无标度网络下的人群分类传染病传播研究

刘 勇，杨淑姝，王 笑

(西安建筑科技大学 理学院， 西安 710055)

0 引言

自古以来传染病给人类带来了严重的威胁与灾难，影响经济发展，阻碍社会稳定运行，在传染病传播过程中清除感染源、阻断其传播途径等可以有效控制疫情传播，减轻其危害[1]。因此，分析传染病的传播规律、预测其发展趋势对传染病的控制有着重要意义。

传染病动力学模型是对传染病的流行传播进行定性定量研究的一种模型方法，这种将传染病和数学联系起来的方法在传染病研究中有重要作用。1760年，Bernoulli[2]创立了世界上最早的流行病数学仓室模型。Kermack等[3]研究了伦敦的黑死病及孟买瘟疫，建立了第一个SIR仓室模型，将人群分为易感者、感染者和移出者3类。随后建立了SIS模型，提出了判断传染病是否会流行起来的阈值模型[4]。这些模型是经典的传染病动力学模型，之后的学者围绕这些模型进行了深入的改进研究[5-8]。

传染病的实际传播情况十分复杂，上述模型难以精确地预测传染病的发展动态，为了能够更为合理地描绘传染病传播过程，有学者基于上述模型结合复杂网络建立了新的传染病模型。1998年，Watts等[9]构建了WS小世界网络；1999年，Barabasi等[10]建立了BA无标度网络模型。其中无标度网络中节点度分布符合幂律分布，更加贴合现实社会中传染病的传播规律，在复杂网络上的传染病研究也更加接近真实传播状况[11]。

然而现实生活中传染病传播多以家庭群居传播为主，家庭作为社会中最基本的单位，成员间接触密切，传染病传播过程中往往呈现高频率的家庭传播特征，在此次新冠肺炎疫情中这一特征尤为显著。到目前为止，社会网络传染病研究多以个体为主体[12-14]，Goel等[15]考虑了个人网络连通性，张溶萍等[16]提出结合疫苗接种和隔离的传染病模型，但都是以个体作为研究对象，不能反应疫情下群聚传播的特征，因此将人群重新分类，令一个节点为一个家庭在研究传染病传播方面具有重要的研究价值。在无标度网络上的节点重要性也各不相同，对节点进行类别划分有着重要意义[17]，首先利用图的基本概念，构建以家庭为主体的无标度网络结构，再通过图结构中的中心性概念对网络中的节点进行分类，寻找传染过程中的关键节点，通过SIRS模型在网络上的传播并结合此网络中的关键节点，对传染病传播情况进行了仿真研究。

1 无标度网络模型

1.1 无标度网络理论

社会网络是将行动者的社会关系进行连接组成一个复杂网络，在图论中可用边和节点表示：设图G=〈V,E〉,V称为G的顶点集，其元素称为顶点(节点)，E称为G的边集，其元素称为边[18]，与节点相关联的边数称为度。1999年，Barabasi等[10]通过分析大量的数据提出了无标度网络模型。

1.1.1无标度网络构建

1) 增长：从只有2个点的网络开始，每次加入一个新的节点，并且与已有节点连接，模拟现实中的网络不断增长。

2) 优先连接：在加入新节点时优先与度数高的节点连接。对于新加入的节点i与已存在的节点j相连的概率为：

(1)

式中：ki、kj表示节点i和节点j的度。

3) 重复以上步骤，直到达到目标点数和边数，则网络构建完成。

1.1.2基本特征量

复杂网络结构中的基本特征量可有效刻画复杂网络及其性质，通常运用图论和概率的知识来描述，为方便下文中模型的建立，引入复杂网络中的几个基本特征量：

1) 度分布

网络中度分布表示选择一个节点，其度为k的概率，等于网络中度为k的节点数与总节点数的比值：

(2)

网络中所有节点度的平均值称为平均度，用〈k〉表示：

(3)

2) 介数

介数表示网络中所有最短路径中经过该节点的数目占最短路径总数的比例，反映了该节点在网络中的影响力。

3) 中心性

无标度网络中的点度数符合幂律分布：少部分的点度数很大，而大多数点的度数则比较小，可用度中心性来衡量网络中节点的重要性，即点的度越大节点越重要。然而2个度相同的节点在网络中的重要性也会有差别，因此引入介数中心性，以经过某个节点的最短路径数来刻画节点的重要性。

1.1.3网络关键节点

由1.1.2小节的中心性概念可得出2类在网络结构中扮演重要角色的节点，就与外界接触而言这2类节点在病毒传播中起着至关重要的作用。① 中心节点：是整个网络中连接其余节点数最多，度数最高的节点，这些节点在网络中居于中心地位，对于病毒传播有着很强的传播能力，在整个网络中占据着最核心的位置。由于这类节点与其余节点连接数量多，与外界接触范围广，因此最容易受到感染，若中心节点被感染，与之接触的大量的节点也会被感染，会造成感染数量的急剧增加。② 结构洞点：是将网络中2个没有联系的部分连接起来，形成一个结构洞[19]。结构洞点处于中间人的位置，这种节点最易把病毒从一部分人群传染给另一个互不相关的人群，这类结构洞点容易造成相对孤立范围内的感染。

