基于Bayes的饮食装备维修性验证与评估研究

宁初明，刘永新，沈灿铎，李燕军

(军事科学院系统工程研究院军需工程技术研究所，北京100010)

1 引言

饮食装备的可维修性是装备性能的重要组成部分，直接影响着装备保障性能的有效发挥，对饮食装备作业设备的可靠性及维修性进行试验评估也是验收我军升级改进和新研饮食装备的重要依据。在进行饮食装备维修性评估分析时，由于饮食装备总体规模偏小、故障和维修数据收集不成机制、维修性试验时间和经济成本过高等因素限制，饮食装备的维修性数据量通常都难以达到GJB2072-94中不少于30样本量的要求，维修性评估过程的小样本数据问题突出。因此，在保证维修性评估效果前提下，如何高效利用小量样本数据进行饮食装备的维修性评估分析始终是饮食装备维修性试验与评价研究的热点话题。

基于Bayes理论的小子样维修性验证经过多年的发展，其已在装甲装备、航空装备和舰艇导航装备等领域已有较为广泛的应用[1-3]。本文通过借鉴Bayes小子样理论和多源信息融合方法在导弹、装甲装备等领域的成功应用经验[4-6]，提出了一种在小子样条件下，基于Bayes理论和可信度加权的多源信息融合理论的饮食装备维修性评估建模分析方法，这不仅能为我军现有饮食装备的科学维修提供技术支撑，对减少饮食装备升级改造和研制过程中的试验次数，缩短试验周期，降低试验成本等方面也具有重要军事意义。

2 基于Bayes的小子样维修性评估模型分析

2.1 维修时间分布模型的确定

维修时间的总体分布的确定是基于Bayes的小子样维修性评估分析的基础前提，通过对维修时间的分布拟合和模型检验可确定维修时间的分布规律[7-9]。

1)维修时间分布模型拟合

维修时间分布模型的估计通常采用经验分步法和直方图法等方法来分析处理，而直方图法一般适用于连续数据的分析，在基于Bayes的小子样维修性评估分析中应用较为广泛。

假定维修时间为Y=[y1，y2，…yn]，其概率密度为f，则采用直方图法估计维修时间总体分布的过程如下：

①样本分组数

K=[1+3.32·ln(n)]

(1)

式中：[·]为向上取整。

②样本区间分点和区间间隔

在区间[a，b)的维修时间的区间间隔Δ如式(2)所示。

(2)

则区间[a，b)的各区间间隔分点如式(3)所示。

(3)

③样本频数和频率

令样本Y中数据在各小区间的个数为频数ni(i=1，2，…，n)，则各频数对应的频率fi如式(4)所示。

(4)

④维修时间分布直方图

根据维修时间样本Y的区间划分和频数情况，绘制维修时间的分布直方图，并拟合出维修时间的近似概率密度曲线f(x)。

2)维修时间分布模型检验

判断维修时间总体分布模型后，需对分布模型进行假设检验，通常采用适用于小样本数据检验的柯尔莫哥洛夫检验法(K～S检验法)。饮食装备维修时间一般为对数正太分布，则可利用柯尔莫哥洛夫检验法对维修时间分布模型进行检验。

对维修时间样本Y取对数并从小大顺序排序可得到新的维修时间样本X=[x1，x2，…xn]，则令样本X总体分布服从正太分布N(μ，δ2)。

(5)

(6)

则样本X的经验分布函数Fn(x)如式(7)所示。

(7)

经验分布函数Fn(x)与理论分布函数F(x)的最大偏差n如式(8)所示。

(8)

由给定的显著性水平α查表可得临界值nα，则对假设进行检验：若n

2.2 基于可信度加权的多源验前分布确定

由于样本数据的小子样特性，需确定样本数据的验前分布密度。

1)单一信息源验前分布

采用精确度较高的随机加权法来计算先验分布，其算法实现过程如下：

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

2)基于可信度加权的多源信息融合

采用对服从对数正太分布的多源信息融合效果优良且计算合理方便的基于可信度加权的融合理论来对饮食装备的历史维修时间数据和不同型号维修时间数据等多种信息源进行加权融合得到信息源的验前分布[10-11]，再经Bayes理论修正后得到信息源的验后概率密度函数。

假设饮食装备的初始信息源数量为m，采用信息源与中心数据的波动程度Si作为多源信息融合的可信度权重引子，Si越小表明数据可信度越高，则Si可由式(14)和式(15)所示获得

(14)

(15)

对可信度权重引子进行归一化处理，第i个信息源权重wi为可由式(16)和式(17)所示获得。

(16)

(17)

则信息源融合后的验前密度π(θ)可由式(18)所示获得

(18)

式中：θi为第i个信息源的分布参数。

通过现场试验得到试验样本Θ=(θ1，θ2，…，θn)，令f(θi|θ)为第i个试验信息的似然函数，则可得如式(19)所示的试验样本Θ的似然函数

(19)

则由Bayes理论可得如式(20)所示的修正后的信息源验后概率密度函数π(θ|Θ)

(20)

2.3 基于Bayes的维修性评估模型验证

表1 维修性评估模型验证主要参数

作如式(21)的假设

(21)

