初值含Dirac函数的一个简化趋化性模型的Riemann问题

孙寅酉, 郭俐辉, 刘冬冬

(新疆大学 数学与系统科学学院, 乌鲁木齐 830046)

0 引 言

趋化现象源于细胞或细菌的趋化性, 是一种基本的生物学现象, 趋化性是指单细胞或多细胞生物在化学信号的作用下, 沿化学信号的浓度梯度做定向运动的特性.Keller和Segel[1]提出了刻画细胞或者细菌趋化性的Keller-Segel模型, 也称为趋化性模型.本文考虑由缩化趋化方程组[2]

(1)

简化而得的一维非严格双曲守恒律方程组

(2)

其中：p(≥0)表示细胞密度；q=-ν/ν,ν表示化学物质浓度；参数ε是一个反映细胞和化学物质之间反应程度充分小的正数.事实上, 方程组(2)可由方程组(1)令ε→0得到, 即在方程组(2)中, 化学反应过程消失.

目前，关于Dirac激波和趋化模型的研究已有很多结果[2-14].文献[3]证明了含三片小扰动初值的非严格双曲守恒律方程组Riemann解的稳定性, 其Riemann解中包含Dirac激波.文献[2]构造了方程组(2)带有初值

(3)

的Riemann解.

近年来, 含Dirac初值相关问题的研究得到广泛关注[15-18].Wang等[15]研究了带有Dirac初值的一维Chaplygin气体方程组, 利用广义Rankine-Hugoniot条件和熵条件得到了Riemann问题的整体解, 并证明了解的稳定性.本文利用文献[15]的方法, 研究一维非严格双曲守恒律方程组(2)带有初值

(4)

的Riemann解, 其中δ表示Dirac函数,m0,q0,p±,q±是任意常数, 且满足p±≥0.本文分析当p±>0时所有情形的全局Riemann解, 由于当p±=0时全局解的构造过程类似, 故只给出结果.

1 预备知识

下面简述Riemann问题(2)-(3)的解, 详细过程参见文献[2,19].Riemann问题(2)-(3)的基本波为驻波

(5)

和接触间断

J(p-,q-):λ2=σ2=-q=-q-.

(6)

当q±<0时, Riemann问题(2)-(3)的解为SW+J; 当q±>0时, 其解为J+SW; 当q->0>q+时, 其解为J+SW+J; 而当q-<0

(7)

其中x(t),uδ(t)和β(t)分别为DSW在t时刻的位置、波速和权重.

2 带有Dirac初值的Riemann问题

2.1 当p±>0时, Riemann问题(2)-(4)的解

当p±>0时, 根据q±,q0和0之间的大小关系, 将该问题分为以下5种情形讨论.

情形1)q-≤0且q0,q+<0(若q-,q0>0且q+≥0, 构造解的过程类似).

首先考虑方程组(2)和初值

(8)

的全局解, 其中ε>0且充分小.基于弱解的稳定性理论, 当ε→0时, 由问题(2)-(8)的整体解可得问题(2)-(4)的整体解.

由q-≤0且q0,q+<0知, 从(-ε,0)发出一个SW1和一个J1, 从(ε,0)发出一个SW2和一个J2.当时间t足够小时, 问题(2)-(8)的解如图1(A)所示，其结构为

(p-,q-)+SW1+(p1,q1)+J1+(m0/(2ε),q0)+SW2+(p2,q2)+J2+(p+,q+),

其中(p1,q1)和(p2,q2)分别满足(p1,q1)=(p-q-/q0,q0)和(p2,q2)=(m0q0/(2εq+),q+).由J1的传播速度为-q0>0且SW2的传播速度为0知,J1和SW2会在点(x1,t1)=(ε,-2ε/q0)处发生相互作用.在t=t1时刻, 又产生一个新的Riemann问题, 其初值为

(9)

由于q1=q0<0且q2=q+<0, 故此Riemann问题的解由SW3,J3和中间状态(p3,q3)构成, 其中(p3,q3)=(p-q-/q+,q+).由J2和J3的传播速度均为-q+知, 它们不会发生相互作用.从而当t>t1时, 问题(2)-(8)的解可表示(见图1(A))为

(p-,q-)+SW1+(p1,q1)+SW3+(p3,q3)+J3+(p2,q2)+J2+(p+,q+).

