借古钱币文化 培养数据观念——2022年徐州中考数学第25题分析*

曹希刚 (江苏省邳州市八义集初级中学 221300)

疏 嘉 (江苏省徐州市教育科学研究院 221300)

笔者参与了2022年徐州中考数学第25题的命题和阅卷工作，该题不仅考查学生的数据分析素养，还渗透了中国文化，促使学生对中国传统文化的传承和热爱，贯彻落实教育部明确考试命题注重弘扬中华传统文化的要求.2022年版课标将数学课程要培养学生的核心素养表述为“三会”，即会用数学的眼光观察世界、会用数学的思维思考世界、会用数学的语言表达世界[1].其中“用数学的语言表达世界”在初中阶段的主要表现就包括数据观念，徐州中考第25题正是反映我们教学要关注培养学生数据观念的素养.通过总结徐州中考第25题命题前的打磨，以及对阅卷中考生的答题情况进行分析，以期实现一线老师在平时教学中培养学生的数据观念，探寻传统文化与数学知识的联系，提高学生的核心素养.

1 问题呈现

如图1，下列装在相同的透明密封盒内的古钱币，其密封盒上分别标有古钱币的尺寸及质量，例如：钱币“文星高照”密封盒上所标“45.4× 2.8 mm，24.4 g”是指该枚古钱币的直径为 45.4 mm，厚度为2.8 mm，质量为24.4 g.已知这些古钱币的材质相同.

图1

根据图中信息，解决下列问题.

(1)这5枚古钱币，所标直径的平均数是mm，所标厚度的众数是mm，所标质量的中位数是g；

(2)由于古钱币无法从密封盒内取出，为判断密封盒上所标古钱币的质量是否有错，桐桐用电子秤测得每枚古钱币与其密封盒的总质量如下：

名称文星高照状元及第鹿鹤同春顺风大吉连中三元总质量/g58.758.155.254.355.8

请你应用所学的统计知识，判断哪枚古钱币所标的质量与实际质量差异较大，并计算该枚古钱币的实际质量约为多少克.

2 答案呈现

(1)45.74，2.3，21.7.

(2)因为

名称文星高照状元及第鹿鹤同春顺风大吉连中三元总质量/g58.758.155.254.355.8盒标质量/g24.424.013.020.021.7盒子质量/g34.334.142.234.334.1

所以“鹿鹤同春”密封盒质量异常，故“鹿鹤同春”所标质量与实际质量差异较大.

注：以其余4枚钱币的某个密封盒作参考，估算“鹿鹤同春”的实际质量，扣1分.(55.2-34.3=20.9 g或55.2-34.1=21.1 g)

3 命题准备

3.1 古钱币的成功经验

我们知道，数据有多种多样，无论是哪种数据，它的来源与真实性是非常重要的.2021年徐州中考第8题也是研究古钱币问题：

如图2，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3∶1，则圆的面积约为正方形面积的( ).

图2

A.27倍 B.14倍 C.9倍 D.3倍

这是一道选择题，考查了几何面积计算，当时本原创题反响很大，受到广大教师的关注，说明教师对这种蕴含中国文化的题目很感兴趣，也能够帮助学生在一定程度上了解中国传统文化.所以2022年再次以圆形古钱币为背景，不仅考查学生数据观念，而且弘扬中国传统文化，命题教师正巧也酷爱收藏古钱币，并且有典型的数据出现错误问题(图3).

图3

古钱币放在相同的密封盒内，从鉴定专家给出的数据发现中间的古钱币太轻，于是预测可能出现数据错误，所以就以此为背景，借助“曹冲称象”的典故，测量数据，渗透统计思想.过程是：先通过测量各个古钱币的毛重(包括盒子重量和古钱币)，再利用各个古钱币的毛重减去各个古钱币的盒标质量，计算各个密封盒质量，由于前提是“相同的密封盒”，所以很容易发现中间的古钱币质量是否真的有误，这样就形成了统计的调查基本过程，为后续考查学生的数据观念埋下了伏笔.

3.2 研究数据

通过试做发现，学生很容易想到把密封盒砸开或是打开，所以问题前加上这样一句话：“由于古钱币无法从密封盒内取出，为判断密封盒上所标古钱币的质量是否有错.”学生想到相同的密封盒其质量不会有误，这样明确了古钱币的质量是有误的，考生就有明确目标，需要收集数据，弄清各个古钱币的毛重，再减去古钱币盒标质量，通过计算得出密封盒质量，最后对这些数据进行考察，最终判断中间的古钱币出现错误.这个统计过程就是考生对这些数据不断进行分析，最后判断，解决问题，形成结论，最终求出古钱币的质量.

