基于微分博弈的流域水污染治理研究

张国兴 ，霍晓楠

（1. 华北水利水电大学 管理与经济学院，河南 郑州 450046；2. 华北水利水电大学 黄河流域生态经济系统可持续发展研究中心，河南 郑州 450046）

伴随着经济的高速增长，中国环境污染问题日益严峻，而“水”作为生态、生产、生活所必需的自然资源，水污染治理成为目前我国各流域面临的重大难题。其中，工业废水排放是造成重点流域水污染的主要原因之一，作为废水排放主体的“企业”也成为水污染治理的重点关注对象[1]。国家越来越重视绿色发展和技术创新对生态文明建设和污染治理的促进作用，政府多次发布污染控制、污染治理等相关的政策法规鼓励地区和企业进行创新。虽然生产技术清洁化创新有利于提高资源利用效率、减少污染物排放量[2]，但提高生产技术投资会增加企业经营成本，且其投资效果具有滞后性，进而影响企业的创新积极性。因此，需要政府与企业共同努力，提高流域生产技术清洁化水平，从源头上降低流域水污染。为此，本文将流域污染企业生产技术清洁化水平视为可由投资改变的变量，通过建立微分博弈模型，探讨现有生态补偿机制下流域生产技术进步与水污染治理之间的关系，以期为流域水污染治理和生态补偿机制的完善提供对策建议。

对于以高耗能、高污染产业为经济发展支撑的流域而言，流域产业结构的优化升级以及生产技术的升级进步都能够显著促进流域内经济社会的可持续发展。罗文兵等[3]建立污染企业退出的完全信息静态博弈模型，总结了污染企业退出失败的原因，并提出相应的建议。沈园等[4]通过对松花江流域沿岸重点监控企业的废水产生量、水质等进行量化分析，探究它们对水环境的潜在威胁程度。张珊珊等[5]运用核密度方法对太湖流域污染企业集聚现状及未来发展布局进行分析。于慧等[6]研究了污染企业的空间集聚对流域水污染的影响。李国平和王奕淇[7]构建了关于中央、地方政府及污染企业的演化博弈模型，并着重点出了污染企业在流域污染治理中的重要性。

本文所涉及的跨界水污染治理指府际间的水污染治理，其中的府际关系指中央政府、上游政府和下游政府之间的关系。目前对于跨界水污染治理的研究主要集中于该现象产生的性质及原因。部分学者认为跨界污染治理难题是由中国经济增长方式及制度体制不合理造成的。李静等[8]通过实证分析证明淮河流域行政边界效应显著，对此政府应当改变单一的考核标准、加强考核监管；鼓励各政府间进行合作治理并建立明确的分工机制。还有部分学者认为跨界污染问题产生的根源在于利益的冲突。Huisman等[9]通过对莱茵河水污染治理的分析得出，不同国家间的利益冲突是环境治理协议失效的主要原因。List & Mason[10]认为跨界水污染治理的关键在于“成本收益”问题，政府对待可以转移的“污染”没有治理环境的自觉性和激励性，只有找到关乎成本收益、切实可行的规划方案才有助于解决跨界污染问题。易志斌和马晓明[11]认为跨界水污染治理的政策手段各有优劣，因此，要综合考虑每种行政手段的成本和效率。刘洁等[12]以南水北调工程为对象，提出其跨界污染治理的利益相关方包括上下游政府、公众和风险源企业。高旭阔和席子云[13]利用系统动力学和演化博弈模型，分析了政府与排污企业在不同奖惩措施下的行动策略。杨志等[14]在左右岸水污染的博弈研究中，通过量化达标排放的奖惩金额，提出制订奖惩结合的政策机制。