(10)

当t>0时,δJ的位置、权和传播速度分别为

x(t)=-q+t,β(t)=m0,uδ(t)=-q+,

(11)

其初值为

(x,β,uδ)(0)=(0,m0,0).

(12)

易证δJ满足广义Rankine-Hugoniot条件(7), 其中[p]=p+-p3.

图1 当q-≤0且q0,q+<0时，Riemann问题(2)-(8)的解(A)和Riemann问题(2)-(4)的解(B)Fig.1 Solutions of Riemann problem (2)-(8) (A) and Riemann problem (2)-(4) (B) when q-≤0 and q0,q+<0

情形2)q-,q0>0且q+<0(若q->0且q0,q+<0, 则解的构造过程相似).

分析方法与情形1)相似, 可得Riemann问题(2)-(8)的解如图2(A)所示.令ε→0, 则问题(2)-(4)的解如图2(B)所示，可构造为

(13)

其中(p3,q3)和(p4,q4)分别满足

(p3,q3)=(0,q+), (p4,q4)=(0,q-).

(14)

当t>0时,δJ的位置、权和传播速度分别为

x(t)=-q-t,β(t)=m0,uδ(t)=-q-,

(15)

且其初值为式(12).易证δJ满足广义Rankine-Hugoniot条件(7), 其中[p]=p4-p-.

图2 当q-,q0>0且q+<0时，Riemann问题(2)-(8)的解(A)和Riemann问题(2)-(4)的解(B)Fig.2 Solutions of Riemann problem (2)-(8) (A) and Riemann problem (2)-(4) (B) when q-,q0>0 and q+<0

情形3)q-≤0,q+≥0且q-,q0和q+不同时为零.

由于q0是任意常数且当q0=0时, 其不能为分母, 故需分q0≠0和q0=0两种情形构造全局解.

①q-≤0,q0<0且q+≥0(若q-≤0,q0>0且q+≥0, 解的构造过程相似).

此时, 从(-ε,0)发出一个SW和一个J, 从(ε,0)发出DSW1.当时间t充分小时, 问题(2)-(8)的解如图3(A)所示，其结构为

(p-,q-)+SW+(p1,q1)+J+(m0/(2ε),q0)+DSW1+(p+,q+),

其中(p1,q1)=(p-q-/q0,q0).

由J的传播速度为-q0>0且DSW1的传播速度为0知,J和DSW1会在点(x1,t1)=(ε,-2ε/q0)处发生相互作用.当t

(16)

在t=t1时刻, 产生了一个新的Riemann问题, 其初值为

(17)

由q0<0≤q+知, 该Riemann问题的解为一个DSW2, 它连接了(p1,q1)和(p+,q+)两个状态, 其位置、权和传播速度分别为

(18)

从而当t>t1时, 问题(2)-(8)的解如图3(A)所示，其结构为

(p-,q-)+SW+(p1,q1)+DSW2+(p+,q+).

至此, 已完全得到问题(2)-(8)的整体解.令ε→0, 则Riemann问题(2)-(4)的解如图3(B)所示，可构造为

(19)

当t≥0时,DSW的位置、权和传播速度分别为

x(t)=0,β(t)=(p+q+-p-q-)t+m0,uδ(t)=0,

(20)

其初值为式(12).易证DSW满足上述广义Rankine-Hugoniot条件(7), 这里[p]=p+-p-.

②q-≤0,q0=0,q+≥0且q-,q0和q+不同时为零.