3.3 统计的基本过程

让学生计算该枚古钱币的实际质量约为多少克，考查了学生的数据处理能力，而学生可能会想得太多，利用一些物理知识或是其他的方法来求，与命题者的意图不符.为解决这种情况发生，于是加上这样的提示语：“请你应用所学的统计知识，判断哪枚古钱币所标的质量与实际质量差异较大，并计算该枚古钱币的实际质量约为多少克.”这样就大大降低了学生走弯路的可能性.古钱币盒标质量出现问题，这是以真实的问题，形成了统计调查问题，出现问题就要通过测量，得出数据，通过分析数据，对结果进行解释，从而解决问题.在这一过程中，对数据的分析也不是一蹴而就的，而是循环往复的过程，需要不断地补充数据，不断对数据进行收集、分析再收集再分析，最终解决问题，就像鲍建生教授对统计的基本过程用图4的方式进行解读，更具有说服力.

图4

4 发现问题

阅卷工作结束后，据统计：2022年徐州中考第25题共7分，均分为4.24分，难度系数0.6.在命题时考虑学生会出现的错误，在阅卷中发现不少，如有的考生没有用统计的知识解决问题，有的考生对数据不会分析，有的考生对数据处理前后矛盾，具体分为以下几种情况.

4.1 读不懂数据、数据处理错误

考生对数据过于敏感，看到数据感到无从下手，有恐慌之感.有的考生看到钱币“文星高照”密封盒上所标“45.4×2.8 mm，24.4 g”，不明白到底是什么意思，对数据不会分析，更不知道其意义，这是丢分的主要原因.还有的学生出现简单的计算错误，如由于小数点没有对齐，在求平均数时出现错误.细节决定成败，这些都是失分的最重要的原因.种种小细节说明，一道题往往考查学生的多种能力，“数学核心素养”不是孤立存在的，而是互相融合的.运算素养还需要加强培养，做题态度也要端正，不能出现字迹潦草且写错别字，如“鹿鹤同春”写成“鹿春同行”，还有些学生漏掉单位，书写不规范，语言没有条理，等等.

4.2 没用统计的知识解决问题

考生没有审清题意，题目规定是利用学过的统计知识进行规范答题，但学生读题不仔细，直接利用相似知识点或是用物理知识来做题，最后发现解决不了问题.也许这些学生看到古钱币的实际质量就想到物理学知识，这些恰恰说明学生统计观念淡泊，看到一些数据，没有用数据回答统计的问题，而是答非所问，所以命题人员规定让学生利用学过的统计知识来答题是必要的.

4.3 不能正确处理数据

5 教学反思

通过本题研究，笔者建议教师在平时教学中，培养学生“数据观念”时要注重以下几点.

5.1 数据来源注重真实的问题情境

真实的数据对学生更具有吸引力，所以要注重数据来源于真实的问题情境.尽量让学生参与数据测量的全过程，重视学生实验，教师要肯花时间培养学生去观察、交流，并形成调查报告，这些过程就是真实的情境教学，这样的教学能够培养学生多方面的能力.不仅如此，问题呈现要注重学科的融合，2022徐州中考第25题除了培养学生数据分析的能力，还注重对传统文化的渗透.平时在教学中，要培养学生热爱大自然，热爱中国文化，注重天文、地理、历史文化的熏陶.若平时对这方面进行培养，学生在考试时遇到类似古钱币的传统文化问题，就不会害怕，而会产生深厚的兴趣.

5.2 深度分析收集数据

数据蕴含着信息，我们需要根据问题的背景和所要研究的问题确定数据收集、整理和分析的方法.从古钱币问题可以发现，数据往往是有误差的，甚至是错误的，所以对数据进行分析是解决现实问题的关键.在平时的教学中，课堂上要关注学生思考的深度.让学生充分思考，多花一些时间和空间让学生自由展示，不要只关注表面上的现象，让学生深度分析数据，不能计算一种古钱币的密封盒质量就开始计算“鹿鹤同春”的盒标质量，从而导致失分.因此，只有让学生经历深度分析数据，方可对数据进行解释，将问题研究得更彻底、更深入.

5.3 创造性地使用教材

徐州中考数学第25题是原创题，对考生来说很新鲜，这说明我们教师在平时的教学中要创造性地使用教材.数学教材为学生的数学学习活动提供了学习主题、基本线索和知识结构，是实现数学课程目标、实施数学教学的重要资源.教师在使用教材时，不能照搬生套教材的结构线索，而是要从知识的形成过程去分析教材、理解教材、挖掘教材，从而读懂教材，创造性地使用教材，在教学中诠释教材所承载的课标精神.犹如海中的冰山，我们不能只看到海平面上的冰山一角，而要发现海平面下方冰山的根基[2].在平时教学中，如果教师经常创造性地改编教材，学生就不是对“古钱币问题”感到陌生，而是积极迎接挑战，因此，通过学生会看、会想、会表达，让学生把自己的思维用自己的语言表达出来，可以说给小伙伴听，也可以说给老师听，只有这样，学生才能思维更活跃，思路更清楚，也就更能落实“数据观念”.