此外，目前关于“清洁技术”和“技术进步”的研究很多，Acemoglu[15]提出技术偏向内生化模型，认为生产技术水平的提高指企业在利润最大化目标驱使下，将技术向节约成本高的生产要素发展的变化趋势，而本文的生产技术进步仅指由技术创新引起的企业生产过程中资源利用效率的提升和污染物排放量的减少。从本质上来看，流域生产技术水平的提高就是要求企业进行技术创新、实现技术进步、发展清洁生产技术。现有研究表明，技术进步可以有效降低污染物的排放[2]和环境治理资金的投入[16]。陈晓红等[17]运用演化博弈研究了环境规制约束下企业绿色技术转型发展的演进规律。孔繁彬和原毅军[18]运用双寡头博弈模型进行环境规制、环境研发和绿色技术进步的关联性分析。基于此，本文通过将生产技术水平视为可以通过投资而提升的内生变量，建立了以省内污染企业生产技术水平为关键变量的微分博弈模型。

基于上述对流域污染企业治理、跨界水污染治理以及生产技术研究的梳理可以发现，有关污染企业和跨界水污染治理问题的研究已经十分充分。但将污染企业生产消费品的数量、生产技术水平等因素纳入跨界水污染治理博弈分析的研究相对较少。因此，本文将污染企业生产技术作为可以随生产技术投资水平改变而改变的内生变量建立微分博弈模型，以期为流域污染治理体系的建立和完善提供建议。

1 水污染治理的微分博弈

1.1 府际间生态补偿作用机制

由我国现行生态补偿政策可知，上游政府是流域生态环境的治理者以及受偿方，下游政府是水环境治理的受益者以及补偿方；中央政府既是水环境治理的治理者，同时又是生态环境改善的受益者以及补偿方。因此，流域内相邻省份之间的横向生态补偿所涉及的利益相关方大体上可划分为三个层级——中央政府、地方政府以及地方企业。一方面，中央政府起引导和监督作用，中央政府建立筹集中央生态环保资金，用于引导流域上游地方政府积极主动地配合建成跨省流域横向生态补偿机制，促进实现流域整体利益最大化，推进流域经济实现高质量发展；流域下游地方政府是中央政府与地方企业之间政策指令传达的媒介，接受中央政府的指导和监督，统筹本区域内企业的生产发展，以期实现区域利益最大化；地方企业是政策的执行者以及产业技术升级的践行者，企业在政府监督管理下规范自身的生产发展，在符合政策法规的情况下，追求股东利益最大化。另一方面，产业技术升级促使单位产品污染量减少，使得区域产业能够在即得的污染排放指标下生产更多的产品，从而促进区域经济的增长，同时中央政府和地方政府可以获得更高的经济及政治收益。

1.2 符号说明与模型假设

1.2.1 符号说明

本文主要符号及变量的含义如表1所示。

表1 符号说明与变量设定

1.2.2 模型设定

流域内政府为实现区域经济发展、企业为追求盈利，在连续时间内持续生产。此时政府i（i=1, 2；1代表上游政府，2代表下游政府）在其生产技术水平θi(t)下生产消费品数量为φi(t)时的水污染物排放数量为Ei(t)。则设水污染数量Ei(t)与生产技术水平θi(t)及消费品生产数量φi(t)三者之间的关系满足式（1），假定生产消费品的数量φi(t)一定，则θi(t)的值越小，生产单位消费品所产生的水污染Ei(t)越少。即θi(t)越小，生产单位消费品所产生的水污染数量越小，表明省份i（i=1, 2）的污染企业的生产技术水平越先进；反之，θi(t)的值越大，表明省份i（i=1, 2）的污染企业的生产技术水平越落后。

由于水污染物排放量随污染企业生产技术水平的提高而降低，政府i（i=1, 2）可以通过对污染产业生产技术进行投资来减少生产单位消费品的水污染排放量。考虑相邻地区存在技术溢出效应，如下游政府（j）也可能受益于上游政府（i）在生产技术上的投资。假定污染产业生产技术溢出强度β∈[0, 1]，当β取0时，表明不存在技术溢出效应；当β取1时，表明存在完全溢出；当β取值在0到1之间时，表明存在技术溢出效应，但不是完全溢出的[19]。假定省份i（i=1, 2）的瞬时产业技术升级投资量为Ii(t)，生产技术升级的投资成本满足函数关系为常数，满足投资边际报酬递减），则其生产技术水平的动态变化符合如下方程：

