魏晋时期著名计量学家刘徽

文/关增建

刘徽是魏晋时期著名的数学家，当时的数学主要是围绕解决各类计量问题的计算展开的，所以刘徽也是著名的计量学家。

一、注解《九章算术》，发展传统数学理论

刘徽对古代计量学的贡献，主要体现在他对《九章算术》的注解上。《九章算术》是我国最重要的一部经典数学著作，对古代数学做了全面而完整的叙述，奠定了我国古代数学发展的基础，还被历朝历代直接用于数学教学逾千年之久。不止如此，《九章算术》还被传播到海外，日本、朝鲜都曾将它作为数学教科书。

计量需要数学的支撑，在汉代已经为人们所认识到。尤其是作为数学著作的《九章算术》，对解决计量问题具有非常重要的支撑作用。正是认识到这一点，一方面，汉代才有既是重要官员同时又是数学家的张苍、耿寿昌等为之修订编纂；另一方面，《九章算术》虽然经过了张苍、耿寿昌等的修订编纂，但到刘徽时，它仍然存在着一定的不足。《九章算术》全书以246 道算题的形式呈现，其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题步骤），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。但对为什么是这样的“术”，书中没有给出证明。数学著作的灵魂在于其证明过程，没有证明，就无法展示其正确性，对后人的学习是极为不利的。此外，《九章算术》中也存在不准确之处。虽然，汉魏时期，马续、张衡、郑玄、刘洪、徐岳、阚泽等多位学者通过努力，提高了《九章算术》的正确率，但到刘徽时，其中大多数难度较大的算法仍未得到严格证明，一些错误也没有被指证出来。刘徽就是在这种情况下开始了对《九章算术》的注解。

刘徽在注解《九章算术》时，写了一篇序言，表明了他对数学的理解及注解《九章算术》的初衷和做法。他在序言中写道：

“算在六艺，古者以宾兴贤能，教习国子。虽曰九数，其能穷纤入微，探测无方。至于以法相传，亦犹规矩度量可得而共，非特难为也。当今好之者寡，故世虽多通才达学，而未必能综于此耳。”（《算经十书》，郭书春、刘钝校点，《九章算术注》序言）

刘徽指出，算术虽然号称只有“九数”，但它能够“穷纤入微，探测无方”，探究万事万物的细微和深入之处，是人们认识事物非常重要的工具。数学看上去难学，但只要按照其内在规律传授，就能够像规矩准绳一样，被人们掌握和使用。规矩是画圆制方的工具，用以揭示事物的空间性质；度量是度量衡，用以揭示事物间的数量关系。刘徽将它们并列，揭示了中国古代数学的特点，即几何与算术、代数的统一。他认为，只要掌握数学的这一特点，它就不难学，只是当时社会上喜欢数学的人少，虽然有学问的人不少，但他们对数学未必能够融会贯通。为了使数学为更多的人掌握，刘徽觉得有必要对传统数学著作《九章算术》进行注解。至于注解的具体方式，刘徽的做法是：

“事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干者，知发其一端而已。又所析理以辞，解体用图，庶亦约而能周，通而不黩，览之者思过半矣。”（《算经十书》，郭书春、刘钝校点，《九章算术注》序言）

这即是说，事物纷繁复杂，但其本质是一致的，要善于抓住事物的缘起，即刘徽所谓的“知发其一端”。在讨论数学问题时，刘徽认为要“析理以辞，解体用图”，把道理讲清楚，并用图示的方法，把各种几何问题清晰地展示出来。刘徽的话，清楚地阐明了绘图对科技著作的重要性，这对中国古代科技著作的发展是很重要的。

刘徽运用他自己的这些规则，对《九章算术》做了详尽的注解。他的注解，不但对《九章算术》缺乏证明的那些命题给出了证明，还提出了不少新的见解，丰富了中国古代的数学理论。刘徽在证明过程中，还提出了十进小数概念，并以之表示无理数的立方根。他对正负数概念及其运算法则的阐释，在世界数学史上都是首次。他创新了线性方程组的解法，并在数学史上第一次提出“不定方程”问题。更重要的是，他提出了许多被公认正确的判断作为证明的前提，在此基础上展开推理和证明，其证明本身又合乎逻辑，十分严谨，从而确保了结论的正确性。这种做法，与古希腊几何学的公理化方法颇有相似之处。