式中：θ0为合同给出的平均维修时间指标值。

1)一致性检验

假设的验前概率比如式(22)所示

(22)

由Bayes公式及式(22)可得如式(23)所示的假设的验后概率比为

(23)

(24)

也即

(25)

当式(24)成立时，认为平均维修时间MTTR符合要求，即接受原假设，否则拒绝。

1)样本量确定

(26)

(27)

2)定义如式(28)和式(29)所示的类风险α、β。

(28)

(29)

P0、P1为H0、H1的验前概率密度，其表达式如式(28)和式(29)所示

(30)

P1=1-P0

(31)

由式(28)和式(29)可得采用Bayes理论进行维修性评估所需的最小试验样本量如式(32)所示

(32)

式中：Z为标准正太分布的上分为点。

则采用Bayes理论和经典方法进行维修性评估所需的试验样本关系如式(33)所示

(33)

由式(33)可知，采用Bayes理论的维修性评估可有效减小试验样本量，这表明基于Bayes的小子样维修性评估是可行的。

3 基于Bayes的平均维修时间估计

(34)

(35)

(36)

平均维修时间的均值和方差的Bayse估计[8]如式(37)和式(38)所示

Em(θ|X)(x)=μ1

(37)

(38)

则均值θ在置信度为1-α时的区间估计[a，b]应满足式(39)的关系。

(39)

则均值θ的置信下界a和置信上界b应满足式(40)和式(41)的关系

(40)

(41)

则均值θ的置信下界a和置信上界b分别如式(42)和式(43)所示

(42)

(43)

则平均维修时间在置信度为1-α时的区间估计[Ta，Tb]的时间下界Ta和上界Tb分别如式(44)和式(45)所示

(44)

(45)

4 饮食装备维修性验证与评估分析

以某型饮食装备关键系统维修性为研究对象，其历史平均维修时间数据TL、相似型号平均维修时间TX和现场试验数据TT分别如式(44)、式(45)和式(46)所示，维修性主要参数如表2所示

TL=[26，14，21，30，70，69，20，21，18，65，24](min)

(46)

TX=[16，35，26，16，40，28，42，33，

(47)

TT=[13，26，10，50，21，31，42，30，46](min)

(48)

表2 饮食装备维修性的主要参数

4.1 平均维修时间总体分布

从图1可初步认为历史平均维修时间服从对数正太分布，下面利用K～S检验法对历史平均维修时间分布模型进行检验。

图1 历史平均维修时间分布直方图

将TL取对数并按从小到大排序可得样本XL～N(μ，σ2)，则K～S检验的主要数值如表3所示。

表3 饮食装备平均维修时间K～S检验

4.2 多源信息融合的验前分布确定

对历史平均维修时间和相似型号平均维修时间采用随机加权法对其均值进行3000次仿真分析，可得如图2和图3所示的仿真分布图。

图2 历史数据验前分布仿真直方图

则通过仿真拟合可得历史平均维修时间和相似型号平均维修时间的验前分布分别如式(49)和式(50)所示。

图3 相似型号数据验前分布仿真直方图

π1(θ)～N(3.3735，0.57722)

(49)

π2(θ)～N(3.2592，0.46032)

(50)

由式(15)可知两组数据的可信度权重引子Si分别为S1=0.307、S2=0.1993，由式(17)可得其权重因子wi分别为w1=0.4785、w2=0.5215。则由式(18)可得融合后的验前如式(51)所示

π(θ)～N(3.313，0.13482)

(51)

4.3 基于Bayes的平均维修时间评估模型验证

则维修性评估验证的判决规则为：若现场试验5次维修时间的对数均值满足式(52)

=4.4568

(52)

则认为符合维修性要求，否则拒绝。

采用Bayes理论进行平均维修时间评估所需的最小试验样本量远小于GJB2072-94中30个以上样本要求，因此可以说基于Bayes理论的维修性评估可显著减少所需试验样本量。

4.4 基于Bayes的平均维修时间估计

(53)

(54)

则由式(44)和式(45)可得在置信度为0.95时的平均维修时间区间估计的下界Ta和上界Tb分别如式(55)和式(56)所示

(55)

(56)

同理可求得置信水平为0.90、0.80时平均维修时间的Bayes估计，其具体计算结果如表4所示。由表4可知，现场试验样本得到的平均维修时间点估计与合同给出的平均维修时间基本一致，这表明采用Bayes的平均维修时间估计方法是有效的，且随着置信水平的下降，平均维修时间估计区间范围也在缩小。因此，在饮食装备维修性的置信水平确定后可求取平均维修时间估计区间，若现场维修时间在平均维修时间估计区间即可认为饮食装备的可维修性达到规定要求。

表4 平均维修时间的Bayes估计

5 结语

本文以小子样的饮食装备维修性为研究对象，利用Bayes理论对饮食装备维修性进行了验证分析，并对不同置信水平下的平均维修时间进行了评估分析。结果表明，采用Bayes理论的维修性评估可显著减少所需试验样本量，从而可有效降低试验次数，缩短试验周期；利用Bayes方法进行平均维修时间估计是可行的，且随着置信水平的下降，平均维修时间估计区间范围也在缩小。