其中，初始边界条件满足θi(0)=θi0。

由于同一流域内，水污染物的存量具有累积性，假定上游政府排放的水质保持在稳定水平，令水污染物的初始存量满足P(0)=P0，则水污染物的动态变化符合如下方程：

设定污染企业生产消费品所获得的效益Ui及生产消费品所排放水污染物产生的损害Di(P(t))、Dj(P(t))分

别满足函数：

其中，p、q、w均为大于0的常数。式（4）假定效益函数Ui是增函数，且其生产单位消费品增加的效益随产量的增加而减小。则此时省份i（i=1, 2）的净收益函数如下：

2 模型求解与结果分析

2.1 情景1非合作博弈

省份i为实现自身利益最大化，调整消费品产量φi(t)以及污染产业生产技术升级投资额Ii(t)，优化资源配置，以期实现净收益最大化。此时有：

假定下游省政府（j）的治理策略已知，则建立上游政府（i）当期现值汉密尔顿函数ψi：

式中：miη(t)（η=1, 2, 3）代表非合作博弈下的当期值汉密尔顿乘子，且t∈[0, +∞]。

则现值汉密尔顿函数最优条件方程为：

由当期乘子方程满足条件：

整理可得：

由式（11）、（12）联立可解得非合作博弈下生产技术投资Ii(t)和消费品产出量φi(t)的动态变化方程：

假 定 博 弈 双 方 有φi(t)=φj(t)，Ii(t)=Ij(t)，θi(t)=θj(t)，则稳态状态下，即时，由式（2）、（3）、（13）联合计算得方程组：

解方程组式（14）可得非合作博弈下，两省政府最优策略的技术升级投资金额、生产技术水平、水污染物存量及消费品产量均衡解：

由式（14）、（15）可知，在非合作博弈情景下，污染产业生产技术升级→单位消费品产出水污染物减少→生产相同产量消费品所产出的水污染物减少，且技术溢出效应对技术升级投资金额、生产技术水平、水污染物存量及消费品产量都有负向影响。

2.2 情景2合作博弈

在合作博弈中，上游政府与下游政府谋求两省整体利益最大化，即：

由此建立现值汉密尔顿函数ψij：

式中：mσ(t)（σ=1, 2, 3）代表合作博弈下的当期值汉密尔顿乘子。

则现值汉密尔顿函数最优条件方程为：

当期乘子方程满足：

由式（18）、（19）联立可解得合作博弈下生产技术投资Ii(t)和消费品产出量φi(t)的动态变化方程：

假 定 博 弈 双 方 有φi(t)=φj(t)，Ii(t)=Ij(t)，θi(t)=θj(t)，则稳态状态下，即时，由式（2）、（3）、（20）联合计算得方程组：

解方程组式（21）可得合作博弈下，两省政府最优策略的技术升级投资金额、生产技术水平、水污染物存量及消费品产量均衡解：

在合作博弈中仍有污染产业生产技术升级→单位消费品产出水污染物减少→生产相同产量消费品所产出的水污染物减少，且技术溢出效应对技术升级投资金额、生产技术水平、水污染物存量及消费品产量都有负向影响。

2.3 微分博弈模型稳定性分析

2.3.1 非合作博弈的稳定性分析

首先，在非合作博弈情形下，存在符合要求的参数使得稳态均衡解是鞍点。其次，设动态控制系统（2）、（3）、（13）的雅可比矩阵J的特征值和特征向量为和它们满足其 中则该动态控制系统的一般解可以表示为式（23），其中C为由初始条件决定的常数：

2.3.2 合作博弈的稳定性分析

首先，在合作博弈情形下，存在符合要求的参数使得稳态均衡解是鞍点。其次，设动态控制系统（2）、（3）、（20）的雅可比矩阵J的特征值和特征向量为和它们满足其 中则该动态控制系统的一般解可以表示为式（24），其中C为由初始条件决定的常数：

2.4 均衡结果的比较分析

在上述讨论中，我们分析了合作与非合作两种情形中上游政府和下游政府的博弈均衡，在本节中将对两种情况下的博弈均衡结果进行静态比较分析：

（1）水环境改善水平的比较分析。对比上游政府与下游政府非合作与合作博弈水污染物存量的稳态均衡结果，可知P*＞P**，即非合作博弈下流域的水污染存量水平高于合作博弈，则：相较于非合作博弈，合作博弈下的流域水生态环境更加清洁。