二、发明割圆术，解决计量标准器设计难题

在刘徽的诸多贡献中，一个引人注目的亮点是割圆术的发明。他找到了正确计算圆周率的方法，解决了困惑计量学家多年的标准器设计难题。

我国古代的度量衡标准器设计始于战国时期，主要是量器的设计。公元前344 年，秦国大良造商鞅了解到可以“用度数审其容”（《汉书》卷二十一上），即可以用长度单位将容积表示出来，由此设计出了被后世称为“商鞅方升”的标准器，其容积为1 升。商鞅方升是长方体容器，是世界上现存最早的度量衡标准器。但中国古代度量衡标准器的主流不是像商鞅方升这样具有简单几何形状的容器，而是《考工记》中记载的以栗氏量为代表的复合标准器：

“栗氏为量，改煎金锡则不耗，不耗然后权之，权之然后准之，准之然后量之，量之以为鬴。深尺，内方尺而圜其外，其实一鬴，其臀一寸，其实一豆；其耳三寸，其实一升。重一钧。其声中黄钟之宫。槩而不税。其铭曰：‘时文思索，允臻其极；嘉量既成，以观四国；永启厥后，兹器维则’。”（《考工记·栗氏为量》）

此段前面部分讲的是栗氏量的制作过程，中间部分说的是栗氏量的形制，后面铭文部分谈的是栗氏量的意义，讲栗氏量制成以后，要到诸侯国巡回展示，流传子孙，用它来维系度量衡的统一。就形制而言，栗氏量的主体是鬴（fǔ）量，鬴量是一个深1 尺（约0.23 m），口径可以内接一个边长为1 尺的正方形的圆筒，其容积为1 鬴（约20 L）。鬴底部开口向下的是豆量，豆量深1 寸（约0.023 m），容1 豆（约2 L）。鬴两侧是升量，深3 寸（约0.069 m），容1 升（约0.2 L）。栗氏量结构图见图1。

图1 栗氏量结构图

栗氏量有3 个计量单位：鬴、豆、升，形制均为圆筒状。这样的容器，在设计时，首先规定好鬴、豆、升的具体数值，即其容积，用长度单位的立方表示。当时人们已经知道圆筒形容器的容积=截面积×深，而鬴、豆、升每一个容器的深也都是规定好了的，这样要设计这些量器，关键是算出其截面积的大小，最终落实到口径的大小。截面积与口径之间，存在着一个比例系数圆周率（π）。由此，π 值的精确与否，直接决定了标准器设计的精确与否。

在《考工记》乃至其后很长一段时间，人们认定的π 值是3，《考工记》中多处用“周三径一”作为设计器物的依据。当时，普遍把π 等于3 作为引发勾股定理的前提，用直径为1 的圆和边长为1 的方就可以构造出勾股定理，这是当时最重要的发现。但是，π 等于3 毕竟是一个比较粗疏的结果，西汉末年，刘歆在助力王莽篡汉、为其设计度量衡标准器时，就发现了栗氏量设计上的错误。刘歆依据自己的发现设计了新的嘉量，并在嘉量上刻上了铭文：“律嘉量斛，方尺而圜其外，庣旁九厘五毫，幂百六十二寸，深尺，积千六百二十寸，容十斗。”根据这些数据，我们可以计算出刘歆所采用的π 值为3.1547。该数值打破了传统“周三径一”为数学基础的说法，使数学的发展突破了传统观念的约束，具有重要的历史意义。

到了2 世纪，天文学家张衡在《灵宪》中采用的π 值为730/232，约为3.1466，他还在球体积公式中取用3.1622 为π 值。东汉末三国时期吴人王蕃（228 年—266 年）在浑仪论说中取π 值为142/45 ≈3.1556。这些π 值，都比传统的“周三径一”更精确，但它们究竟是怎么得到的，史书并未记载。而且从这些数据本身来看，迄东汉末年，古人并未找到科学的推算π 的方法。

刘徽打破了这一历史僵局。《九章算术》卷一“方田”章有“半周半径相乘得积步”这一命题，该命题给出的圆面积计算方法是正确的，里面蕴含了π。刘徽在注解该命题时提出了割圆术，给出了求解π 值的正确方法。刘徽指出，传统所谓的“周三径一”所得到的结果，实际上是圆内接正六边形的边长，而不是圆周长：

“以半周乘半径而为圆幂，此以周、径，谓至然之数，非周三径一之率也。周三者，从其六觚之环耳，以推圆规多少之觉（较），乃弓之与弦也。”（《算经十书》，郭书春、刘钝校点，《九章算术注》）

这是说，圆面积等于圆周长的二分之一乘以半径，这是完全正确的，但这并非说周三径一的比例是对的。所谓周三径一，得到的是圆内接正六边形的周长，就像是弓的弦长与弓本身的长度关系一样。如图2 所示，采用周三径一，得到的是由6 个等边三角形组合成的六边形边长，相当于6 倍ACB 直线长度，而圆周长应该是6 倍ADB弧长，所以用周三径一来计算圆周长，结果是不准确的，原因就在于π 值不准确。

