基于分布式压缩感知的改进SOMP信道估计算法*

王 宇，马秀荣，单云龙

(1.天津理工大学 集成电路科学与工程学院，天津 300384；2.光电器件与通信技术教育部工程研究中心，天津 300384)

0 引 言

正交频分复用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM)因其传输速率高、频谱利用率高与对抗多径干扰能力强的特点而被广泛应用于移动通信系统中[1-2]。

信道状态信息(Channel State Information，CSI)用于均衡与恢复经历信道后信号，在接收端实现正确检测，而在接收端CSI是未知的，因此对CSI的估计十分关键[3]。目前已有许多文献对信道估计问题进行了研究与分析，大量研究证明无线多径信道呈稀疏特性，即只有少量信道抽头元素不为零。传统的信道估计算法如最小二乘(Least Squares，LS)[4]、最小均方误差(Minimum Mean Square Error，MMSE)[5]算法都有明显的缺点，两者都没有利用信道稀疏的特点[6-7]。近年来，基于压缩感知(Compressed Sensing，CS)的信道估计成为一大热点。将无线信道的稀疏性与CS理论结合，可以有效估计出信道抽头中非零元素的位置与相应数值，而且相较传统算法，CS信道估计可以在保证同样性能的同时使用更少的导频资源，提升系统频谱利用率[8]。

对于稀疏信号恢复问题，可以利用凸优化理论进行稀疏重构[9]，但该方法复杂度过高，不适用解决实际问题[2]，而贪婪算法因其复杂度低、算法结构简单在实际应用中更为常见。文献[10]使用正交匹配追踪算法(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)对稀疏信道进行估计且相较传统信道估计算法具有更准确的估计性能。压缩采样匹配追踪(Compressive Sampling Matching Pursuit，CoSaMP)算法[11]、子空间追踪(Subspace Pursuit，SP)算法[12]引入回溯思想，增加了信道估计的精度；弱选择匹配追踪(Stagewise Weak Orthogonal Matching Pursuit，SWOMP) 算法[13]通过设置门限，每次迭代选择多个原子，减少了迭代次数；稀 疏 度 自 适 应 匹 配 追 踪(Sparsity Adaptive Matching Pursuit，SAMP) 算法[14]通过每次迭代增加原子索引，可以在稀疏度未知的条件下完成信道估计。

由于通信速率与系统带宽的不断提升，一个符号的持续时间逐渐变短，相邻的多个符号经历的信道响应不再相互独立，而是呈现时间相关性[15]的联合稀疏结构，用以描述这种特点的联合稀疏模型(Joint Sparse Model，JSM)[16]被提出，相应地，基于分布式压缩感知(Distributed Compressed Sensing，DCS)理论的同时正交匹配追踪(Simultaneous Orthogonal Matching Pursuit，SOMP)算法[17-18]被广大学者研究与分析。

传统SOMP算法只适用多个符号信道响应支撑集(即非零元素位置)全部相同的JSM-2模型，对于多个符号信道响应支撑集只有部分相同的JSM-1模型，大多数文献都采用各符号单独估计，并没有利用其部分联合稀疏特性。文献[15]提出在公共支撑集索引内使用SOMP算法进行估计，其余部分使用OMP算法逐符号进行估计，但是并没有给出如何确定公共支撑集的方法。

本文对SOMP算法进行了改进，首先联合估计出多个连续符号信道响应相同的支撑集与对应元素，然后对支撑集不同的部分逐符号分别进行估计。仿真结果表明改进的SOMP算法同时适用于JSM-1与JSM-2模型，且性能优于不考虑联合稀疏特性的OMP算法。

1 系统模型

在现代移动通信系统中，符号持续时间非常短，信道的相干时间远远大于符号持续时间，因此可以认为在一个OFDM符号周期内，信道是时不变的[2]，其信道冲激响应如下：

(1)

将信道响应以离散形式h∈L×1表示如下：

h=[h(0),h(2),…,h(L-1)]T。

(2)

式中：L=「τmax/Ts⎤为信道长度；Ts为系统采样周期。

对于共K个子载波的OFDM系统，其传输模型如下：

Y=XFh+W。

(3)

式中：Y=[Y(0),Y(2),…,Y(K-1)]T为接收端各子载波符号；X=diag[X(0),X(2),…,X(K-1)]为发送端各子载波符号；W=[W(0),W(2),…,W(K-1)]T为加性高斯白噪声，F∈K×L为离散傅里叶变换(Discret Fourier Transform,DFT)矩阵，其第n行第m列元素为Fn,m=e-j2π(n-1)(m-1)/K。

假设共有P个子载波用于导频的传输，式(3)可以写成

Yp=XpFph+Wp=Ah+Wp。

(4)

