广义Fibonacci和Lucas四元数矩阵的行列式

杨衍婷

（咸阳师范学院数学与统计学院，陕西咸阳 712000）

Fibonacci 数是最著名的数列之一，它具有许多有趣的性质，在数学、计算机等领域有着重要的应用。关于Fibonacci 数，有许多推广的定义和性质。在文献[1]中，Kalman 通过下面的递推关系引入了m阶广义Fibonacci数

因此，对于所有的整数n，递推关系式（1）总成立。类似地，对于任意的整数n，m阶广义Lucas序列是

1843 年，Hamilton 引入了四元数。作为复数的一种扩展，它是实数ℝ 上的一个4维结合但非交换代数。四元数广泛应用于计算机科学、物理学、微分几何，量子物理和纯代数等领域。四元数q定义为如下形式q=q0+q1i+q2j+q3k,其中，1,i,j,k是ℝ4中的标准正交基，满足四元数乘法规则

i2=j2=k2=ijk=-1,ij=k=-ji,

jk=i=-kj,ki=j=-ik。

许多组成是整数序列的四元数被定义。例如，Horadam[2]定义了n阶Fibonacci 和Lucas 四元数：

Qn=Fn+Fn+1i+Fn+2j+Fn+3k，

Kn=Ln+Ln+1i+Ln+2j+Ln+3k，

其中：Fn与Ln分别是n阶Fibonacci和Lucas数。关于Fibonacci 和Lucas 四元数，有许多研究[3-6]。例如，Halici[3-4]研究了Fibonacci,Lucas 和复Fibonacci 四元数，给出了它们的生成函数和Binet公式,导出了一些求和公式和矩阵表示。Halici[5]引入了新的四元数序列，指出新的四元数序列包括之前介绍的Fibonacci,Lucas,Pell,Pell-Lucas，Jacobsthal 和Jacobsthal-Lucas四元数序列，得到了Binet公式，并给出了该新四元数序列的Cassini 恒等式、求和公式和范数值。Tan[6]对经典Fibonacci 四元数，Pell 四元数,k-Fibonacci 四元数等文献中最著名的四元数进行了推广，给出了这些推广的四元数的生成函数和Binet公式，并利用Binet公式得到了一些著名的结果。

四元数矩阵的行列式在四元数上的线性代数中起着重要的作用。Li[7]给出了八元数矩阵行列式的一个定义，并令其满足尽可能多的性质。类似于八元数矩阵行列式的定义[7]，四元数矩阵行列式如下。

为了探讨广义Fibonacci 和Lucas 四元数矩阵的行列式，首先给出m阶广义Fibonacci和Lucas四元数的定义。

定义2对于任意的整数n，m阶广义Fibonacci 和Lucas四元数定义为

根据四元数矩阵行列式的定义1，研究了m阶元素为m阶广义Fibonacci 和Lucas 四元数的矩阵的行列式。首先，当m=2,3,4 时，计算了广义Fibonacci和Lucas 四元数矩阵的行列式的取值。然后，对于任意m≥2 的整数，将结果一般化。最后，对于某些特殊情况，即c1=c2=…=cm=1 且m=2,3,4 时给出了具体的行列式的值。

2 广义Fibonacci 和Lucas 四元数矩阵的行列式的计算

为了计算行列式，首先给出Binet型公式。

定理1对于任意的整数n,m阶广义Fibonacci 和Lucas 四元数的Binet型公式如下

证明根据等式(2)(3)(4)(5)(6),结论成立。

为了得到行列式的值，给出下面的引理1。

引理1对于四元数矩阵行列式，有

证明根据四元数矩阵行列式的定义和性质，即交换行列式的两行或两列，行列式的值反号，可得

定理2对于任意整数n，可得

证明根据Lucas 四元数矩阵的行列式的定义和性质以及Binet型公式，可得

根据Fibonacci四元数矩阵的行列式的定义和性质以及Binet型公式，可得

证明根据Lucas 四元数矩阵行列式的定义和性质以及Binet型公式，借助于引理1，有

根据Fibonacci四元数矩阵行列式的定义和性质以及Binet型公式，借助于引理1，有

证明类似于定理2与定理3的证明，可得结论。

一般地，定理2,3,4的结论可扩展如下。

定理5对于任意整数n，可得

证明通过对行列式进行拆项，并交换行列式的行和列，借助于引理1，可得