（2）污染企业消费品产量的比较分析。对比上游政府与下游政府非合作与合作博弈污染企业消费品产量的稳态均衡结果，可知即φ*＞φ**，则：相较于合作博弈，在非合作博弈下，两省污染企业可以生产更多的消费品。

（3）生产技术水平的比较分析。对比上游政府与下游政府非合作与合作博弈生产技术水平的稳态均衡结果，可知θ*＞θ**，则：相较于非合作博弈，在合作博弈下，两省污染企业拥有更高的生产技术水平。

（4）净收益的比较分析。由式（4）、式（5）、式（6）、式（14）、式（21）联立可知均衡结果下，上游政府与下游政府非合作与合作博弈的净收益关系为：V*＞V**，则：相较于非合作博弈，合作博弈下两省政府能够获得更高的净收益。

3 数值仿真

3.1 案例背景

黄河流域作为我国重点生态保护和经济发展区域，存在水资源总量少、开发程度高、利用效率低的发展现状[20]。2021年中共中央、国务院印发的《黄河流域生态保护和高质量发展规划纲要》（下文简称《纲要》）中指出，黄河流域最大的矛盾是水资源短缺、最大的问题是生态脆弱。为此在《纲要》中提出要强化环境污染系统治理，加强对高耗水、高污染工业企业的监管，以期倒逼企业进行生产技术创新升级。为响应黄河流域高质量发展战略，河南省和山东省签订了黄河流域第一份省际间流域生态补偿协议。《纲要》中提出要推进污染行业清洁生产，第二产业中的煤炭、火电等行业更是实现生产清洁化的重点，河南省和山东省2020年第二产业增加值总和为51 487.53亿元，占流域总产值的40.18%。因此，企业既是黄河下游的主要经济来源，又是水污染管控的主要对象。2020年政府发布《支持引导黄河全流域建立横向生态补偿机制试点实施方案》，随后河南省政府和山东省政府签订了《山东省人民政府河南省人民政府黄河流域（豫鲁段）横向生态保护补偿协议》。这是横向生态补偿机制在黄河流域的首次尝试，同时也是对补偿策略的不断尝试和调整，因此，以河南和山东两省为例进行分析，以期为流域水污染治理和横向生态补偿机制的可持续发展提供有用的建议。

3.2 参数赋值及仿真

鉴于数据可得性和相关性，以河南省和山东省第二产业及高污染行业等的相关数据为例进行分析。2020年河南省和山东省的工业废水排放量为133 359万吨、规模以上工业企业R&D经费内部支出为43 231.67万元、第二产业总产值为13 656 187亿元，主要工业产品产量为原油6 855 770万吨、生铁28 612.2万吨、粗钢22 875.3万吨、钢材44 975.6万吨以及水泥22 540.9万吨。以此为依据对各变量的初始值赋值，其中产业技术升级投资量为Ii(0)=28 098.6万元，污染企业的生产技术水平θi(0)=2.441 5，水污染物初始存量P(0)=88 295.3万吨，消费品生产数量φi(0)=33 758.3万吨。结合上述数据并参考Huang等[21]的研究，对各参数进行赋值。其中由第二产业总产值和主要工业产品产量计算得p=1.5、q=0.4；生产技术衰减率α=0.12、生产技术溢出水平β=0、自然对污染物的降解率δ=0.1、贴现率r=0.2、投资成本系数b=0.3、污染损害系数w=0.2。

将各参数数值带入式（2）、（3）、（13）、（23）联立得到非合作与合作情景下各变量的演化结果如图1～图4所示。

图1 生产技术投资水平随时间变化曲线

图2 生产技术水平随时间变化曲线

图3 水污染物存量随时间变化曲线

图4 污染企业消费品产量随时间变化曲线

由图1可知，在短期内有I″＜I′，随着时间的推进，I″与I′相等，并最终呈现前者略大于后者的发展趋势；由图2～图4可得，θ″＜θ′，P″＜P′，φ″＜φ′，即：第一，在短期内，非合作情景下的生产技术投资水平高于合作情景下的投资水平，虽然后期合作的投资水平相对略高，但差距较小，且两种情境下的生产技术投资都在降低；第二，合作情境下两省的生产技术水平、水污染物存量以及污染企业消费品产量都低于非合作情景下的水平。与上述静态比较分析的结论相一致。

