单元整体设计，提高思维能力——以《四边形——矩形》设计为例

楼立焕

一、单元设计的意义与作用

课堂教学中会碰到教师课堂教学目标不明确，学生参与度低的情况，原因主要是教师对教学的整体把握欠缺，笔者在对教材的整体研究过程中，更深刻地体会到单元整体教学的重要。从系统角度把握单元知识，找到单元核心知识、核心技能是关键，以核心知识(技能)统筹单元所学知识，从而实现从单个知识到整体单元的跨越，这也是进行“思维课堂”的必经之路。明确了这一点之后，就不难进行单元的统整设计了。首先要进行的就是单元核心知识的罗列，从而明确单元主题，后续的分步教学、活动设计、单课目标都围绕这一主题及单元核心知识展开。

二、以四边形为例的单元内容和内容解析

在单元设计中考虑到学生们对平行四边形有一定的掌握，因此，在平行四边形的演示环节，将平行四边形转化为矩形，便于学生们理解平行四边形与矩形之间的联系，根据演示结果来试着总结矩形的定义；在学习平行四边形性质时，从轴对称角度分析矩形性质，促进学生们对知识运用的质量得到有效提升；同时，在教学过程中积极引入现实案例，从学生们身边挖掘数学抽象问题，并在课堂上加以详细解析，使学生们能够在课堂上感受到数学源于生活并可以服务生活的作用，有利于提升学生的学习兴趣。

四边形是三角形后第二个学习的直线型的几何图形，因此其学习模式可遵循三角形学习的一般模式，比如从概念、性质、判定、应用等方面进行研究，从一般到特殊的方向进行延伸；并且四边形作为多边形内容的具体实例来讲为后续的多边形学习提供了学习依据。但同时我们也需要关注四边形与三角形之间的差异性，这种差异性往往就是四边形最为重要的特质所在，而对特殊四边形的学习，我们需聚焦到各四边形内部的联系与各自的特征，从单元整体的角度去进一步感知其特性与具体问题之间的联系(图1)。

图1

本节课为四边形的第二课，在平行四边形基础上抓住矩形的特征，也就是直角所带来的相关性质、判定以及结构特征，矩形的复习将为后续复习菱形和正方形提供参照模板和对比对象，而直角所构建的轴对称模型和直角三角形正是我们定性研究和定量运算的优良载体。对矩形的学习是建立在平行四边形的基础上研究的第一个特殊平行四边形。这样的结构设置就决定了矩形的教学价值有三个。

1.传承了三角形从一般到特殊的研究形式，通过强化条件，得到新图形研究新的性质。

2.强化研究几何图形的几个维度，以及概念、性质、判定之间的联系。

3.为研究菱形、正方形提供坚实的探究基础。

因此，我们的复习模式应遵循几何研究的一般思路，让几何复习形成完整并且相互联系的单元结构。而作为特殊平行四边形的典型代表，突破矩形的方式主要有两种：第一，轴对称背景下的定性研究；第二，依托于直角的定理计算，所以在复习时应从高视角深入地再认识矩形，取得以一破百的效果。

【单元目标和目标解析】

1.单元目标

(1)通过单元整体复习，理解各类四边形的内在联系，提升对四边形整体架构的认识。

(2)通过区分四边形的差异，进一步体会各四边形的结构特征，加深对四边形特性的理解。

(3)以四边形特征为切入点，通过解决具体问题，理解四边形的性质、结构特征。

2.目标解析

本节课的内容建立在单元目标的基础下，通过对整体框图的再认识，进一步理解四边形的内在联系，从而在解决问题时能合理选择突破口，抓住问题核心。通过对矩形结构特征的进一步认识，解决具体问题，加深对矩形特性的理解。解决问题之后及时进行总结归纳，理解矩形的性质和结构特征在解决问题中的具体作用。