图2 刘徽割圆术示意图

那么，该如何求得准确的π 值呢？刘徽提出，可以把圆内接正六边形每个一分为二，分成十二边形，相当于把图2 中的等边三角形AOB 分解成两个等腰三角形AOD 和DOB；然后利用它们之间的关系，可以借助于等边三角形AOB，把两个等腰三角形的面积也计算出来。显然，正十二边形的面积比正六边形的面积更接近其外接圆的面积。依照这样的思路，还可以把正十二边形进一步分割成正二十四边形、正四十八边形、正九十六边形等。“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”即是说，圆内接正多边形的边数无限增加的时候，其周长的极限是圆周长，其面积的极限就是圆面积。已经知道了圆的直径，又得出了圆周长，π 值自然也就能够计算出来了。

刘徽根据割圆术，从圆内接正六边形开始，边数逐渐加倍，相继算出正十二边形、正二十四边形、正四十八边形、正九十六边形每边的长，且求出正一百九十二边形的面积。这相当于求得π=3.141024。在实际计算中，他采用了π=3.14的约值。刘徽求得的π值，是当时世界上最精确的。

刘徽发明的割圆术，在人类历史上首次将极限和无穷小分割引入数学证明，解决了如何正确推算π 的方法问题，在计量史上意义重大。中国古代容积标准器的主流是圆筒形状，其设计的准确与否直接取决于π 的取值精确与否。在此之前，刘歆设计新莽嘉量时，采用了π=3.1547 的数值，虽然该值的精确度远胜于“周三径一”，但刘歆并未找到正确求解π 的方法，其后的张衡、王蕃等人殚精竭虑，在π 推算上亦有进展，但始终未能找到正确的门径。刘徽发明割圆术，使该问题一劳永逸得到解决。后人所要做的，无非是分割出更多的正多边形，计算结果更精确而已。

三、编纂《海岛算经》，建立测高望远体系

刘徽对不能直接抵达的远距离测量，例如海岛上有一座山，站在岸边，如何测量山的高度这样的问题，特别感兴趣。他在《九章算术注》序言中专门就此类问题做过详细讨论。刘徽指出：

“《周官· 大司徒》职，夏至日中立八尺之表，其景尺有五寸，谓之地中。说云，南戴日下万五千里，夫云尔者，以术推之。按：《九章》立四表望远及因木望山之术，皆端旁互见，无有超邈若斯之类。然则苍等为术，犹未足以博尽群数也。”（《算经十书》，郭书春、刘钝校点，《九章算术注》序言）

这里引述的《周官·大司徒》之语，说的是我国古代传统宇宙观念。古人没有地球观念，认为地是平的，大小有限，这样地表面必然有个几何中心，古人把它称为地中，认为从地中向南一万五千里，就到了“南戴日下”，即今天所说的北回归线。刘徽强调，这些数据是“以术推之”的结果，即运用数理方法推算出来的，不是信口开河。他感叹，认为《九章算术》中的立四表测望远近、借助于一棵树测望山的高低的方法等，所测望的目标都在不远之处，可以首尾相望，不像天地宇宙这样遥远渺茫。之所以如此，主要原因还在于张苍等人所提出的方法还不足以涵盖数学的方方面面。

那么，该如何处理类似问题呢？刘徽接着说道：

“徽寻九数有重差之名，原其指趣乃所以施于此也。凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差、勾股，则必以重差为率，故曰重差也。”（《算经十书》，郭书春、刘钝校点，《九章算术注》序言）

刘徽认为传统的“九数”中有“重差”名目，推究其用途，就是用来解决类似问题的。凡是测望极高、极深同时还要知道其远近这样的问题的，一定要使用重差术和勾股术，以重差作为统一的比例数据，所以叫重差。接着，刘徽给出了利用重差术解决日之高远、大小的具体方法：

“立两表于洛阳之城，令高八尺，南北各尽平地。同日度其正中之景。以景差为法，表高乘表间为实，实如法而一，所得加表高，即日去地也。以南表之景乘表间为实，实如法而一，即为从南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地为勾、股，为之求弦，即日去人也。以径寸之筒南望日，日满筒空，则定筒之长短以为股率，以筒径为勾率，日去人之数为大股，大股之勾即日径也。”（《算经十书》，郭书春、刘钝校点，《九章算术注》））