4 结论与建议

本文以中央政府与地方政府之间以及上下游地方政府之间制订的生态补偿方案为背景，将两省内污染企业的生产技术水平作为可随投资水平改变而变化的内生变量，构建了上游、下游省份间的微分博弈模型，并对非合作和合作情景下各变量进行比较分析。最后根据水环境保护制度和博弈分析结果得出以下几点结论及建议。

（1）生产技术清洁化进一步降低了流域水污染物存量。污染企业生产技术清洁化进步能够降低流域水污染物的存量，因此生产技术进步是流域生态环境治理的关键问题，也是改善水环境的根本途径。首先，应规定用于污染企业生产技术升级改造的补偿金下限百分比。流域生态补偿前期，规定至少有一部分的生态补偿金用于企业生产技术升级改造，同时提高企业排污要求、加大排污监管力度，促使企业被动转型。技术进步在促使流域水环境污染降低的同时，还可以促进区域产业结构优化。对于河南省和山东省而言，产业结构优化既可以降低水污染水平，也是实现区域高质量发展的必经之路[22]。因此，对污染企业的生产技术进行升级改造是必要的。其次，设立生产技术创新专项补偿。在后期，中央政府通过多种方式拓宽生态补偿金额来源和渠道，在获取更多生态补偿资金的同时，可以在生态补偿金中设立生产技术清洁化创新专项投资。一方面，增加生态补偿的总体金额有利于鼓励地方政府参与流域生态治理，提高政府治理环境的积极性；另一方面，生产技术投资水平的提高，不仅响应国家的创新驱动发展战略，而且有利于减少流域水污染存量，为流域生态治理的可持续发展奠定基础。

（2）加强府际间的合作能够获得更高的生产技术水平。虽然非合作博弈下，两省份将拥有更多的消费品产量，非合作博弈下的消费品产量是合作博弈下的倍，但达成府际间的合作能够增加流域整体的净收益水平。为此，应当将不同行政区域间的合作纳入生态环境改善的考核指标中，增强流域内不同省份间的流域整体意识。以流域内上下游省份为例，二者在合作情况下虽然消费品产量下降至原来的但可以达成整体净收益大于非合作情形下的净收益。但为了流域整体的经济发展和环境治理，上游政府将会损失一定的发展机会成本来换取下游政府的更高收益。若是不考虑合作情形下上游政府的经济损失，长此以往上游政府将不会改善流域生态环境。因此，将一些考核指标与地方政府间的整体状况相关联，增强不同行政区域间的联系，有助于增强他们之间的整体意识和考评的公平性。

（3）技术溢出效应对省域生产技术水平投资水平、生产技术进步及消费品产量都有负面影响。应当对高技术溢出企业实施创新补助、增强知识产权的保护力度。政府对高技术溢出企业进行创新补贴能够促进企业进行实质性创新，同时，增强对知识产权的保护在一定程度上可以降低技术溢出水平[23]，二者共同促使企业主动进行技术升级，提高企业进行技术创新的意识和意愿。中央或地方政府适当地调整企业创新补助的方向，不仅能够促进单个企业的创新积极性，还能提高区域整体的经济转型发展动力，而这样的效果正是黄河流域高污染、高耗能企业所需要的。

（4）技术进步为横向生态补偿制度的建立和完善奠定基础。省际间的污染治理合作能够增加流域整体的净收益，亦即技术的进步推动了区域经济的发展，进而潜移默化地影响人们的生产经营方式和价值观[24]，从而为制度的变迁提供动力。不同地区的流域生态保护制度有所差异，且制度随着时间和环境状况的变化而变化。黄河流域首次实施横向生态补偿制度，与之相关的体制机制尚未健全，需要在实践中不断地改进和完善。技术水平的进步可以推动制度的更新，加快黄河流域横向生态补偿机制的建立，更好地平衡流域的经济发展与生态保护。