式中：Yp∈P×1为导频子载波接收符号；Xp∈P×P导频子载波发送符号；Wp∈P×1为W的导频位置对应元素；Fp∈P×L为F的导频位置对应行。

向量h的零范数‖h‖0表示向量中非零元素的个数，由式(1)与式(2)可知，向量h只有少量非零元素，即‖h‖0=N≪L，可以认为其是稀疏的且稀疏度为N。根据压缩感知理论，当测量矩阵A=XpFp满足约束等距性质(Restricted Isometry Property，RIP)时，稀疏向量h可以通过恢复算法进行重构，离散傅里叶矩阵大概率满足RIP性质[8]。

2 联合稀疏模型下的信道估计

在一个OFDM符号待续时间非常短的场景下，连续多个符号都处在信道相干时间之内，此时多个符号经历的信道响应的稀疏结构存在一定的相关性[15]。相比一般压缩感知理论只考虑单个稀疏信号的稀疏性问题，分布式压缩感知理论考虑连续多个信号的联合稀疏结构，如文献[17]提出了两种联合稀疏模型。

第一类联合稀疏模型(JSM-1)指一组稀疏信号由公共稀疏部分和各自特有的稀疏部分组成，其支撑集部分相同，模型如下：

yj=Zc+Zj=Ahc+Ahj，j∈{1,2,…,J}。

(5)

式中：yj为第j个稀疏信号；Zc为公共稀疏部分；hc中非零元素位置为公共支撑集；Zj为第j个稀疏信号特有的稀疏部分；hj中的非零元素为第j个稀疏信号特有的支撑集。

第二类联合稀疏模型(JSM-2)指一组稀疏信号拥有相同的支撑集，其模型如下：

yj=Zj=Ahj，j∈{1,2,…,J} 。

(6)

式中：hj的非零元素所在位置集合即支撑集都相同，其对应位置上的元素不同。

传统SOMP算法认为一组稀疏信号的支撑集相同，因此可以联合连续几个符号同时估计支撑集与对应元素，而JSM-1模型下一组信号内部分支撑集不同，此时传统SOMP算法虽然可以保障支撑集相同部分的正确估计，但是会造成在支撑集不同的部分原子选择错误，使信道估计误差增大。本文提出一种改进的SOMP算法：在迭代过程中使用SOMP算法比较一组稀疏信号的残差与上一次迭代的关系，如果一组稀疏信号中所有信号的残差都小于上一次迭代的残差，则认为本次迭代中该组信号具有相同的支撑集索引，并保留本次的估计结果进入下一次迭代；如果该组稀疏信号中存在信号的残差大于上一次迭代的残差，则认为本次迭代中该组信号中支撑集索引并不是完全相同，因此舍弃本次迭代估计结果，对该组信号剩下的支撑集与对应位置元素分别进行OMP估计，得到各自特有的支撑集与对应位置元素。

改进SOMP算法流程如下：

输入：连续J个接收OFDM符号中导频信号YP,j,j=1,2,…,J；测量矩阵A；设每个符号的信道多径数为N，即总稀疏度为N。

(7)

式中：Al为矩阵A的第l列；λt为第t次迭代中使上式等号右边取得最大值A的列索引。

Step3 更新支撑集与支撑集元素对应列：

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(8)

(9)

Step4 求当前支撑集下稀疏向量的最小二乘解：

(10)

Step5 更新残差：

(11)

Step6 判断本次迭代得到的残差是否均小于上次迭代得到的残差：

(12)

若所有j均满足上式，t=t+1，跳至Step 2，进行下一次迭代；若存在j不满足上式，执行Step 7。

Step7 抛弃本次迭代得到的支撑集及支撑集索引对应列：

(13)

Step8 分别求得J个符号各自的支撑集：

(14)

Step9 更新各符号的支撑集与支撑集索引对应列：

(15)

(16)

Step10 利用式(10)求当前支撑集下稀疏向量的最小二乘解。

改进的SOMP算法主要分为两部分：第一部分通过式(7)联合J个符号估计公共支撑集，相比单独估计一个符号，联合估计具有更高的准确性。考虑时变信道，连续几个符号的信道响应非零元素所在位置不完全相同，因此在得到公共支撑集后第二部分利用式(14)对每个符号剩余的支撑集与对应元素分别进行估计，直到达到迭代终止条件，且在第一部分得到的公共支撑集作为第二部分的先验信息，因此改进的SOMP算法同时适用于支撑集相同的JSM-2模型与部分支撑集不同的JSM-1模型，而且改进算法相较传统OMP算法有效利用了信道响应的联合稀疏特性，通过对多个符号相同支撑集联合估计提高了估计性能。

下面进行算法复杂度分析。令公共支撑集个数为C，改进算法在公共支撑集内每次迭代同时得到J个符号的信道响应估计值，复杂度可以表示为O(KLC)，在非公共支撑集内逐个符号进行迭代估计，复杂度可以表示为O(KL(N-C)J)，因此改进算法的总复杂度可以表示为O(KL(C+NJ-CJ))。当C=0即无公共支撑集，每个符号单独估计时，复杂度达到最高，与OMP算法一致；当C=N即所有符号支撑集均相同时，复杂度达到最低，与SOMP算法一致。