【单元教学问题诊断分析】

对单元整体复习来说，存在的障碍主要有以下几点。

1.对整体理解的差异性。

2.对方法选择的不确定性。

3.对基本结构与基本方法总结提炼的困难性。因此本节单元的内容重点在理解四边形之间的联系，难点在各图形的特征结构。

【单元教学支持条件分析】

为了有效实现教学目标，根据问题诊断的要求，决定采用几何画板进行变化与归纳，采用同频技术及时反馈学习成果，精准地解决问题，培养学生的数学思维能力，探寻数学规律。

【单元教学过程设计】

环节一：课时框架梳理

问题1：四边形基本研究思路是怎样的？

解析：在研究四边形时，在转化思想的引导下，可以将其看做两个三角形的组合来进行研究。其辅助线可以取对角线，利用对角线来将四边形分割为两个三角形，同时结合三角形的性质去判断四边形的性质。在实际教学当中，要注重引导学生辅助线的画法与思路，帮助学生们培养问题研究能力与分析总结能力，同时在合理掌握演绎推理当中运用所学知识来解决新问题，是教学中体现出以生为本育人思想的重要过程。

问题2：这个直角为矩形整体性质与结构特征提供哪些作用？

解析：矩形四个角均为直角，实际上在平行四边形中，只要一个角为直角，均属于矩形，与此同时，由于内角为直角，所以矩形的对角线性质与平行四边形的对角线性质并不相同。平行四边形的对角线可以不相同，但是矩形的对角线一定相同，在教学中，可以引导学生们来证明矩形对角线相同，即以角相同为性质可判断其线相同。

问题3：对直角你又会产生什么想法？

解析：在几何学当中，直角属于角度为90°的角，从矩形中来看，四个内角均为直角，而从三角形来看，当三角形含有直角时，均为直角三角形，即一角为90°，另外两角和为90°。而对平行四边形来讲，当一角满足直角的要求，即可将其视为矩形。

环节二：例题精讲

【例1】下列命题判断正确的是

(B)

A.有一组邻边相等的平行四边形是矩形

B.顺次连接菱形四边中点所得的四边形是矩形

C.有一个角是直角的四边形是矩形

D.一组对边平行且相等的四边形是矩形

解析：该题考查的是学生对矩形性质的理解与掌握，从A选项来看，“有一组邻边相等的平行四边形是矩形”，从矩形性质来看，假设平行四边形的邻边角为90°，平行四边形可以为矩形，而选项并未说明邻边角为90°，所以排除A选项；从B选项来看，结合菱形性质与三角形中位线性质来看，B选项正确；从C选项来看，当四边形一角为直角时，四边形为矩形，并不满足矩形性质，当四边形非平行四边形时且满足一角为直角时，此时的四边形未必为矩形，所以排除C选项；D选项当中“对边平行且相等的四边形是矩形”，可以联系平行四边形性质来看，平行四边形也满足对边平行且相等，但是平行四边形并不等于矩形，所以排除D选项。综合所述，该题答案选B。

【例2】如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连结EB，EC，DB。添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是

(C)

A.AB=BEB.BE⊥DC

C.∠ADB=90° D.CE⊥DE

问题1：矩形的判定可以从哪些起点出发，需要何种条件？

解析：在判定矩形时，需要满足该图形为平行四边形的前提，即对边平行且相等，而题目已知四边形ABCD为平行四边形，此时可以利用对角线相等或内角为直角的思路去判定，所以在确定是否满足对角线相等或内角为直角时，需要利用辅助线证明。

问题2：矩形和菱形的判定方式存在哪些联系与差异？

解析：矩形和菱形均属于特殊的平行四边形，但是矩形的邻边不一定相同，而菱形的邻边一定相同；从对角线上来看，矩形的两条对角线相同，而菱形的两条对角线不一定相同，矩形的两条对角线不一定相互垂直，而菱形的两条对角线一定相互垂直。从相同点来看，矩形与菱形均具备平行四边形的基本性质，且为轴对称图形。

【例3】如图，已知矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，∠AOD=120°，AB=4cm，