1.2 无标度网络上的SIRS传染病模型

设Sk(t)、Ik(t)、Rk(t)表示k度节点在t时刻的易感个体、感染个体和免疫个体的数量在网络中所占的比例，无标度网络上的SIRS传播过程如图1所示。

图1 SIRS模型传播过程框图

假设总人口不变，则

Sk(t)+Ik(t)+Rk(t)=1

(4)

设Θ(t)表示网络中染病边的比例，即度为k的易感者所连接的边的另一端是感染者的概率：

(5)

则可得无标度网络上SIRS模型微分方程为：

(6)

基本再生数R0表示一个病例在全部都是易感者的人群中能够感染新的感染者的平均人数[20]，当R0>1时，疾病在网络中终会扩散开来，当R0<1时，疾病会在有限时间内停止传播; 除基本再生数外，有效再生数Re对于传染病的传播研究也有着重要意义，有效再生数Re表示一个病例在有部分免疫者存在的人群中造成新的感染者的平均人数[21]，类似地，当Re>1时，疾病会继续扩散，当Re<1时，疾病传播会逐渐减慢。在此利用下一代矩阵法计算基本再生数。

1)将Sk、Ik、Rk分为感染类Ik和非感染类Sk、Rk，则感染类中的感染个体比例Rk(x)=βkSkΘ，转移比例hk(x)=γIk。

2) 求解方程(6)对应的无病平衡点，令式(6)右端等于0且Ik=0，解得无病平衡点为E0=(1,0,0)。

3) 在无病平衡点E0处求解：

(7)

(8)

4) 计算基本再生数：

(9)

有效再生数：

Re=Rt=R0(St)

(10)

式中：St表示t时刻群体中易感者数量在总体人群中的比例。

由公式可看出若要降低基本再生数R0使其小于1，可减小感染率、增大治愈率，因此可针对治愈率和感染率采取相应的措施来控制传染病的传播。由公式可知群体内免疫人数增多可减慢疾病的传播，因此早期的预防干预很有必要，其中疫苗的接种可有效增加社会人群中的免疫群体，减少易感人群数量，有效地控制传染病传播。

2 数值仿真模拟

使用多主体建模软件NetLogo[22]进行传染病传播过程的仿真模拟。一般小区人数为2 000人左右，为便于观察研究，设置其1/3规模的网络进行模拟，故生成一个节点总数为700的无标度网络，在此网络中的点表示一个个体，个体网络如图2所示。

图2 个体网络示意图

根据卫生和计划生育委员会2021年发布的《中国家庭发展报告》显示，我国家庭平均规模为3.35人，在此设平均每户家庭人口为3人，将图2中的个体网络转化为家庭网络：将图中相互连接的3个点合并为一点，则可转化为家庭网络，如图3所示，每个节点表示1个家庭，共有234个节点，以下研究均在图3所示的网络中进行。

图3 家庭网络示意图

2.1 关键节点对传染病传播的影响

在图3所示的网络中进行传染病传播模拟，随机选择2个点作为感染源，根据新冠肺炎疫情数据，设置感染率为0.51[23]，治愈率为0.5，治愈后免疫率为0.68，传播过程及结果如图4所示。

图4 家庭网络中传染病传播过程曲线

由图4可看出传染初期即时间步为2.0到4.0时感染人数迅速增加，在时间步4.0之后斜率更大，即增加速率更快，直到时间步为7.0时感染人数达到峰值，整体感染率从11.5%迅速增加至35.7%，之后感染人数逐步减少，最后变成0，说明传染病得到了控制，最终消失。

结合实际生活中传染病的传播情况，疫情初期会出现增长爆发的情况，感染人数在某一时期内呈现井喷式增长，在图4的传播过程中，为探究时间步2.0和4.0时传播速率迅速增加的原因，观察这2个时刻网络中传染病的传播情况，如图5(a)所示，可看出在此时间步时一个中心点被感染，由于其连接的节点众多，当这些中心点被感染时会迅速感染其相连的节点，造成大量的节点被感染；在图5(b)中除中心点被感染外，也存在着结构洞点被感染，这类节点将2个互不相关的部分连接起来，因此可通过此节点将病毒传播到另一部分无关的人群中，造成相对孤立的人群被感染。因此在时间步4.0之后感染人数迅速增加。此外，多数中心点也是结构洞点，这些节点一旦被感染且未对其采取相应措施将会造成网络感染人数急剧增加、病毒大幅度扩散。

图5 关键时刻传播过程示意图

上述2类节点在网络上占据着重要的位置，对于传染病传播起着关键作用，因此有疫情出现时，及时排查这些关键节点，采取相应的隔离措施以及尽早接种疫苗可迅速有效地控制传染病传播。在图3所示的家庭网络中选择一关键节点将其隔离，即去掉该点与周边的所有连线，其余条件不变，可发现感染人数显著减少，传染过程如图6所示；选择度数大于20的中心点(结构洞点)使其免疫，其余条件不变，传染过程如图7所示。