这段话一共介绍了4 种天文数据（日去地距离、南表至南戴日下的水平距离、南表到太阳的斜线距离和太阳的视直径大小）的测量方法。测量前3 种数据的方法是：选择洛阳南北平坦之处，立南北两表，确定南北两表之间的距离，同一天测量它们影子的长度，根据所得结果，即可得：日去地=[表间×表高/（北表影长–南表影长）]+表高；观测者至南戴日下=表间×南表影长/（北表影长–南表影长）。

在得到日去地和观测者至南戴日下两个数据以后，观测者到太阳的斜线距离直接运用勾股定理即可得出。

上述公式中诸数字的含义如图3 所示。

图3 刘徽测日高日远图

这样，4 个天文数据中的3 个都得以解决，而太阳视直径的大小则需要用另外的测量方法。

刘徽的方法在《周髀算经》中测量日高天远之术中已经存在。《周髀算经》中有一个基本假设：地隔千里，影差一寸，即图3 南表和北表之间距离是1 000 里（约345 km）的话，夏至之日，立8 尺（约1.84 m）之表，南表影长1 尺5 寸（约0.36 m），北表影长1 尺6 寸（约0.37 m），即其影差为1 寸（约0.023 m）。把这些数字代入上述公式，不难得出，从南表至南戴日下的水平距离为15 000（约5 175 km）里，太阳到南表的斜线距离为10 万里（约34 500 km），太阳至地面的垂直距离为80 000 里（约27 600 km）+8 尺（约1.84 m）。《周髀算经》中的数据是80 000 里，因为《周髀算经》中忽略了要加上表高这一项。当然，对80 000 里这样的距离来说，8 尺表高确实可以忽略的。

刘徽对太阳视直径的测量方法，如图4 所示。

图4 刘徽测日径图

具体测量方法是，选择一个孔直径为1 寸的竹筒，对着太阳观看，当太阳正好充满竹筒孔径时，确定竹筒的长度，以竹筒孔径为勾，以竹筒长为股，这时太阳离开观测者的距离为大股，太阳的直径就是大股之勾。具体来说，筒长、筒径、日去人的距离、日径，这4 个数据满足如下关系：筒径/筒长=日径/日去人。其中筒径、筒长、日去人（太阳离人的距离）这3 个数据都是已知的，日径自然就可以计算出来了。

刘徽的上述公式就几何学来说是完全正确的，这一点很容易得到证明。但用他的公式进行日高天远的实际测量，就会发现其结果是完全错误的。之所以如此，是因为在他的公式中隐藏了一个前提：大地是平的。当时的人们没有地球观念，在这个问题上不能苛求刘徽。

在介绍了这4 种天文数据测量方法之后，刘徽认为天地宇宙都可以测量，何况泰山之高、江海之广，测量起来应该更无问题。刘徽提到，既然当今的史籍已经大略列举了天地之物，那么，他就考察其数量关系，撰写《重差》一卷，将其附在《九章算术注》的“勾股”章之后，以探究古人之意，阐释人间算术之美。刘徽指出，重差术的核心在于，测量高要用两个表，测量深要用重叠的矩，对远处孤立物体的测量要用3 次测望，对孤立而又要求测量其他数值的则要用4 次测望。刘徽强调说，只要对这种方法触类旁通，不断增长知识，再幽隐神秘的东西都是可以测量的。

刘徽所著《重差》一卷，就是今天人们所说的《海岛算经》。该卷成书之后，是附在《九章算术注》之后，以《九章算术注》第十章的形式存于世。同《九章算术注》其他部分体例一样，该卷采用的也是应用问题集的形式，全卷共包括9 个问题，研究对象均为有关高远测量问题。所有问题的解法都是利用两次或多次测望所得的数据，来推算可望而不可即的目标的高、深、广、远。南北朝时期，著名数学家祖冲之曾为之做注。到了唐代，人们将《重差》从刘徽《九章算术注》中分离出来，单独成书，以第一题“今有望海岛”取名为《海岛算经》。

《海岛算经》介绍的多次测望方法具有很强的实用价值，为我国古代地图测绘奠定了几何学基础。就这些测望方法本身而言，其水平也远远领先于同时期西方的测望技术。

刘徽对《九章算术》的注解以及他所撰写的《海岛算经》，不仅在中国数学史上占有重要地位，对世界数学的发展也有着重要的贡献。2002 年，中国邮政发行第四套《中国古代科学家》纪念邮票，其中就包括了刘徽纪念邮票。2021 年5 月24 日，国际天文学联合会（IAU）批准了中国在嫦娥五号月球降落地点附近地貌的命名，刘徽（Liu Hui）为八个地貌地名之一，以此表示对这位伟大数学家的纪念。