(1)判断△AOB的形状。

解析：由题目条件可知四边形ABCD为矩形，而∠AOD=120°，根据三角形性质可判断∠AOB=180°-∠AOD=60°，且再联系矩形对角线性质可得知OB=OA，所以再联系三角形性质，当∠AOB=60°且OA=OB时，OB=OA=AB，即△AOB为等边三角形。

(2)求矩形对角线的长。

解析：由于△AOB为等边三角形，所以该矩形的宽为对角线的一半，而根据题目条件得知AB=4cm，所以在求解时可得知AC=BD=2AB=2×4cm=8cm。

(3)点P是AD上任意一点(点P不与点A，D重合)，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，求PE+PF的值。

【例4】如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE=15°，则∠AEO=30°。

解析：联系已知条件得知∠BAE=45°，而∠CAE=15°，所以∠BAC=45°+15°=60°，可知△OAB为等边三角形，所以∠AOB=60°，同理△ABE为等腰三角形，AB=BE=OB，所以此时可得知△BOE为等腰三角形，根据已知条件得知∠OBE=30°，因此∠BOE=∠BEO=75°，由于∠AOB=60°，所以∠AOE=60°+75°=135°，又已知∠CAE=∠OAE=15°，因此可得出∠AEO=180°-15°-135°=30°。

【例5】如图，在矩形ABCD中，将∠C沿着BF折叠，使点C落在AD上，点C的对应点为点E，若AB=6，BC=10，求AE，DF的长。

问题1：矩形中的直角在解决此类问题中扮演何种角色？

解析：在解决这类问题当中，直角三角形不仅可以利用勾股定理计算边长，同时可以在三角形相似中进行推理与计算，从而能够帮助求解。在初中数学图形证明题当中，关于矩形证明题的应用十分常见，学生要能在这其中熟练掌握矩形性质，方能在解题中游刃有余。

问题2：能否体会矩形在定量运算中作为良好载体的作用？

解析：矩形属于比较特殊的平行四边形，其中内角为直角，所以在图形边长定量计算当中，矩形可在其中体现出良好的载体作用。

提炼：体会利用矩形中的直角得到直角三角形，利用勾股定理解决求具体线段长度的作用。

环节三：课堂小结

1.总结矩形的基本性质与判定方法。

2.罗列本节课所学到的矩形的基本结构。

3.分析利用矩形解决具体问题的思路。

【单元整体设计思考】

矩形在初中数学板块中占据着重要的地位，矩形的教学工作涉及大量的逻辑推理方法，而这些需要在学生已有的直观感知基础上充分研究矩形命题，使学生们能够从中逐渐认识几何研究中逻辑推理的重要性。而本节课单元教学整体效果良好，达到了预期的教学目标，且突出了教学重难点，但是在课后反思中发现仍旧有一些不足之处：①在例题精讲中，名为精讲，实则讲解未透彻。事实上，在几何习题中，对学生们的逻辑思维能力考查较多，而发散性思维的有效体现则是数学学习的关键，但是笔者在讲解例题时忽略了激发学生发散性思维的重要目标，从某种程度上来讲，不利于实现活学活用的目的。②学生们在课堂上出现思维性错误属于比较常见的现象，而此刻作为教师，应当及时引导学生，培养其思维能力，但是事实上笔者并没有对学生做好积极的引导，多以讲解题思路来代替思维引导，对学生们的数学学习积极性有一定的负面影响。而初中几何教学十分考验数学教师的教学基本功，所以综合本节课教学，笔者觉得在教学工作中，还有很多有待提升之处，希望在以后教学中要对这些问题加以重视和关注。

三、结语

综合文章研究结果可以看到，在单元整体教学设计中，教师需要兼顾整体教学目标，促进各子单元教学之间的内在联系在学生们学习认知中得到有效提升，取得良好的效果。文章以矩形单元教学内容为例，在开展案例分析与例题精讲中，帮助学生们提升自身数学知识认知能力，实现培养学生思维能力与数学综合应用能力的整体单元教学目标。