有助于学生养成讲道理、有条理的思维习惯，培植学生科学求真的批判性思维，培养学生良好的思维品质。学生在解题过程中经历了一次学习体验，在对知识理解的同时，获得对数学思想方法的领悟。学生在解题过程中所表现的思维差异，也为教师的日常教学提供经验支撑，有利于教师依据学生的学习现实有针对性地展开教学。】

三、“评”意义关联，让“教”有结构，促进学生深度建构

静态的数学知识必须经学生的深度建构并达到意义的深刻领悟，才能真正内化和转化为学生“终身携带”的素养。2022年版课标指出：“在教学中要重视对教学内容的整体分析，帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系。”这条路径是促成学生深度建构的关键。指向深度建构的命题设计应关注知识的本源、关系与结构以及作用与价值，帮助学生学会用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，发展核心素养。

【教学问题】——“总复习就是切块回顾散点练”

在小学数学总复习阶段，教师最常用的方法就是按照教材内容分块，先对已学的知识点逐一回顾，再完成课本习题，一个板块内容复习结束后，一般以一张张复习卷进行机械重复的练习。复习过程的碎片化打破了知识逻辑上的关联性和系统性，不利于学生深入认识数学知识的本质，建立有意义的知识结构，束缚学生结构化思维的发展。

【命题3】

上面方框中的内容是一位老师的板书，你能看懂是什么意思吗？

李静同学是这样想的：

数的意义跟计数单位有关。

346=3×100+4×10+6×1，346 由3 个百、4 个十、6 个一组成；

整数、小数、分数都表示有多少个计数单位。

聪明的你看明白了吗？请从中选择你喜欢的一项或几项内容想一想，把你的想法写下来。

著名数学家华罗庚先生曾说“数源于数”。

【思考：2022年版课标和之前的2011年版课标相比，变化之一就是突出数学课程内容的整体性。新课标中“数与代数”领域将“数的认识”与“数的运算”整合为“数与运算”一个主题，沟通了数的概念与数的运算的联系，基于一致性，对数与运算的教学提出了新的要求。命题3 的设计充分体现新课标精神，抓住“计数单位的个数”这一核心概念，让学生在比较、联系、梳理中，感悟计数单位的意义、价值与应用，体会数的认识与数的运算的一致性，有助于学生从整体上认识数与运算的本质联系，促进学生数感、运算能力、推理意识等核心素养的提升。

命题3 的教学评价可引发教师在日常教学中能以整体性、结构化的视角去研究教学内容，积极探索提炼数学知识体系中的核心概念，围绕核心概念将零散的数学知识建立起系统化的知识结构，注重单元整体教学设计，找准教学的着力点，有针对性地培养相应的核心素养。

结合教学实践反馈，有几点提醒：一是提前渗透。比如，对数概念的建立，以“数起源于数”作为认识整数、分数、小数的基本路径，在认识10 以内的数时，通过一个一个地数，操作感知“几个一就是几”，渗透数的本质就是计数单位个数的累加。二是适度延伸。比如，运算一致性的教学，其中让学生理解加、减法的算理是计数单位个数的合与分相对容易，而对于乘除法中涉及计数单位与计数单位相乘除产生新的计数单位这种情况，要让学生基于运算的一致性理解算理就比较困难。对于这种情况，教学时应把握教学的度，不以教师的认知强加于学生。三是关联贯通。在小学阶段，基于“单位及单位的个数”一致性的教学不仅体现在“数与运算”主题，在“图形的测量”主题中同样存在。六年级总复习时，可以从度量的视角，对这两个板块的内容进行关联梳理（如下图），让学生体会其内在的一致性，促进学生结构化思维的发展。】

四、“评”灵活运用，让“教”有价值，促进学生深度应用

深度学习的教学要让学生从学会知识走向学会迁移、学会应用，在与现实生活的互动中实现知识的价值与核心素养的同步生成。命题设计要依据学生的发展水平，联系现实生活，“题目设置要注重创设真实情境，提出有意义的问题”，考查学生能否运用所学的数学知识和方法去分析、表达、解释实际问题，让学生在经历、体验中切实感受数学与生活的联系，领悟数学的应用价值，发展学生的应用能力。

