再评时钟佯谬的现代解

孟广达, 霍瑞云, 王瑞华

(1.郑州大学,河南 郑州 450001; 2.河南财政金融学院,河南 郑州 450046)

0 引言

相对论方面的一些专家学者,对时钟佯谬的现代解赞赏到几乎无以复加的地步,不仅彻底解决了时钟佯谬,而且精彩到难以言表。试举几例,“我没有忽悠诸位,它的要点确实只有一句话,那就是,时钟记录的是自己的世界线长度。……迄今为止除上述现代解释外,对时钟佯谬的任何其他解释都是针对特例或近似的。……与之相比,时钟佯谬的现代解释完全不受那些特例或近似的约束,从而有极大的普适性。哪怕两个时钟都作任意复杂的类时运动,现代解释依然适用(传统解释则会变得苦不堪言)”[1]。“TORRETTI曾经感慨道:相对论时钟是类时世界线上的里程表,假如人们对这一事实有过更多关注,那么在所谓时钟佯谬上付出过的很多努力就可以省掉了。”[1]“以上就是双子效应全部实质性内容。……国际相对论界的有识之士对双子问题的实质早已取得如上所述的共识[2-4]。双子问题的实质是如此简单,以致这些文献中的论述都很短,文献[4]仅仅只放在习题中。”[2]

时钟佯谬的现代解果真好到如此的地步吗?文献[3]已用两人对话的方式把现代解与爱因斯坦的传统解作了比较,结果是:前者不仅不比后者好,反而逊色于后者。现代解连一个特例都作不出,还如何谈“普适性”?文献[3]中的图2,笔者画不完整,赞赏现代解的学者如果感兴趣,可把没画出的部分补上(图中如果有错也请不吝指正),让我们能了解时钟B参照系中两个时钟的世界线究竟是什么样,时钟A的世界线仍然比时钟B的世界线长表现在什么地方。如果赞赏现代解的学者也不能把时钟B参照系中两个时钟的世界线完整画出,那么所谓现代解有极大的普适性,无疑是空谈。

其实,“有极大的普适性”的时钟佯谬解不只是现代解,例如根据时钟的读数与参照系无关作出的解也“有极大的普适性”,而且普适性更是显而易见。如果“有极大的普适性”的解就能彻底解决时钟佯谬,可能时钟佯谬早已解决了,甚至它根本不可能作为一个问题而存在。

1 时钟读数等于其世界线长度的由来

时钟佯谬现代解的要点之一——时钟读数等于其世界线长度。这一重要关系有着不同的表述,例如“时钟记录的是自己的世界线长度”[1]“……线上任一段的线长等于该段起止点的固有时之差”[4]“粒子的固有时是其时间径迹的量度”[5]101等,而这个极其重要的关系是怎么得出的?说法不一,查找到的来源有3种:①认为这个关系是个事实,例如“TORRETTI感慨道:相对论时钟是类时世界线上的里程表,假如人们对这一事实有过更多的关注……”[1]。②认为这个关系是“狭义相对论的基本假定(已为实验证实)”[4]。③认为这个关系是推导出的[5]101。为了表述方便,把上述3种来源分别称为“事实说”“假设说”和“推导说”。这3种来源截然不同,究竟哪一个正确?以下逐一进行分析。

1)事实说。显然不正确。首先不可能有这样的事实,除非“事实”另有含义。再者,如果有这个事实,就根本不可能出现“推导说”和“假设说”。即使这个“事实”被发现是在有了“推导说”和“假设说”之后,一旦发现这个事实,“推导说”和“假设说”也早已消逝了,但是没有见到“推导说”和“假设说”被这个事实否定的任何信息。

2)假设说。难以置信人们会提出一个假设去确定两个本来不相干的物理量之间的定量关系。或者简言之,我们不相信相对论中会有文献[4]所谓的这个“基本假定”。根据是:①如果狭义相对论需要作出一个“基本假定”把时钟的读数与其世界线长度定量地联系起来,那么相对论的缺陷就太大了;②文献[4]应该交代清楚这个“基本假定”的出处,但却没作任何交代,更没说明该假定被哪个实验证实了;③查不出这个“基本假定”是哪位学者在哪个场合提出的。

3)推导说。这个关系大概率推导不出来,根据是:①文献[5]中的推导相当混乱,含糊不清,也没有见到过文献[5]中的推导被引用过;②如果这个关系能够被推导出来,只有MΦLLER C一个人能推出来的可能性不大,但是没见到过其他人的推导;③提出假设说者,肯定是在判定推导不出这个关系之后才会提出假设的,所以假设说的存在就说明这个关系推导不出。

由以上分析可见,上述3个来源没有一个是可靠的。那么时钟佯谬现代解的要点——“时钟的读数等于其世界线长度”这个定量关系,究竟是怎么得出的?我们只能推断它的由来可能如下。

(1)

时钟的速度连续变化时,处理的办法显然使用积分,即无限小时间内的dτ,

(2)