由于q0=0, 故此时不会出现波的相互作用, 于是有：

(i) 若q-<0,q0=0且q+≥0, 则从(-ε,0)和(ε,0)分别发出一个Dirac驻波DSW1和DSW2.令ε→0, 便得到问题(2)-(4)的全局解为式(22), 如图3(B)所示.

(ii) 若q-=q0=0且q+>0, 则从(-ε,0)和(ε,0)分别发出一个SW和DSW.当ε→0时, Riemann问题(2)-4)的全局解为式(22), 如图3(B)所示.

图3 当q-≤0, q0<0且q+≥0时，Riemann问题(2)-(8)的解(A)和Riemann问题(2)-(4)的解(B)Fig.3 Solutions of Riemann problem (2)-(8) (A) and Riemann problem (2)-(4) (B) when q-≤0, q0<0 and q+≥0

情形4)q->0,q0≤0且q+≥0(若q-≤0,q0≥0且q+<0, 解的构造过程相似).

分析方法与情形3)中①类似, 可得Riemann问题(2)-(8)的解如图4(A)所示, 令ε→0, 则Riemann问题(2)-(4)的解如图4(B)所示，可构造为

(21)

其中(p1,q1)=(0,q-).当t≥0时,DSW的位置、权和传播速度分别为

x(t)=0,β(t)=p+q+t+m0,uδ(t)=0,

(22)

其初值为式(12).易证DSW满足上述广义Rankine-Hugoniot条件(7), 其中[p]=p+-p1.

图4 当q->0, q0≤0且q+≥0时，Riemann问题(2)-(8)的解(A)和Riemann问题(2)-(4)的解(B)Fig.4 Solutions of Riemann problem (2)-(8) (A) and Riemann problem (2)-(4) (B) when q->0, q0≤0 and q+≥0

情形5)q->0,q0=0且q+<0.

此时从点(-ε,0)发出一个J1和一个SW1, 从点(ε,0)发出一个SW2和一个J2, 没有波的相互作用发生.问题(2)-(8)的解如图5(A)所示，其结构为

(p-,q-)+J1+(p1,q1)+SW1+(m0/(2ε),0)+SW2+(p2,q2)+J2+(p+,q+),

其中(p1,q1)和(p2,q2)分别满足

(p1,q1)=(0,q-), (p2,q2)=(0,q+),

J1和J2的传播速度分别为-q-和-q+.令ε→0, 则m0/(2ε)→∞, 此时形成一个DSW, 从而Riemann问题(2)-(4)的解如图5(B)所示，可构造为

(23)

当t≥0时,DSW的位置、权和传播速度分别为

x(t)=0,β(t)=m0,uδ(t)=0,

(24)

其初值为式(12).显然DSW满足上述广义Rankine-Hugoniot条件(7), 其中[p]=p2-p1.

图5 当q->0, q0=0且q+<0时, Riemann问题(2)-(8)的解(A)和Riemann问题(2)-(4)的解(B)Fig.5 Solutions of Riemann problem (2)-(8) (A) and Riemann problem (2)-(4) (B) when q->0, q0=0 and q+<0

2.2 当p-=0或p+=0时Riemann问题(2)-(4)的解

由于当p±=0时的全局Riemann解可以由p±→0(00时所有情形的Riemann解, 所以易得p±=0时的解.先给出当p-=0时问题(2)-(4)的全局Riemann解.

1) 若q-,q0>0且q+≥0, 则Riemann问题(2)-(4)的全局解为δJ+SW;

2) 若q0,q+<0, 则Riemann问题(2)-(4)的全局解为SW+δJ;

3) 若p+>0,q-,q0>0且q+<0, 则Riemann问题(2)-(4)的全局解为δJ+SW+J;

4) 若p+>0,q-≤0,q0≥0且q+<0, 则Riemann问题(2)-(4)的全局解为DSW+J; 当p+>0,q->0,q0=0且q+<0时, Riemann问题(2)-(4)的全局解也为DSW+J;

5) 若q-≤0,q+≥0且q-,q0和q+不同时为零, 则Riemann问题(2)-(4)的全局解为DSW; 当q->0,q0≤0且q+≥0时, Riemann问题(2)-(4)的全局解也为DSW.

