矩阵分解思想解题意义探究——高等代数北大第五版

孙铭均

(辽宁师范大学 116000)

数学家在探索线性方程时曾发现解方程的规律，即方程组的解只跟未知量系数及常数项有关，与其它的内容无关，于是提出将方程组的系数及常数项单独提炼出来，写成一个整齐的数据表，而这一数据表用括号表示出来，就是矩阵分解的来源.本次研究首先从矩阵分解的思想角度说明它如何简化了大型线性方程组的计算，然后从矩阵的和式分解及应用和矩阵的乘积分解及应用说明如何有针对性地应用矩阵分解的思想解决特定约束条件下大型线性方程组问题的方法.

1 矩阵分解概述

定义：设

将这两个s×n矩阵相加，则可得

C=(cij)=(aij+bij)sn

两个矩阵相加的和可以记为C=A+B.

矩阵的和式分解就是将以上相加的过程逆推过来，呈现C=A+B的矩阵分解后的矩阵和原矩阵是相同的.

2 矩阵的和式分解及应用

2.1 矩阵的和式分解

定理1：任意一个n×n矩阵都可表示为一对称矩阵与一反对称矩阵之和.

定理2：秩等于r的对称矩阵可以表成r个秩等于1的对称矩阵之和.

证明：设A是秩为r的n阶实对称矩阵，那么存在可逆矩阵P，使得

2.2 矩阵和式分解的应用

现在假设一个矩阵A可以分解成两个或两个以上矩阵的和的形式，那么就能够应用这种方式来计算与该矩阵A可交换的矩阵，及矩阵A的方幂等.

3 矩阵的乘积分解及应用

3.1 矩阵的LU分解及应用

LU分解：设A=(aij)是n阶可逆矩阵，假设A的对角线下(上)方的元素全为零，那么即可视为当i>j时，aij=0(当i

定理3：LU分解定理

设A是n阶可逆矩阵，那么可知存在唯一的单位下三角矩阵L和上三角矩阵U，A=LU的充分必要条件是A的所有顺序主子式均非零，那么可得：

解1应用上面的定理对矩阵(A⋮E)作初等行变换可得

由以上的案例可以看到矩阵的和式分解的应用思想，就是把一个较为复杂的线性方程，以把它变成矩阵的方式，把方程结构变得简单，让它降幂降次以令数学计算简化；而矩阵的乘积分解的思路，就是利用矩阵分解过程中条件的约束和计算的关系来构建新的矩阵，而这个矩阵是一个简化了的，能够反映出已知条件和解关联特征的方程.