式(2)中,v为t时刻的瞬时速度,用积分求出t=T时刻时钟的读数

(3)

乍一看,这样处理没有什么毛病,其实并没有依据,因为不是推导得到的结果。为了使这样的处理有据可查,作出了如下的假设[5]49:①时钟相对于惯性系的加速度不影响时钟的速率;②任一时刻时钟固有时的增量,都与该时钟在其中瞬间静止的参照系中的标准时钟的固有时增量相同。增加了这两点假设后,上述的处理有了依据,但是依据并不充分[7]。无论依据是否充分,式(3)都是建立在假设之上的,都是依赖假设的。一个重要的公式不能由狭义相对论的基本原理推出,而必须依赖假设,这不能不说是件憾事。更重要的是,既然该公式建立在假设之上,那么它是否正确还是未知的,何况它的依据并不充分。

式(3)可以进行变形,

(4)

式(4)中的ds可解释为dt时间内的世界线长度,于是S自然就是T时刻世界线的长度。在c=1的单位制中,式(4)化可为

τ=S,

(5)

即时钟读数等于其世界线长。

这是笔者推断出的这个关系的由来——它既不是事实,又不是假设,也不能由狭义相对的基本原理推导出来,而是借助假设而得出的。可以得出的结论是,时钟佯谬现代解的要点之一不是由狭义相对论的基本原理得出的,而是建立在假设之上的。依赖于假设的这个要点是不正确的。时钟读数与几何量之间的关系可以推导出来,根本不需要涉及假设,推得的结果否定了这个要点,下面进行证明。

2 时钟读数与几何量的关系

文献[7]已经指出依赖于假设的式(3)导致出一些不合理的结果,因而该式不可取。根据时钟延缓的表观性质选取另一个公式取代式(3),得到了适用于任意运动时钟的新公式,使得不合理的结果不再出现。进一步的探讨表明,这个公式可以很简单地推导出来。为了表述方便,下面的推导只讨论时钟沿x轴运动的情况。

在惯性参照系中,t=0时,一时钟从原点出发沿x轴任意运动。t时刻位于x(t)处,在闵可夫斯基四维时空(x1=x,x2=y,x3=z,x4=ict)中,这两个事件的坐标分别为(0,0,0,0)和(x(t),0,0,ict),二者的间隔(或者说二者之间距离的平方)为

(6)

在该时钟静止的参照系中,由于该时钟静止于原点,所以这两个事件的间隔为

(7)

由间隔不变性S′2=S2,得

(8)

这就是文献[7]基于时钟延缓的表观性质提出的新公式,现在不涉及任何假设,在闵可夫斯基四维时空中很容易推出了。将此式稍作变形就可清楚地看出,时钟读数τ与几何量之间的关系

(9)

式(9)中的S与式(5)中的S不同,不是时钟的世界线长度,而是t时刻时钟到原点的距离。在c=1的单位制中式(9)变为

τ=S,

(10)

其文字表述是,任一时刻时钟的读数等于该时刻时钟到原点的距离。这就是文献[3]已经指出的结论:“时钟记录的并不是自己的世界线长度而是自己与原点之间间隔的数值;相对论时钟并不是类时世界线上的里程表而是它到原点距离的显示器。”

时钟佯谬现代解(几何解)的这一个要点是建立在假设之上的,是不可取的。至于文献[4]把此要点宣称为相对论的“基本假设”显然是不可取的,相对论中不会有这样的“基本假设”。所谓该假设“已为实验证实”,大概也是人云亦云而已。

3 任意运动时钟的读数增量(任意运动时钟的速率)

长期以来,式(2)(式(3))被假设为(或由假设可得)适用于任意运动的时钟。现已证明这是不对的。适用于计算任意运动时钟读数的公式不是式(3)而是式(8)。再给出取代式(2)的公式,即计算dt时间内任意运动时钟的读数增量(或称为任意运动时钟的速率)的公式。

由式(8)很容易得到取代式(2)的公式为

(11)

时钟以速度u作匀速运动时,式(11)化为

(12)

这是时钟延缓公式的变形。既然公式(2)应由公式(11)取代,由公式(2)得到的结果当然就无效了。

4 时钟佯谬现代解的结论是错误的

文献[3]已经指出了“再者,时钟返回到原点时不是τB<τA,而是τB=τA”。这很容易说明,时钟佯谬现代解的结论τB<τA是根据时钟读数等于其世界线长度而得出的,所以是错误的;时钟读数应该等于其到原点的距离,由于时钟B返后与时钟A再相遇时,它到原点的距离与时钟A到原点的距离相同,所以二者的读数相同,即τB=τA。

在惯性参照系中,时钟B返回后与时钟A相见时,它们的读数也可以由(11)式算得,

结果是τB=τA[6]。

在惯性参照系中,时钟B返回后与时钟A相见时,它们的读数更容易由式(8)算得。由于对二者来讲,它们的t和x都相同,所以τB=τA。