图7 关键节点免疫

相较于图4，可看到图6中感染峰值的时间步延迟，感染人数也显著减少，相应的图7中传染病得到了很好的控制，说明这些关键节点在网络传染病传播过程中有着举足轻重的作用，当疫情爆发时首先检查这些家庭并对其采取相应的管控措施，在疫苗研发成功后也优先对这些家庭进行接种，从而达到防止病毒扩散的目的，快速高效地控制社会中传染病的传播。

2.2 模型参数对传染病传播的影响

由式(9)可得，基本再生数小于1需降低感染率，增大治愈率。因此采取控制变量法，令其他参数保持不变，分别设置不同的感染率/治愈率进行仿真。通过对比不同值下的结果研究该参数对传染病传播的影响。事实上当疫情爆发后政府开始采取一系列措施，比如禁止大型集会、采取隔离措施、外出时要求戴口罩以及保持安全距离等，这些措施都可有效地控制家庭与外界的接触，从而降低节点间的感染率。图8表示控制治愈率不变，将感染率分别设置为0.2、0.5、0.8的感染人数情况，与预期结果相同，感染率降低后感染人数比例降低；除降低感染率外，增大治愈率也可有效降低再生数，从而达到控制传染病传播的效果。图9给出了控制感染率不变，将治愈率分别设置不同值时的感染人数情况，可看出随着治愈率增大感染人数显著减少。

图8 不同感染率的感染人数变化

如图8所示，可发现当感染率降低时感染人数显著减少，且在达到感染峰值后感染人数增加更为缓慢；相应地，图9中随着治愈率的提高，感染人数明显减少，且清零时间显著缩短。由此可见降低感染率、增加治愈率可有效减少感染人数，故疫情发生时采取一系列的应对措施对传染病传播有一定的控制作用。

图9 不同治愈率的感染人数变化

为增加治愈率，除各种疾病治疗的医疗手段之外，接种疫苗也可以有效地提高治愈率，甚至可将易感者直接转变为免疫者。在网络中设置10%的易感人群直接转化为免疫人群，其余条件保持不变，传播过程如图10所示。

图10 存在部分免疫人群的传染病传播过程曲线

将图10与图4进行对比可发现，网络中存在部分免疫人群可有效减少感染人数，结合式(10)可表明群体中免疫人数增多会减慢传染病的传播。因此可大范围推广疫苗接种，降低网络中传染病扩散程度从而抑制传染病传播。

3 传染病控制策略

控制传染病传播并最终使其消失，就要使再生数小于1，由上述第2节分析可得到如下相应的传染病控制策略：

1) 降低感染率。一方面降低与感染者接触的几率，外出时戴口罩，保持安全距离，减少堂食等，减少家庭间接触机会；一方面加强对家庭中免疫力较低的老年和婴幼儿群体的保护，减少到公共场所活动。

2) 增加治愈率、疫苗接种率。除通过医疗手段提高治愈率外，增大疫苗接种率也可有效增加治愈率，因此可推广疫苗接种，增加疫苗接种率。

3) 关键群体防控。由上文所示，网络中的关键家庭在传染病传播过程中占据着重要位置，因此在疫情初期对这些家庭采取相应的措施可有效控制传染病传播，联系日常生活可发现外卖员家庭、商铺职员等服务类行业人员及家庭占据着这些关键节点的位置，不仅和外界有着众多的联系，还容易成为结构洞点，将一些没有关系的节点连接起来，因此在疫情爆发后及时地注意这些人员家庭并对其采取相应的防控措施，可有效抑制传染病的传播。

通常传染病爆发初期疫苗资源紧缺，对于接种人群的选择尤为重要，因此可以优先选择关键节点的家庭进行接种，可有效防止传染病的大范围传播，因此当疫情发生时对关键的家庭首先做好防护并率先接种疫苗可以快速且有效地对传染病传播起到控制作用。

4 结论

探究无标度网络上的SIRS模型，利用NetLogo进行数值仿真，发现网络中心点和结构洞点在传染病的传播中占据着举足轻重的位置，对这些节点采取及时的隔离能够有效抑制网络中传染病的传播发展，对于关键节点的隔离可以在短时间内迅速地切断传播链条，达到精准防控的要求；当疫情发生时可优先接种这些关键家庭，有效防止传染病的进一步扩散；此外，通过对模型中参数定量研究，可发现政府为降低感染率所采取的措施是有效且重要的，在实际生活中当一个家庭内有成员被感染时，因同一栋单元楼内居民处于统一封闭空间且日常接触较多，因此其他家庭感染概率极大，所以当疫情发生时对于单元楼的及时封控是行之有效的，但根据上文的分析，对于封控区与管控区的划分可以更加细化，缩小到家庭及周边范围即可有效防控疫情传播。

在整体社会网络中考虑了家庭结构，后续可以进一步考虑家庭规模、年龄结构等因素，在模型中增加这些因素，探究这些因素对于疫情传播的影响，不断完善无标度网络上的传播机制。