3 仿真与分析

为了验证本文算法信道估计的性能，对本文算法与传统算法进行了仿真对比。本文仿真实验所使用的环境为AMD Ryzen 2600 CPU，16 GB RAM，Matlab 2020a。仿真模型中，设定OFDM系统子载波数为512，其中，导频子载波数为64，循环前缀长度为128，信道长度即最大时延对应的离散化长度设置为120，调制方式为QPSK。由于LS算法在导频均匀分布时达到最佳估计性能，而基于CS的估计算法导频随机分布相较均分布性能更优[8]，因此在保证导频数量均为64的条件下，LS算法导频均匀分布，CS估计算法导频在所有子载波中随机选取，并保证每个符号的导频位置一致。考虑到单个符号持续时间较短，连续多个符号经历的信道变化不大，其信道响应具有联合稀疏性，仿真中设定连续多个符号信道响应支撑集相同(JSM-2)或部分相同(JSM-1)，噪声为加性高斯白噪声，无信道编码，假设接收端同步完全正确。

3.1 JSM-2模型下的信道估计性能

设定多径数为15，仿真10个OFDM符号，每个符号经历的信道响应非零元素抽头位置即支撑集保持一致，非零元素为服从瑞利分布的随机复数，各径功率按式(1)相关描述设置。由于信道参数的随机性，设定蒙特卡洛仿真实验次数为5 000次，每次实验信道抽头非零元素位置在信道长度范围内随机变化，但对应元素仍满足瑞利分布且每个符号信道响应支撑集一致，最终结果取多次仿真实验的平均值，信噪比Eb/N0范围10～30 dB。信道估计均方误差仿真结果如图1(a)所示，系统误码率仿真结果如图1(b)所示。

(a)信道估计均方误差

(b)系统误码率图1 JSM-2模型下信道估计性能

仿真结果表明，在JSM-2模型下，本文算法与传统SOMP算法拥有相近的性能，但是稍差于传统算法。这是因为本文提出的改进算法会有一个对公共支撑集个数的估计，而JSM-2模型支撑集相同，传统SOMP算法相当于是在支撑集估计完全正确的情况下进行的，因此本文算法相对SOMP算法会有一定的性能损失。

3.2 JSM-1模型下的信道估计性能

设定多径数为15，仿真10个OFDM符号，其信道响应公共支撑集个数为13，即10个符号经历的信道响应中前13个非零抽头位置相同，剩余2个非零抽头位置不一致，非零元素为服从瑞利分布的随机复数，各径功率按式(1)相关描述设置。设定蒙特卡洛仿真实验次数为5 000次，增加一个接收端已知公共支撑个数的情况作为对照(即在公共支撑集下使用SOMP算法，特有支撑集下使用OMP算法，无需对公共支撑集进行估计)，信噪比Eb/N0范围为10～30 dB。信道估计均方误差仿真结果如图2(a)所示，系统误码率仿真结果如图2(b)所示。

(a)信道估计均方误差

(b)系统误码率图2 JSM-1模型下信道估计性能

从图2可以看出，在JSM-1模型下，SOMP算法性能下降明显，而本文算法仍能保持较高的估计性能且优于OMP算法。这是因为相对OMP算法，本文算法利用了连续符号具有部分相同支撑集的特点，提高了对支撑集的估计准确性，而SOMP算法在支撑集不同时仍然按相同的准则来估计，造成估计误差增大。对比公共支撑集已知的对照组，本文算法性能稍差。这是由于噪声影响，本文算法对于公共支撑集的估计存在偏差。

3.3 单次运行时间

该实验设定多径数为10～20，连续10个OFDM符号公共支撑集个数固定为8，信噪比Eb/N0固定为20 dB，增加LS算法作为对照，仿真不同算法的单次运行时间(每个多径数下仿真5 000次取平均得到)，结果如图3所示。

图3 不同多径数下单次运行时间

由图3可知，由于LS算法没有迭代的过程，运行时间最短，而基于CS的信道估计算法的迭代次数均与多径数呈正相关，其运行时间也均随着多径数目的增加而增加；SOMP算法每次迭代同时估计得到连续多个符号的支撑集中一个元素，OMP算法每个符号均要单独进行迭代估计，因此在仿真的基于CS信道估计算法中，SOMP算法运行时间最短，OMP算法运行时间最长，而本文算法部分支撑集估计利用SOMP算法，部分利用OMP算法，运行时间介于两者之间。

4 结 论

针对存在联合稀疏结构的信道模型，本文提出了一种基于分布式压缩感知理论的改进SOMP算法。与传统SOMP算法相比，本文算法具有对公共支撑集估计的步骤，因此同时适时用于支撑集相同的JSM-2模型与支撑集部分相同的JSM-1模型。相对OMP算法，本文算法利用了联合稀疏结构部分支撑集相同的特点，性能更优。算法复杂度方面，本文算法单次运行时间介于SOMP与OMP算法之间。