求解BBM-KdV方程的一个外推线性化守恒差分算法

赖 倩，胡劲松

(西华大学理学院，四川成都 610039)

0 引言

在对非线性扩散波的研究中，BBM-KdV方程

ut-uxxt+ux+uxxx+uux=0

(1)

是弱非线性色散介质中长波单向传播的重要模型，文献[1-3]通过数值模拟方法证实了BBM-KdV方程(1)解的存在性，并讨论了其边界条件的物理意义，文献[4]又进一步研究了一类广义BBM-KdV方程的孤波解和守恒量，其数值方法研究也引起众多关注[5-9].本文考虑如下一类BBM-KdV方程的初边值问题：

ut-uxxt+ux+uxxx+uux=0，x∈(xL,xR)，t∈(0,T]

(2)

u(x,0)=u0(x)，x∈[xL,xR]

(3)

u(xL,t)=u(xR,t)=0，t∈[0,T]

(4)

其中，u0(x)是一个已知的初值函数.问题(1)-(3)具有如下守恒律[4-5]：

(5)

其中Q(0)，E(0)均为与初始条件有关的常数.

文献[5]对问题(2)-(4)虽构造了两层非线性守恒差分格式，但数值求解过时需要非线性迭代的，计算耗费时间较长.本文对非线性项uux在时间层进行线性化离散处理，对问题(2)-(4)构造了一个具有二阶理论精度的两层线性差分格式，并合理地模拟了守恒量(5)，在不能得到差分解的最大模估计的情况下，综合运用数学归纳法和离散泛函分析方法[10]，直接给出了格式的收敛性和稳定性等的理论证明.

1 数值格式和守恒性

由Taylor展开，有

(6)

对于问题(2)-(4)考虑如下有限差分格式：

j=1,2,…,J-1;n=1,2,…,N-1

(7)

(8)

(9)

定理1差分格式(7)-(9)关于以下离散能量是守恒的，即

(10)

证明由边界条件(9)式和分部求和公式[10]有

于是将(7)式两端乘以h然后对j从1到J-1求和，得

(11)

又

(12)

由Qn的定义，将(12)式代入(11)式，然后两端同时乘以τ后再对n递推可得(10)式.

2 差分格式的可解性

定理2 假设时间步长τ充分小，那么差分格式(7)-(9)是唯一可解的.

证明用数学归纳法.U0是由初始条件(8)式唯一确定的，假设Un(n≤N-1)是唯一可解的，则

‖Un‖∞≤C(n≤N-1)

(13)

其中的Un+1，有

将(14)式与Un+1作内积，可得

(15)

由(13)式、边界条件(9)式、分部求和公式[10]和Cauchy-Schwarz不等式，有

(16)

(17)

3 收敛性和稳定性

将差分格式(7)-(9)的截断误差定义如下：

j=1,2,…,J-1;n=1,2,…,N-1

(18)

(19)

(20)

根据Taylor展开式以及(6)式可得，当h,τ→0时，

(21)

引理2[9]设u0∈H2，则初边值问题(2)-(4)的解满足：

‖u‖L2≤C,‖ux‖L2≤C,‖u‖L∞≤C.

定理3 设u0∈H2，若时间步长τ和空间步长h充分小，则差分格式(7)-(9)的数值解Un以‖·‖∞收敛到初边值问题(2)-(4)的连续解，并且收敛阶是O(τ2+h2).

(22)

(23)

(24)

根据引理2及(21)式可知，存在与τ和h无关的常数Cu和Cr，使得

(25)

又根据(23)式及初始条件(8)可得如下估计式：

‖e0‖=0,‖U0‖∞≤Cu

(26)

假设

(27)

其中Cl(l=1,2,…,n)为与τ和h无关的常数.再根据离散Sobolev嵌入不等式[10]和Cauchy-Schwarz不等式，有

(28)

(29)

整理可得

(30)

根据引理2及微分中值定理，有

即

(31)

取τ和h充分小，使得

(32)

由(29)式、(31)式、(32)式和引理1、引理2及Cauchy-Schwarz不等式，有

(33)

(34)

将(33)和(34)式代入(30)式，整理得

(35)

将(35)式两端同时乘以τ，然后从1到n递推求和，并整理有

(36)

(37)

(38)

≤(Cn+1)2(τ2+h2)2，(n=1,2,…,N-1)，

最后由离散的Sobolev不等式[10]，有

‖en‖∞≤O(τ2+h2),(n=1,2,…,N)

定理4设u0∈H2,若时间步长τ以及空间步长h都充分小，则差分格式(7)-(9)的解满足：‖Un‖∞≤Ca，其中Ca是与τ和h无关的常数.

证明对于充分小的τ和h，根据定理3有‖Un‖∞≤‖un‖∞+‖en‖∞≤Ca

注：定理4表明差分格式(7)-(9)的解Un以‖·‖∞关于初值无条件稳定.

4 数值实验

为了便于和文献[5]中的两个二阶格式进行对比，记本文的两层线性格式为“格式1”，记文献[5]中的两层非线性格式为“格式2”，记文献[5]中的三层线性格式为“格式3”.BBM-KdV方程(1)的孤波解[4-5]为

在计算中，取初值函数u0(x)=u(x,0)，固定xL=-40,xR=60,T=5.就τ和h的不同取值对数值解和孤波解在几个不同时刻的l∞误差见表1；格式1对守恒量(5)的数值模拟Qn见表2.

从数值实验结果可以看出，格式1的计算精度明显优于其它的二阶方法(格式2和格式3)，且合理地模拟了守恒量(5)，更为重要的是格式1是线性化的，计算时间也比较节省，所以本文对初边值问题(2)-(4)所提出的差分格式(7)-(9)是可靠.

表1 格式1和其它二阶格式在不同时刻时的l∞误差比较Tab.1 lm errors comparison between format 1 and other second-order formats at different time points

表2 格式1对守恒量(5)数值模拟Qn的部分数据Tab.2 Partial data of numerical simulation Qn of format 1 versus conserved quantity(5)