【教学问题】——“‘大约’一般‘四舍五入估’”

苏教版小学数学三年级下册第2 页例2 是以实际问题为背景，渗透抽样估算，将数据分析、算法选择、解决问题融为一体，有助于学生在解决问题的过程中，体验估算的意义，发展初步的估算意识。有的教师在教学时忽视估算教学的核心目标，一是将估算方法单一化，在分析例题中“28、31、31、29、33”的数据特点时，教师强调估算时可以用“四舍五入法”将参与运算的数看作最接近的整十数；二是估算运用机械化，教师根据例题的问题提醒学生，看到问题中有“大约”一般就要估算。平时质量检测中，还经常出现直接估算的式题，如：43×68≈（ ）。这样的教学及评价，造成学生对“估算”的认识浅表化。

【命题4】

基础性命题：童星小学劳动基地种植的萝卜又丰收了。同学们把收获的萝卜装在同样大的袋子里，一共装了42 袋。李老师任意抽出其中的5 袋称一称，结果分别是21 千克、23 千克、18 千克、18 千克、22 千克。你能估算一下学校劳动基地这次收获的萝卜大约一共有多少千克吗？请写出你的估算过程。

提升性命题：为迎接学校举行的读书节活动，王老师打算为班级43 名同学每人购买一本图书，图书的单价是16 元。王老师准备800 元够吗？下面合理的估算方法是（），请说说你的理由：（）。

拓展性命题：童星小学有36 个班，平均每个班级38 人，每顿午餐学校都为每位学生配置一份牛奶。请你评价一下，下面（）的估算结果更合理，并说说你的理由：（）。

【思考：2022年版课标将估算从“数的运算”调整到“数量关系”，明确“估算的重点是解决问题”“在解决实际问题的过程中，能结合具体情境，选择合适的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用。”估算关注的是数量之间的关系，估算教学的重点是为了解决无需精算或无法精算的实际问题，关键是结合实际能选择合适的单位运用适宜的策略估算。估算在应用时要看问题情境与问题目标是否可以估算，与问题中是否有“大约”不存在逻辑关系。估算的策略要根据情境中问题目标灵活选择，估算的结果往往是开放的，不是以“正确”还是“错误”进行区分，而是根据具体的问题情境看其是否合理。估算有助于培养学生的数学直觉，提升学生的数学素养。

命题4 凸显估算与现实情境的联系，体现估算是研究数量之间的关系，分别指向估算运用的现实性、估算策略的适宜性及估算结果的合理性。基础题体现教材意图，引导学生关注数据，考查学生能否根据现实背景选择合适的单位，通过估算解决实际问题，培养学生的数据分析意识；提升题打破“四舍五入估”的思维定势，引导学生能够结合具体情境进行合理估算，考查学生能否从“够不够”的角度作出选择与评价，估算过程渗透了“大估”“小估”的策略；拓展题考查学生是否能从牛奶配置数量的合理性这个角度，作出更为理性的判断，感受估算结果有误差，但面对具体的现实问题时，要在方便计算的同时尽可能减少误差，学生在对提供的答案进行观察、比较、思辨的过程中，体会估算的价值，感悟估算策略的灵活性，有利于学生消除对估算的模式化认知。】

评价是教与学的“指挥棒”，教师要遵循课标要求，充分发挥命题的育人导向作用，积极探索可以促进学生深度学习的命题设计，倒逼教师重视教材的深度研读，关注学生的学习表现和思维状态，设计指向核心素养的深度学习过程，赋予教学丰富的内涵与意义，优化日常教学，让学生在体验性、理解性的学习中形成以“四基”“四能”为内核的核心素养，实现“教—学—评”一致性。需要提醒的是，指向深度学习的数学命题应根据评价目标需要，在一次测试中适量出现。