下面给出p+=0时的全局解.

1) 若q-,q0>0, 则Riemann问题(2)-(4)的全局解为δJ+SW;

2) 若q-≤0且q0,q+<0, 则Riemann问题(2)-(4)的全局解为SW+δJ;

3) 若p->0,q->0且q0,q+<0, 则Riemann问题(2)-(4)的全局解为J+SW+δJ;

4) 若p->0,q->0,q0≤0且q+≥0, 则Riemann问题(2)-(4)的全局解为J+DSW；当p->0,q->0,q0=0且q+<0时, Riemann问题(2)-(4)的全局解也为J+DSW;

5) 若q-≤0,q0≥0且q+<0, 则Riemann问题(2)-(4)的全局解为DSW; 当p->0,q-≤0且q+≥0时, Riemann问题(2)-(4)的全局解为DSW; 当p-=0,q->0,q0=0且q+≥0时, Riemann问题(2)-(4)的全局解也为DSW.

3 数值实验

下面利用迎风格式的数值模拟[20]验证上述结果的正确性.仅对情形1)、情形3)中①和情形5)在ε=0.01和ε→0时做数值模拟, 其余情形类似.

例1为验证情形1)中δJ的形成, 给定初值

(p-,q-)=(5,-0.5), (m0/(2ε),q0)=(300,-2), (p+,q+)=(10,-1).

情形1)在ε=0.01和ε→0时的数值模拟结果分别如图6和图7所示.对比图6和图7可见,ε→0时比ε=0.01时p值大很多, 且随着ε的减小p值趋于无穷大, 这与情形1)中p2→∞一致, 从而数值模拟结果与情形1)的全局Riemann解相符.

图6 例1中当ε=0.01时Riemann问题(2)-(4)中p和q的值Fig.6 Values of p and q in Riemann problem (2)-(4) when ε=0.01 in example 1

图7 例1中当ε→0时Riemann问题(2)-(4)中p和q的值Fig.7 Values of p and q in Riemann problem (2)-(4) when ε→0 in example 1

例2为验证情形3)的①中DSW的形成, 给定初值

(p-,q-)=(4,-2), (m0/(2ε),q0)=(300,-5), (p+,q+)=(2,1).

情形3)中①在ε=0.01和ε→0时的数值模拟结果分别如图8和图9所示.由图8和图9可见,ε→0时比ε=0.01时p值大很多, 表明在x=0处出现了一个DSW.

图8 例2中当ε=0.01时Riemann问题(2)-(4)中p和q的值Fig.8 Values of p and q in Riemann problem (2)-(4) when ε=0.01 in example 2

图9 例2中当ε→0时Riemann问题(2)-(4)中p和q的值Fig.9 Values of p and q in Riemann problem (2)-(4) when ε→0 in example 2

例3为验证情形5)中DSW的形成, 给定初值

(p-,q-)=(4,2), (m0/(2ε),q0)=(300,0), (p+,q+)=(2,-2).

情形5)在ε=0.01和ε→0时的数值模拟结果分别如图10和图11所示.当ε=0.01时, 由图10可见，p值在x=0处有一个明显的跳跃变化.当ε→0时, 由图11可见, 两条线在x=0处重合,p值明显增大, 表明在x=0处出现一个DSW.

图10 例3中当ε=0.01时Riemann问题(2)-(4)中p和q的值Fig.10 Values of p and q in Riemann problem (2)-(4) when ε=0.01 in example 3

图11 例3中当ε→0时Riemann问题(2)-(4)中p和q的值Fig.11 Values of p and q in Riemann problem (2)-(4) when ε→0 in example 3